2019-2020年初中数学竞赛模拟试题一、选择题（每小题6分，共30分）1．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）52．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且31=AB AD ．若在边AC 上取一点E ， 使四边形DECB 的面积为43，则EACE 的值为（ ） （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）513．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。

设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．当x 分别等于20051，20041，20031，20021，20011，20001，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式221xx +的值，将所得的结果相加，其和等于 ．7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜25，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ．8．方程02=++q px x 的两根都是非零整数，且198=+q p ，则p ＝ ．9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ．ABFCED·DCOBA10．设有n 个数1x ，2x ，…，n x ，它们每个数的值只能取0，1，－2三个数中的一个，且++21x x …5-=+n x ，++2221x x …192=+n x ，则++5251x x …5n x +的值是 ．三、解答题（每小题15分，共60分）11．如图，凸五边形ABCDE 中，已知S △ABC ＝1，且EC ∥AB ，AD ∥BC ，BE ∥CD ， CA ∥DE ，DB ∥EA ．试求五边形ABCDE 的面积．12．在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程k x x kx x +=-++3132的解，求实数k 的取值范围．13．如图，一次函数的图象过点P （2，3），交x 轴的正半轴与A ，交y 轴的正半轴与B ，求△AOB 面积的最小值．DA BCEF14．预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．参考答案一、选择题1．C 2．B 3．B 4．A 5．C 二、填空题6．6 7．8-<x 8．－202 9．116 10．－125 三、解答题11．∵ BE ∥CD ，CA ∥DE ，DB ∥EA ，EC ∥AB ，AD ∥BC ，∴ S △BCD ＝S △CDE ＝S △DEA ＝S △EAB ＝S △ACB ＝S △ACF ＝1． 设S △AEF ＝x ，则S △DEF ＝x -1，又△AEF 的边AF 与△DEF 的边DF 上的高相等， 所以，xxAF DE -=1，而△DEF ∽△ACF ，则有 x xx AF DF S S ACF DEF -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆1)1(222． 整理解得 215-=x ． 故S ABCDE ＝3S △ABC ＋S △AEF ＝255+． 12．原方程可化为0)3(322=+--k x x ，①（1）当△＝0时，833-=k ，4321==x x 满足条件；（2）若1=x 是方程①的根，得0)3(13122=+-⨯-⨯k ，4-=k ．此时方程①的另一个根为21，故原方程也只有一根21=x ；（3）当方程①有异号实根时，02321<+-=k x x ，得3->k ，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，3-=k ，另一个根为23=x ，此时原方程也只有一个正实根。

综上所述，满足条件的k 的取值范围是833-=k 或4-=k 或3-≥k ． 13．解：设一次函数解析式为y kx b =+，则32k b =+，得32b k =-，令0y =得b x k =-，则OA ＝b k-．令0x =得y b =，则OA ＝b ．2221()21(32)2141292124]212.AOB b S b kk kk k k∆=⨯-⨯-=⨯--+=⨯-=⨯+≥ 所以，三角形AOB 面积的最小值为12．14．（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a 元和b 元，则原计划是1500=+by ax ， ①由甲商品单价上涨1. 5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得 1529)1()10)(5.1(=++-+y b x a ．② 再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得5.1563)1()5)(1(=++-+y b x a ， ③ 由①、②、③得⎩⎨⎧=-+=-+.5.685,44105.1a y x a y x ④－⑤×2并化简，得 1862=+y x ．（2）依题意，有205＜y x +2＜210及1862=+y x ，54＜y ＜3255， 由y 是整数，得55=y ，从而得76=x ． 答：（1）x 、y 的关系1862=+y x ； （2）预计购买甲商品76个，乙商品55个．2007年初中数学竞赛模拟试题(2)一、选择题（每小题6分，共30分）1．已知4=-b a ，042=++c ab ，则b a +＝（ ） （A ）4 （B ）0 （C ）2 （D ）－2 2．方程xx x x ||34||=-的实根的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于O ，△AOD 的面积为4，④ ⑤△BOC 的面积为9，则梯形ABCD 的面积为（ ） （A ）21 （B ）22 （C ）25 （D ）264．已知⊙O 1与⊙O 2是平面上相切的半径均为1的两个圆，则在这个平面上有（ ）个半径为3的圆与它们都相切． （A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）65．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是（ ） （A ）11 （B ）13 （C ）17 （D ）19 二、填空题（每小题6分，共30分）6．已知等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，若底边BC ＝8cm ，则△ABC 的面积为 ．7．△ABC 的三边长a 、b 、c 满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则△ABC 的周长等于 ．8．若[]x 表示不超过x 的最大整数，且满足方程[]04953=-+x x ，则x ＝ ． 9．若直线1103457323=+y x 与直线897543177=+y x 的交点坐标是（a ，b ），则222006a b +的值是 ．10．抛物线5422--=x x y 向左平移3个单位，再向上平移两个单位，得抛物线C ，则C 关于y 轴对称的抛物线解析式是 ．三、解答题（每小题15分，共60分）11．如图所示，在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝4，D 为AB 的中点，E 为AC 边上一点，且∠AED ＝90°＋21∠C ，求CE 的长．ADBCE12．某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？13．已知一个两位数，其十位与个位数字分别为p 、q ，二次函数p qx x y ++=2的图象与x 轴交于不同的两点A 、B ，顶点为C ，且S △ABC ≤1． （1）求p q 42-的取值范围；（2）求出所有这样的两位数pq ．14．已知n 是正整数，且12+n 与13+n 都是完全平方数．是否存在n ，使得35+n 是质数？如果存在，请求出所有n 的值；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 二、填空题6．8cm 2或32cm 2 7．14 8．319 9．2010 10．3822+-=x x y 三、解答题11．作BF ∥DE 交AC 于F ，作∠ACB 的平分线交AB 于G ，交BF 于H ．则∠AED ＝∠AFB ＝∠CHF ＋21∠C 。

