空间向量的夹角、距离计算同步练习题一、选择题1. 已知 (2 , -5,1) , (2 , -2,4), (1 ,-4,1) ,则直线与AB 的夹角为( C)ABCACA.30 0B.45 0C.600D.90 02. 已知向量 a = (0 ,2, 1) , b = ( - 1, 1,- 2) ,则 a 与 b 的夹角为 ( ) A . 0° B . 45° C .90° D . 180°解析:选 C.已知 a =(0 , 2, 1) , b = ( -1, 1,- 2) ,则 cos 〈 a , b 〉= 0,从而得出 a 与 b 的夹角为 90° .3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是 a =( 0,2,1 ),b =( , , ),那么这条直线与平面的夹角为 (D )A.90 0B. 60 0C.45 0D. 304. 边长为 a 的正六边形 ABCDEF 所在平面为 α, PA ⊥ α 且 PA = a ,则 PC 与 α 所成的角为 (A )A.30°B.60°C.45°D.90°5.在棱长为a 的正方体-1111中,是1的中点,则点1到平面 的距离是 ()ABCD A B CDMAAAMBD63036A.B.aC.D.a6a64a3DaA ( a, 0 a ) A ( a, 0,0) M1B ( a a, 0)解析: 以 为原点建立空间直角坐标系, 正方体棱长为a , 0, a ,,则1,,, ,,2→→→0,-1 →1D (0,0,0) ,设 n = ( x ,y ,z ) 为平面 BMD 的法向量,则 n · BM =0,且 n ·DM = 0,而 BM = a ,,DM = a, 0,2a2a .11- y + 2z = 0,y = 2z ,令 z = 2,则 n = ( - 1,1,2)→,a ) ,则 A 到平面所以所以,DA =( a, 01111x +2z = 0,x =- 2z ,的距离是→= 6 . 答案: ABDMd 16a| n |6. 已知向量 n =( 1,0 , -1 )与平面 α垂直,且 α经过点 A ( 2,3,1 ),则点 P (4,3,2 )到 α的距离为 (B )A. 1B.C.D. 27. 正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1, O 是 A 1C 1 的中点,则 O 到平面 ABC 1D 1 的距离为( A )A.B.C.D.8.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°,则直线 l 与平面 α 所成的角等于 ( ) A .120° B .60° C .30° D .60°或 30° 解析:选 C. 由题意得直线 l 与平面 α 的法向量所在直线的夹角为 60°,∴直线 l 与平面 α 所成的角为 90°- 60°= 30°. 9.设 , 都是边长为 1 的正方形,⊥面 ,则异面直线 与 BF 所成的角等于 ( )ABCD ABEFFAABCDACA .45°B .30°C .90°D .60° 解析:选 D.以 B 为原点, BA 所在直线为 x 轴,所在直线为 y 轴, BE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 ( 图 BC→ → → → 1 → → 略 ) ,则 A (1,0,0) ,C (0,1,0) ,F (1,0,1) ,∴ AC = ( - 1,1,0) ,BF = (1,0,1) .∴ cos 〈 AC ,BF 〉=- 2. ∴〈 AC ,BF 〉1=120°. ∴ AC 与 BF 所成的角为 60°.10.在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, AB = 2, BC =2, DD 1= 3,则 AC 与 BD 1 所成角的余弦值为( )370 3 7070A .0B.70C .-70D.70解析:选 A. 建立如图坐标系,则D (0,0 , 3) ,B (2,2,0) , A (2,0,0) , C (0,2,0) ,1→∴ BD = ( - 2,- 2,3) ,1→→ →→ →→ →BD · ACAC = ( -2,2,0).∴ cos 〈BD , AC 〉= 1→ =0.∴〈 BD , AC 〉= 90°,其余弦值为0.11|1|||BDACBE 与平面 B BD 所成的角的正弦值为11.在正方体 ABCD - A BCD 中, E 是 CC 的中点,则直线()1 1 111110B.10 .-15D.15A .-5 C555解析:选 B.