φ i c iφ i
T 2 * c2 φ M φ c m 1 i i i i i
关于质量矩阵归一化的振型矩阵：
φ i c i φ i φ i / mi*
4.2.6 初始条件
由物理坐标的初始条件确定模态坐标的初始条件： x (t ) φ X (t ) φ Ai sin( it i ) X (0) A sin
A k1n 2 m 0 i 1n 1i A 2 k 2 n i m2 n 2i 0 2 k3n i m3n A 3i 0 knn 2 m A ni 0 i nn
0.16339 1 0.086183 φ1 0.56908 1.00000
20 5 0 k K 5 8 3 15 0 3 3
3
2
1
m
k /5 k /3
k
m
2m
(φ1 )
第4章 多自由度系统的振动
0.75306 2 0.44534 φ2 1.00000 0.83517 0.82589 3 0.86847 φ3 1.00000 0.29919
(φ3 ) (φ2 )
1 0.29357 k 2 0.66734 m 0.93192 3
0.16339 0.75306 0.82589 φ 0.56908 1.0 1.0 1.0 0.81517 0.29919
i i
x(0) φ X (0)
x(0) φ X (0)
X (0) Ai i cos i
第4章 多自由度系统的振动
φT M x(0) φT M φ X (0)
(0) φT M φ X (0) φT M x
X (0) A i sin i X (0) A ii cos i
系数矩阵奇异，矩阵的秩= n－1。 计算A i 的具体过程 ：
① 任选 n－1个方程; ② 取A i 中某个元素为单位1，化为 n－1阶非齐次方程组; ③ 求解得A i ，作归一化处理得归一化振型
i。
n 个特征对：
1, 2 ,, i ,, n φ1 , φ 2 ,, φ i ,, φ n
A1i 1
k 22 m22 k 23 m23 k m k m 32 33 33 32 2 2 k m k n 2 i n 2 n3 i mn3
2 i 2 i 2 i 2 i

2 k A k 2 n m2 n 2i 21 i m21 2 k3n m3n A3i k31 i m31 2 k 2 n i m2 n Ani kn1 2i mn1 2 i 2 i
第4章 多自由度系统的振动
例4.2.1 计算例3.4.3中三层框架的固有频率和固有振型。
2 解: M m 1 1
2
m / k 特征方程： 1 4 2 0 3 3 8 1 1 0 3 15 5 1 0 1 5 5
和A为复数，则有
K M A 0
AT K A AT M A 0
AT K A AT M A 0
K M A 0
M和K为对称矩阵
AT K A AT M A 0
以上二式相减 :
M正定 :
AT M A 0

(4.2.11)
(i 1, 2,, n)
坐标变换的矩阵形式 :
xφX
(4.2.15)
振型矩阵 ：由各归一化振型矢量 i 组成的矩阵； x为物理坐标，X为振型坐标－特殊形式的广义坐标。
4.2.4 振型矢量的正交性
措施：
第4章 多自由度系统的振动
运动方程的特点： 耦合，求解困难，费时！ 解耦，变成 n 个独立的单自由度系统 。
自由振动一般解: 主坐标:
n
(i, j 1, 2,, n)
ji ( j =1 , 2 , … , n) —第i 阶归一化振型矢量的各元素
x j (t ) j i Ai sin( i t i ) (4.2.13)
i 1
X i (t ) A i sin( i t i )
T * T (0) X (0) diag(1/ m* ) φ M x ( 0 ) X ( 0 ) diag ( 1 / m ) φ Mx i i
分量形式：
T X i (0) 1/ m* φ i i M x(0)
(0) 1/ m* φ T M x (0) X i i i
2i 2j φiT M φ j 0
i2 j2
φiT K φ j 0 φiT M φ j 0 (i j)
φiT K
φ
2 j j
φiT M
φj 0
i j
φiT M φi 0
* i T i
φ K φ 0
第4章 多自由度系统的振动 T i i
模态质量: m φ M φi
第4章 多自由度系统的振动
(2.4.5) 自由振动解 ： x A sin( t ) x —位移矢量 A—振幅矢量 —无阻尼固有频率 —初相角
齐次方程组 ：
特点：
K 2 M A 0
(4.2.6)
① 无法确定A中的所有元素，但可确定其相对比值；
② A中的 n-1个未知元素和 , 可由方程(4.2.6)唯一确定。
(0) A cos X i i i i
tan i
A i sin i X i (0)
Ai
2 X i (0) 2 X i (0) i
i X i (0)
(0) X i
第4章 多自由度系统的振动
2 不失一般性，假定某一特征根为二重根： i 2 1 i
4.2.7 关于特征根的重根问题
系数矩阵的秩等于n－2。
2 2 m k m k m k11 2 i 11 12 i 12 13 i 13 k 2 m k 2 m 2 k m i 22 23 i 23 21 i 21 22 2 2 k31 2 m k m k m i 31 32 i 32 33 i 33 2 2 2 k m k m k m n1 i n1 n 2 i n2 n3 i n3
φ MφX 1X T Tdiagm* X X T1 x M x 2 2 i
1 2 T T
1 2
i 1
2 mi* X i
n
V x K x X φ K φ X X diagk
1 2 T
1 2 T Tபைடு நூலகம்
1 2
T
* i
X ki* X i2
1 2 i 1
拉格朗日方程
k * X 0 m* X i i i i
(i 1, 2,, n)
第4章 多自由度系统的振动
4.2.5 振型矢量的归一化
方法1: 令振型矢量中最大的元素等于单位1 ; 方法2: φ T M φ I φ T K φ diag( 2 ) (4.2.28) i
§4-2 多自由度系统自由振动的一般理论
4.2.1 运动方程的建立 建立运动方程的基本方法
第4章 多自由度系统的振动
直接平衡法: 适合于自由度较少的集中质量离散系统； 能量法： 适合任意的多自由度系统； 分布质量系统，离散化，有限单元法。 研究对象： N质点 , 具有L个完整约束，n自由度系统
T 动能： T 1 x Mx 2
T 势能： V 1 x Kx 2
T T 拉格朗日广义函数 ： L 1 ( x M x x K x) 2
(4.2.2)
d L L 0 x dt x
K x 0 M x
(4.2.3)
4.2.2 固有频率和固有振型
1.0 0.66331 0.21519 φ 0.53165 1.0 0.69898 1.0 0.15642 0.84172
第4章 多自由度系统的振动
4.2.3 主坐标
在特定的初始条件下，系统可能以单一的振型振动—主振动
x j i (t ) j i Ai sin( i t i )
特征值问题： 为特征值，A为特征矢量。 非零解条件 —频率方程： K 2 M 0
(4.2.7)
频率方程关于 2的n个根，即系统的固有频率。
第4章 多自由度系统的振动
性质1. 动能T正定，即M正定，且M和K对称，则 证明：设满足方程(4.2.6)的某个特征对=
2
i
2
必为实根；
第4章 多自由度系统的振动
2 2 m k m k m k11 2 i 11 12 i 12 13 i 13 k 2 m k 2 m 2 k m i 22 23 i 23 21 i 21 22 2 2 k31 2 m k m k m i 31 32 i 32 33 i 33 2 2 2 k m k m k n1 i n1 n 2 i n 2 n3 i mn3
证毕 #
AT M A 0
性质2. 若势能V也是正定，即K正定，即系统具有足够 的约束，不会发生刚体位移 ，则 i2 必为正的实根； 证略。
第4章 多自由度系统的振动