选择题难题突破一、选择题（题型注释）1．函数6(3)3,7,(),7.x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩若数列{}n a 满足()()n a f n n N *=∈，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,3D ．()1,3 试题分析：因为()()n a f n n N *=∈，{}n a 是递增数列，所以函数6(3)3,7(),7.x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩为增函数，需满足三个条件 ()()30178a a f f ⎧->⎪>⎨⎪<⎩，解不等式组得实数a 的取值范围是()2,3，选C ．考点：1、一次函数和指数函数单调性；2、分段函数的单调性；3、数列的单调性. 2．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项之积为n T ，若22n nn T +=，则122n na +的最小值为（ ）．A ．7B ．8 C．．试题分析：由题意知()()2211122n n n nn T -+---==，所以2221222n n n n n n n n T a T +--===，所以212212122222n nn n n na ++==+，构造对勾函数()12f x x x =+，该函数在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增，在整数点4x =时取到最小值7，所以当24n=时，122n na +的最小值为7． 考点：1、数列的通项公式；2、函数性质与数列的综合．3．设等差数列{}n a 满足：22223535317cos cos sin sin cos 2sin()a a a a a a a --=+，4,2k a k Z π≠∈且公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当8n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A. 3[,2]2ππ B. 3(,2)2ππ C. 7[,2]4ππ D. 7(,2)4ππ 试题分析：∵()71352325232sin 2cos sin sin cos cos a a a a a a a +=--，∴()71323252325232sin sin cos sin sin cos cos a a a a a a a a +=+--， 即()()4523252322sin 1sin sin 1cos cos a a a a a =---，即4523252322s i nc o s s i n s i nc o s a a a a a =+-，即()()4535353532s ins in c o s c o s s i n s i n c o s c o s si n a a a a a a a a a =+-，即()()453532s i n s i n si n a a a a a =+-，即442si n 2si n 2si n a a d =-，∵24πk a ≠，∴02si n 4≠a ，∴12s i n -=d ．∵()0,1-∈d ，∴()0,22-∈d ，则4π-=d ．由()()1111224n n n n n S na d na π--⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭2188n a n ππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，对称轴方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=841ππa n ，由题意当且仅当8=n 时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，∴217842151<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<ππa ，解得：ππ2471<<a ．∴首项1a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛ππ247，，故选D ． 考点：等差数列的前n 项和.4．已知数列{}n a ，{}n b 满足11=a ，且1,+n n a a 是函数n n x b x x f 2)(2+-=的两个零点，则10b 等于 （ ）A ．24B ．32C ．48D ．64试题分析：由题意得112n n nnn n a a b a a +++=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，由11=a ，12n n n a a +⋅=，得22a =，32a =，44a =，54a =，68a =，78a =，8916a a ==，101132a a ==，则10323264b =+=，选D ．考点：递推数列、函数零点5．已知等差数列{}n a 的等差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ． 3 C．2 D ．92试题分析：由题意得，记等差数列{}n a 公差为d ，22111(2)(12)(12)1122a d a a d d d d +=+⇒+=+⇒=（0d =舍去），∴1(1)21n a a n d n =+-=-，21()2n n a a n S n +⋅==，22216216832131n n S n n a n n +++===+-++2(1)2(1)99122411n n n n n +-++=++-≥=++，当且仅当9121n n n +=⇒=+时等号成立，即2163n n S a ++的最小值为4，故选A ． 考点：1．等差数列的通项公式及其前n 项和；2．等比数列的性质；3．基本不等式求最值．6．已知函数()()22812f x x a x a a =++++-，且()()2428f a f a -=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*n N ∈若()n S f n =，则41n n S aa --的最小值为（ ） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378试题分析：由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得．由题意可得2428a a -=-或2842822a a a +-+-=⨯-（）， 解得a=1或a=-4，当a=-1时，2712f x x x =+-（），数列{a n }不是等差数列； 当a=-4时，24f x x x =+（），24nS f n n n ==+（）， ()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，，()22121134416122)11(2n n n n S a n n a n n ++++-++∴==-++⨯11311221212n n =⨯+++≥⎡⎤⎢⎥=+⎣⎦（）（），当且仅当1311n n+=+，即1n =时取等号， ∵n 为正数，故当n=3时原式取最小值378，故选D ．考点：等差数列通项公式；基本不等式7．如果有穷数列)(,...,,*21N n a a a n ∈满足条件:,,...,,1121a a a a a a n n n ===- 即1+-=i n i a a ， ),...,2,1(n i =我们称其为“对称数列”．例如:数列1，2，3，3，2，1 和数列1，2，3，4，3，2，1都为 “对称数列”。