建立如图空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则 D (0,0,0) ,B (2,2,0) , B 1 (2,2,2) ,E (0,2,1) →.∴ BD =( -2,- 2,0) → →,BB 1= (0,0,2) , BE =( - 2,0,1) .→→,∴- 2x -2y = 0, x =- y ,设平面 B 1BD 的法向量为 n = ( x ,y , z ) .∵ n ⊥ BD , n ⊥ BB 12z = 0. ∴z = 0.→→10n · BE令 y = 1,则 n =( - 1,1,0) .∴ cos 〈 n ,BE 〉=→ = 5 ,设直线 BE 与平面 B 1BD 所成角为θ,则 sin θ=| n || BE | |cos 〈 ,→〉 | = 10 .n BE 5uuur uuuur()12. 在正方体 ABCD -A B CD 中, M 、N 分别为棱 AA 和 BB 的中点,则 sin 〈 CM , D 1 N 〉的值为 1 1 1 1 1 11 422 A. 9B.9 5C.95D.3解析:设正方体棱长为2,以 D 为坐标原点, DA 为 x 轴, DC 为 y 轴, DD 为 z 轴建立空间直角坐标系,可知uuurCM1uuuur= (2 ,- 2,1) , D 1 N = (2,2 ,- 1) ,uuur uuuur1 uuur uuuur4 5 cos 〈 CM , D N 〉=-, sin 〈 CM , D N 〉=.1919答案: B二、填空题13. 已知 a , b 是直线, α,β 是平面, a ⊥ α, b ⊥ β,向量 a 1 在 a 上,向量b 1 在 b上, a 1= (1,0,1) ,2b =( - 1,2,1) ,则 α, β 所成二面角的大小为 __ 90° ______.1714. 正三角形 PAB 与正方形 ABCD 所在平面互相垂直,正方形的边长为 a ,则点 D 到直线 PB 的距离是 __ 2 a ___.15.平面 α 的法向量为 (1,0 ,- 1) ,平面 β 的法向量为 (0 ,- 1,1) ,则平面 α 与平面 β 所成二面角的大小为________ .解析:设 u = (1,0 ,- 1) , v =(0 ,- 1,1) ,则 cos θ=± |cos 〈 u , v 〉 | =±|- 11π 2π2× 2 | =± 2. ∴ θ= 3 或 3 .π 2π答案:或3 316.已知在棱长为 a 的正方体-′′′′中,E 是BC 的中点.则直线′ 与DE 所成角的余弦值为ABCDA B C DA C________ .解析:A (0,0 a ) C ( a a, 0) D (0 a, 0) E a →( a aa ) →如图所示建立空间直角坐标系,则, , , , , a , ,0A C, DE′,, ′ =, ,-2a→ →→ → 1515〉= A ′ C · DE== a ,- , 0,∴ cos 〈 ′ ,. 答案:2A CDE → →1515| A ′C | · | DE |三、解答题AE 与 CF 所成角的余弦值.17.正方体 ABCD - AB CD 中, E 、 F 分别是 A D 、 A C 的中点.求:异面直线1 1 1 11 11 1解:设正方体棱长为 2,分别取 DA 、 DC 、 DD 1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示空间直角坐标系,则 A (2,0,0) 、 C (0,2,0) 、 E (1,0,2) 、F (1,1,2) ,→ , 则 AE = ( - 1,0,2)→= (1 ,- 1,2) ,∴ |→|=5,|→|= 6.CFAECF→ →→→→→ → → → → → →30 AE · CF =- 1+ 0+ 4= 3. 又AE · CF =| AE || CF |cos 〈 AE , CF 〉= 30cos 〈 AE ,CF 〉,∴ cos 〈AE , CF 〉= 10,30∴所求角的余弦值为 10 .18.已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1,棱长为 a , E 、 F 、 G 分别是 CC 1、 A 1 D 1、 AB 的中点,求点 A 到平面 EFG的距离.解析:如图建立空间直角坐标系,3则,0, a , a,a, 0, a ,a→ = a ,- a , a,A ( a, 0,0) E 2 F 2 G a , , 0 ,∴ 2 2 2 EF→aa,EG = a ,-2,-2a→→ 0,- , 0 ,设 n = ( x , y , z ) 是平面 EFG 的法向量,则 n · EF = 0GA = 2 →,n · EG = 0 x - 2 += 0→ a23∴,∴ x = y = z ,可取 n =(1,1,1) =2x - y - z = 0 ,∴ d == a .