初三数学方程和方程组的解法一. 本周教学内容：方程和方程组的解法方程和方程组的解法是方程知识的核心内容。

同学们要灵活掌握方程解法的多样性。

【典型例题】例1. 写出一个以x ＝3为根的一元一次方程。

分析：这是一道考查学生发散思维能力的试题。

答案不唯一，题目是已知方程的解，来构造方程，可求出x －3＝0或2x －6＝0等。

例2. ()()求关于的一元一次方程的解。

x k x k x k 211180-+--=-分析：由已知可知原方程为一元一次方程，分两种情况：（1）当指数k －1＝1时，即k ＝2时，原方程化为3x ＋x －8＝0，解之得：x ＝2；（2）当k 2－1＝0且k －1≠0时，也就是当k ＝－1时，原方程化为－2x －8＝0，解之得：x ＝－4，所以原方程的解为x ＝2或x ＝－4。

答：x ＝2或x ＝－4例3. 填空： 当，时，方程有唯一解。

当，时，方程无解。

当，时，方程有无穷多解。

ab ax x b a bax x b ab ax x b +=-+=-+=-111 分析：本题实质就是解方程ax x b +=-1()()根据解方程的步骤，原方程可化为a x b -=-+11此方程分三种情况解：（）当，即时，原方程有唯一解。

（）当，，即，时，原方程无解。

（）当，，即，时，原方程有无穷多解。

110121010113101011a a a b a b a b a b -≠≠-=-+≠=≠--=-+===-()()通过此题，总结出一般规律：方程ax ＝b 的解（）当时，方程的解为；（）当，时，方程无解；（）当，时，方程的解为全体实数。

10200300a x b aa b a b ≠==≠==例4. ()已知，求的值。

x y x y x y --+++=+233202分析：两个非负数之和为0，则这两个数须同时为0。

所以解方程组求出、，再计算的值。

x y x y x y x y --=++=⎧⎨⎩+230320解：由已知，得：x y x y --=<>++=<>⎧⎨⎩23013202 由得：，<>-<>+=∴=-215501y y()将代入得：y x =-<>---=112130得：x ＝1∴==-⎧⎨⎩∴+=x y x y 110例5. 如果是方程的一个根，求的值，并求出另一个x x kx k k =---=2502 根。

分析一：本题考查了对方程中的未知数和参数的认识，以及未知数与参数之间的互相转化。

由条件“x ＝2是方程x 2－kx －k －5＝0的一个根”可知x 2－kx －k －5＝0是以x 为未知数，k 为参数的方程，但把x ＝2代入方程后，x 由未知数转化为已知数，方程则转化为以k 为未知数的方程了，实际上将通过解关于k 的方程来求k 的值。

解法一：由于x ＝2是方程x 2－kx －k －5＝0的一个根，所以把x ＝2代入方程，得： 2250132---=∴=-k k k ，∴--⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪-=原方程为x x 2131350 即31402x x +-=()()左边因式分解：3720x x +-=∴=-=x x 12732， ∴=-方程另一根为x 73 说明：求出方程3x 2＋x －14＝0后，也可利用“根系关系”来求另一根。

方法二：本题求k 和“另一根”两个未知数，可通过列二元方程组求解。

解：设另一个根为β∴---==--+=⎧⎨⎩22502522k k k k ββ（或）（这是根据根系关系）解得：k =-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1373β 说明：本题如果把“求k 的值”一问去掉，直接求“另一个根”，那么“求k 的值”将成为解题者需主动采取的步骤，将能体现对能力的更高要求，值得注意。

例6. 从下列四个选项中选出合适的一项，将题目补充完整后再解答。

如果a 是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根，并且a ≠0，求________的值。

A ab B ba C ab D a b ....+-解析：解答这类“完善试题”的问题应着眼于题设条件，看从中能推出何种结果。

由是方程的根，得：a a ab a 20++=a ab a b ≠∴++=+=-0101，，即应选C 。

例7. ()()解方程：2353x x x -=-分析：本题应该用因式分解方法来解。

注意在方程变形过程不能用含未知数的代数式去除方程两边，这道题不能用（x －3）除方程两边，否则可能导致丢根。

解：()() 2353x x x -=-()()∴---=23530x x x()()即2530x x --=∴==x x 12523，例8. 解方程：123812022x x --+=分析：若按一般解分式方程的方法解，去分母后，将出现关于x 的4次方程，计算较难。