已知数列}{n b 是项数不超过),1(2*N m m m ∈>的“对称数列”，并使得122,...,2,2,1-m 依次为该数列中连续的前m项，则数列}{n b 的前2009项和2009S 所有可能的取值的序号为 ①122009- ②)12(22009- ③1223201021--⋅--m m④122200921---+m m A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③④ 试题分析：若2009≥m 时，则122121222120092009200822009-=--=+⋅⋅⋅+++=S ，故①正确；若2009<m 且有偶数项，则211])21(1[2122222212009121122009--+-=⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++=-----m m m m m m S 122221220092120092--=-+--+-m m m m m ，故④正确；若2009<m 且有奇数项，则211])21(1[2122222212009232122009--+-=⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++=-----m m m m m m S 12232212201021201021--⨯=-+-----m m m m m ，故③正确；故选D ．考点：1．等比数列的前n 项和；2．分类讨论思想． 8．对于一个有限数列12(,,,)n p p p p =⋅⋅⋅，定义p 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）为121()n S S S n ++⋅⋅⋅+，其中12(1,)kk S p p p k n k N =++⋅⋅⋅+∈≤≤．若一个99项的数列（1299,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为1000，那么100项数列),...,,,5(9921P P P 的蔡查罗和为（ ）A 、993B 、995C 、997D 、999 试题分析：由蔡查罗和的定义可得99000991100099219921=+++∴+++=s s s s s s ）（.100项数列),...,,,5(9921P P P 的蔡查罗和为995)50099000(1001)1005(1001)(10019921'100'2'1=+=⨯++++=+++s s s s s s ，故选B 。

9．数列{}n a 满足122,1,a a ==且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+⋅⋅=≥--,则数列{}n a 的第100项为（ ） A ．10012 B ．5012 C ．1100 D ．150试题分析：由1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+⋅⋅=≥--得，)2(21111≥=++-n a a a nn n ,所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以21为首项，以21为公差的等差数列。

于是，21na n =,所以501100=a ．故选D 。

考点：构造法求数列通向公式。

10．在数列{}n a 中，对于任意*n N ∈，若存在常数12,,...k λλλ，使得n k a +=11n k a λ+-+22...(0,1,2,...,)n k k n i a a i k λλλ+-++≠=恒成立，则称数列{}n a 为k阶数列。

现给出下列三个结论：①若2n n a =，则数列{}n a 为1阶数列；②若21n a n =+，则数列{}n a 为2数列； ③若2n a n =，则数列{}n a 为3数列；以上结论正确的序号是 A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 试题分析：①∵2n n a = ∴∃k=1，λ=2，使12n k n ka a ++-=成立，∴{}n a 为1阶递归数列，故①成立；②∵21n a n =+∴∃k=2，122,1λλ==-，使21122n n k n k a a a λλ++-+-=+成立， ∴{}n a 为2阶递归数列，故②成立；③∵若数列{an}的通项公式为2n a n =，∴∃k=3，1233,3,1λλλ==-=，使3112233n n k n k n k a a a a λλλ++-+-+-=++成立，∴{}n a 为3阶递归数列，故③成立．考点：1．等差数列与等比数列；2．数列的应用11．已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比q 是正整数，前n 项和为n T ，若211,a d b d ==，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则298S T 等于（ ）A.4517 B.13517 C.9017 D.27017试题分析：∵数列{a n }是以d 为公差的等差数列，且a 1=d ，d a d a 3,232==∴;又数列{b n }是公比q 的等比数列，且b 1=d 2， ∴22322,q d b q d b ==;∴222123123a a ab b b ++++2222114)1(14q q q q d d ++=++=∈N *． 又∵q 是正整数，∴1+q+q 2=7，解得q=2．∴298S T 17135255202521)21()2899(22822==--⋅⨯+=d d d d d ；故选：B ．考点：等差数列的性质． 12．定义12nn x x x ++为n 个正数12,,,n x x x 的“平均倒数”．若正项数列{}n a 的前n 项的“平均倒数”为231+n ，则数列{}n a 的通项公式为n a ＝（ ）A ．23+nB ．16-nC ．)23)(13(+-n nD ．41n + 试题分析：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则231+=n S n n ，所以n n S n 232+=， 当1=n 时52311=+==S a ，当2≥n 时，())1(21323221-+--+=-=-n n n n S S a n n n=16-n ，1=n 时适合，综上16-=n a n ，故选B.考点：数列通项公式. 13．对于函数y=f(x)(x ∈I),y=g(x)(x ∈I),若对任意x ∈I,存在x 0使得f(x)≥f(x 0),g(x)≥g(x 0)且f(x 0)=g(x 0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知f(x)=x 2+px+q,g(x)=21x x x -+是定义在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为( )(A)32 (B)2 (C)4 (D)54【解析】g(x)=21x x x-+=x+1x -1≥2-1=1,当且仅当x=1时,等号成立,∴f(x)在x=1处有最小值1,即p=-2,12-2×1+q=1,q=2,∴f(x)=x 2-2x+2=(x-1)2+1,∴f(x)max =f(2)=(2-1)2+1=2.。