| n |3 63即点 A 到平面 EFG 的距离为 6 a .19. 正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 的所有棱长都为 2,D 为 CC 1中点.(1) 求证: AB 1⊥平面 A 1BD ; (2) 求二面角 A - A 1D - B 的余弦值.解析: (1)→ → →x , y , z 轴的正方向建立空间直取 BC 中点 O ,B 1C 1 中点 O 1,以 O 为原点, OB 、 OO 1、 OA 的方向分别为 角坐标系.则 (1,0,0), ( - 1,1,0) , 1(0,2 , 3) , (0,0 , 3) , 1(1,2,0) ,BD AAB∴ →(1,2 ,- →→AB 1= 3) , BD =( - 2,1,0) , BA 1=( - 1,2 , 3) . → → ∵ AB 1· BD =- 2+ 2+ 0= 0,→ · →=- 1+ 4- 3= 0,∴ → ⊥ → , → ⊥ → . ∴ ⊥平面 ;AB1111111(2) 设平面 A 1AD 的法向量为 n = ( x , y , z ) ,→ AD = ( -1,1 ,-→n · AD = 0,∴→n · AA 1= 0.→ .∵ → →3) ,AA 1= (0,2,0) n ⊥ AD , n ⊥AA 1,- x + y - 3z = 0,∴y = 0, ∴x =- 3z .2y = 0.令 z = 1,得 n = ( - 3, 0,1) 为平面1的一个法向量.由 (1) 知1⊥平面1,AADABA BD→1为平面→1〉=→=- 3-∴1的法向量. cos 〈 , n · AB 13 =- 6 .ABABDn AB→ 2· 2 2 416∴14.二面角 A - A D - B 的余弦值为20.如图, P - ABCD 是正四棱锥, A BCD -A 1B 1C 1D 1 是正方体,其中AB = 2, PA = 6.(1) 求证: PA ⊥ B 1D 1; (2) 求平面 PAD 与平面 BDD 1B 1 所成锐二面角的余弦值.解:以 D 为原点, DA 所在直线为 x 轴, DC 所在直线为 y 轴, DD 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系,11 11 11则 D (0,0,0), A (2,0,0) , B (2,2,0) , C (0,2,0) , D (0,0,2) , A (2,0,2) ,B (2,2,2) , C (0,2,2) ,111 1(1,1,4) .(1) 证明:∵uuur = ( - 1,1,2)uuuur=(2,2,0)AP ,D 1 B 1 ,P4uuur uuuur ∴ AP · D 1 B 1 =- 2+ 2+0= 0,∴ PA ⊥ B 1D 1.uuur(2) 平面 BDD 1B 1 的法向量为 AC = ( - 2,2,0) . uuur uuurDA = (2,0,0) , OP =(1,1,2) .uuur uuur设平面 PAD 的法向量为 n = ( x , y , z ) ,则 n ⊥ DA , n ⊥ DP .2x = 0,x =0, ∴∴取 n = (0 ,- 2,1) ,x + y +2z = 0,y =- 2z ,uuurngAC设所求锐二面角为 θ,则 cos θ=uuurn g AC|0 -4+0| 10 = 22×5= 5 .21. 如图,四边形 ABCD 为正方形, PD ⊥平面 ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB = 1PD .2( I )证明:平面 PQC ⊥平面 DCQ ;( II )求二面角Q — BP —C 的余弦值.解析: 如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D — xyz .uuuruuur uuur (1, 1,0). 所以( I )依题意有 Q ( 1,1,0),C ( 0, 0,1), P ( 0,2,0) . 则 DQ (1,1,0),DC (0,0,1), PQuuur uuur uuur uuur . 故⊥平面.PQ DQ0, PQ DC 0.即⊥ , ⊥ ⊥平面又平面,所以平面PQ DQ PQ DC PQDCQ. PQPQCPQCDCQ( IIuuur uuur ( 1,2, 1).)依题意有 B (1, 0, 1), CB (1,0,0), BPn uuur 0, x 0,设 n CB(x, y, z) 是平面 PBC 的法向量,则 uuur 即2 y z 0.n BP 0, xuuur 0,m (1,1,1)所.