观察－8x 2＋12，有因式2x 2－3，所以可使用换元法解方程。

本题不能很明显地看出使用换元法。

需先进行变形，这是对学生主动使用数学方法能力的考查，也是对能力水平的较高要求。

解：()方程变形为：123423022x x ---= 设，原方程化为：y x yy =--=231402∴-=4102yy =±12经检验：都是的根。

y yy =±-=12140 由可得：，y x x =-=∴=±122312722 由可得：，y x x =--=-∴=±122312522 ∴=±=±原方程的根为或x x 7252例9. 用配方法解方程：37402x x -+=分析：配方法作为一种重要的数学方法，同学们要掌握。

解：移项，得：3742x x -=-方程各项都除以，得：373432x x -=- 配方，得：x x 22273764376-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪ x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=761362x -=±7616∴==x x 12431， 例10. 若关于的方程有增根，求的值。

x x x a x a 24130-+--= 分析：分式方程有增根，则分母为0；又因为分式值为0，所以分子必为0。

注意，，不能把x ＝3代入原分式方程求a 的值。

解：由题意得：x x a x 241030-+-=-=⎧⎨⎩解得：a =4例11. 若方程与方程有一个相同的根，求的值。

x x a x ax a 22010--=++= 分析：要求a 的值，须先列方程求出这个相同的根，再代入原方程中求a 。

解：根据题意，得：x x a x ax 221--=++()()∴+=-+a x a 11x x a 20--=有根∴=+≥≥-∆14014a a ， ∴≠-a 1∴=-x 1将代入中x x x a =---=102得：a =2例12. 解关于的方程x m x mnx n m 2011300222+-=≠()解法一：()()原方程可变形为：5430mx n mx n -+=50430mx n mx n -=+=或m x n m x n m≠∴==-053412，， 解法二： a m b mn c n ===-2011322，，()()b ac mn m n m n 2222224114203361-=-⨯⨯-=又 m ≠0 ∴=-±⨯=-±x mn m n m mn mn m113612201119402222 ∴==-x n m x n m12534， 说明：解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于0。

例13. ()()()已知，试解关于的方程m x mx x x x -=-+=+-212211解：由得：m m -=-=±2121∴==m m 1231，原方程整理得：()m x mx --+=12302当时，原方程为m x x =-+=326302解得：，x x 12332332=+=- 当时，原方程为m x =-+=1230解得：x =32∴==+=-当时，，m x x 333233212 当时，m x ==132【模拟试题】一. 填空题。

1. 已知关于x 的方程()()211322k x k x k -+-=-是一元二次方程，则k 的取值范围是_____________。

2. 已知x =3是方程()x a x a 210+-+=的一个根，则a ＝_____________。

3. 完成下面配方：（1）x x 228-+=()() （2）x x 2232++=()() 4. 如果关于x 的方程702x px q ++=的两个根为2和-3，那么二次三项式72x px q++可分解为________________。

5. 一元二次方程x 240-=的根为_______________。

6. 当k ＝_________时，方程x ky ++=10有一组解是x y ==⎧⎨⎩32。

7. 在解方程()x x 2221210---=时，通过换元并整理得方程y y 2230--=，则y ＝____________。

8. 将二次三项式x x 267++进行配方，得_______________。

二. 解方程或方程组。

1. 2502x -=2. ()5221122x x x x +=---⎛⎝ ⎫⎭⎪ 3. ()()23214122x x x -+-=+4. x x 243100-+=5. x x 2630-+=（配方法）6. x x x x 2212+-=+ 7. x xx x 22432+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪ 8. 解方程组x y x y x +=---=⎧⎨⎩03223022 9. 解关于x 的方程：6560022m x mx m +-=≠()10. 解方程：()()()()x x x x ++-=+-+52125215422【试题答案】一. 填空题。

1. k ≠13的实数2. 323-3. （1）16，x -4；（2）91634，x +4. ()()723x x -+5. x x 1222==-，6. -27. y y 1231==-， 8. ()x +-322二. 解方程或方程组。

1. x =±1022. x x 12014==-， 3. x x 123252==， 4. x 1232=+，x 2232=- 5. x x 123636=+=-， 6. x x 1221=-=， 7. x x 122222=+=-，8. x y x y 11223311==-⎧⎨⎩=-=⎧⎨⎩ 9. x m x m 123223=-=， 10. x x 12636636=+=-，。