以 cos m, n15 . 因此可取 nm BP (0, 1, 2). 设 m 是平面 PBQ 的法向量,则uuur可取 5m PQ0.15 . 故二面角 Q — BP — C 的余弦值为5 .22. 如图,四棱锥 P — ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ⊥底面 ABCD , PA = AB = 6,E 是棱 PB 的中点.(1) 求直线 AD 与平面 PBC 的距离; (2) 若 AD = 3,求二面角 A - EC - D 的平面角的余弦值.5解析:设 D (0 , a, 0) ,则 B ( 6, 0,0) , C (6, a, 0) ,P (0,0 , 6) ,E6, 0,6.22→ 6 6 →所以 AE = 2,0,2 ,BC = (0 , a, 0) ,→ → → → →PC = ( 6, 0,- 6) ,则 AE · BC = 0, AE · PC = 0. 所以 AE ⊥平面 PBC .又由 AE ⊥ AD , 故直线 AD 与平面 PBC 的距离为 →|AE |= 3.→ 3,则 D (0 , 3,0) , C ( 6, 3 ,0) .设平面 AEC 的法向量 n 1=( x 1, y 1, z 1) ,(2) 因为 | AD | =→→→→66 6x 1+ 3y 1= 0,则 n6 611222 x 1+ 2 z 1= 0,所以 y 1 =- 2x , z =- x . 可取 z =- 2,则 n = ( - 2, 2, 2) .1 11 1设平面 DEC 的法向量 n = ( x , y , z→→) ,则 n · DC = 0, n · DE =0.2222226,-6x 2= 0,→6, 0,0) →,故66所以 x 2=0, z 2= 2y 2.又DC = ( ,DE =3,22x 2- 3y 2+ z 2= 0.22n · n 266可取 y 2= 1,则 2= (0,1 , 2) .故 cos 〈1. 所以二面角- -的平面角的余弦值为.1, 2〉= =nnn | n 1 | ·|n 2| 3A ECD323. 如图,在四面体 ABOC 中, OC ⊥ OA ,OC ⊥ OB ,∠ AOB =120°,且 OA = OB =OC = 1.(1) 设 P 为 AC 的中点, Q 在 AB 上,且 AB = 3AQ ,证明: PQ ⊥ OA ; (2) 求二面角 O - AC - B 的平面角的余弦值.解析: (1) 取 O 为坐标原点,以OA 、 OC 所在的直线为 x 轴, z 轴,建立如图所示空间直角坐标系O — xyz .则 A (1,0,0) , C (0,0,1)1 , 3 P 为 AC 中点,∴ P 1 1 . ∵ → 3 , 3, 0 ,, B - 2 ,0 .∵ , 0, 2 AB = - 2 2 2 2→ 1→1 ,3→ → →3 ,∴ → → → 31 .∴ AQ =AB = -2 6 ,0 .又OQ =OA + AQ = 1,6 , 0PQ = OQ - OP = 0, 6 ,-232∴ →·→=3 1 ·(1,0,0)=0.∴ ⊥ .PQ OA0, 6 ,-2PQ OA6n 1- n 3= 0,(2) 设平面 ABC 的法向量 n = →→ →,得33( n 1, n 2, n 3) ,则由 n ⊥ CA , n ⊥ AB ,且 CA = (1,0 ,- 1)- 2n 1+ 2 n 2= 0. 取 n 1= 1,则 n = (1 , 3,1) .又 平面 OAC 的法向量为e = (0,1,0) ,∴ cos 〈 n ,e 〉= 1, 3,1· 0,1,05·1= 15 . 故二面角 — — 的平面角的余弦值为15 .5 OACB524. 在三棱锥 —中,△ 是边长为 4 的正三角形,平面 ⊥平面 , = =2 2, 为 的中点.S ABC ABCSAC ABC SA SC M AB(1) 求证: AC ⊥ SB ; (2) 求点 B 到平面 SCM 的距离.解析: (1) 取 AC 的中点 E ,连接 BE 、 SE ,则由已知,得 SE ⊥ AC , BE ⊥ AC . ∴AC ⊥面 SBE .∴AC ⊥ SB .(2) 建立如图所示的空间直角坐标系.则 (0,2,0), (0,0,2) , (0 ,- 2,0) , (2 3, 0,0) .∴( 3,- 1,0) .∴→= ( 3,- 1,- 2) ,CSA B MSM→3,- 3,0) .设 n = ( x , y, 1) 为面 SCM 的一个法向量,则n = ( 3, 1,1) .CM = ( →→4 5| BM · n |∵ BM = ( - 3,- 1,0) ,∴点 B 到面 SCM 的距离为|n|= 5 .7。