因为∠AED ＝90°＋21∠C ，所以∠CHF ＝90°＝∠CHB 。

又∠FCH ＝∠BCH ，CH ＝CH 。

∴ △FCH ≌△BCH 。

∴ CF ＝CB ＝4， ∴ AF ＝AC －CF ＝7－4＝3。

∵ AD ＝DB ，BF ∥DE ， ∴ AE ＝EF ＝1.5，∴ CE ＝5.5． 12．设从6时起x 分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S 辆，进场车y 辆，则⎪⎩⎪⎨⎧->+=-=3815)1(6x y y S S x∴ 3)1(6)15(8-->-S S ， 解得 5.55>S ．∵ S 为正整数，∴ S ＝56，即到第56辆车开出后，停车场内第一次出现无车辆．此时330)156(6=-=x ，6+60330=11.5（时） 答：到11时30分时，停车场内第一次出现无车辆． 13．（1）设A （1x ，0），B （2x ，0），（21x x ≠），则1x 、2x 是方程02=++p qx x 的两个不同的实根，所以q x x -=+21，p x x =21，042>-p q ．又442q p y c -=（c y 表示点C 的纵坐标），所以S △ABC ＝144421||||212221≤-⋅-=⋅-q p p q y x x c ， 从而64)4(32≤-p q ，442≤-p q ．故0＜442≤-p q ．（2）由（1）知，=-p q 421，2，3，4．因为2q 被4除余数为0或1，故p q 42-被4除余数也是0或1，从而=-p q 421，或4．这两个方程中符合题意的整数解有⎩⎨⎧==,32p p ⎩⎨⎧==,56p p ⎩⎨⎧==,43p p ⎩⎨⎧==.68p p 故所有两位数pq 为23，65，34，86．14．设212k n =+，213m n =+，其中k ，m 都是正整数，则)2)(2(4)13()12(43522m k m k m k n n n -+=-=+-+=+． 若12≠-m k ，则35+n 不是质数．若12=-m k ，则12235+=+=+m m k n ，于是2)35()13(2)12(12)1(222++-+=++-=+-=-n n m m m m mA DBC E FGH02<-=n ，矛盾．综上所述，不存在正整数n ，使得35+n 是质数．2007年初中数学竞赛模拟试题(3)一、选择题（每小题6分，共30分）1.在一个凸n 边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为2160°的多边形，则n 的值为（ ）（A ）只能为12 （B ）只能为13 （C ）只能为14 （D ）以上都不对 2.已知关于x 的方程029|3|)2(62=-+--+-a x a x x 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）a ＝0 （B ）a ≥0 （C ）a ＝－2 （D ）a ＞0或a ＝－2 3．若正实数a 、b 满足3++=b a ab ，则22b a +的最小值为（ ）（A ）－7 （B ）0 （C ）9 （D ）184．如图，在△ABC 中，∠C ＝Rt ∠，CD ⊥AB ，下列结论：（1）DC ·AB ＝AC ·BC ；（2）BD AD BC AC =22； （3）222111CD BC AC =+；（4）AC ＋BC ＞CD ＋AB ． 其中正确的个数是（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）15．设n 是正整数，0＜x ≤1，在△ABC 中，如果AB ＝x n +，BC ＝x n 2+，CA ＝x n 3+，BC 边上的高AD ＝n ，那么，这样的三角形共有（ ） （A ）10个 （B ）11个 （C ）12个 （D ）无穷多个 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．实数x 、y 、z 满足：2+=y x ，012222=++z xy ，则z y x ++的值为 ．7．如果对于任意两个实数a 、b ，“*”为一种运算，定义为b a b a 2+=*，则函数42)2(2*+*=x x y （－3≤x ≤3）的最大值与最小值的和为 ．8．已知四个正数a 、b 、c 、d 满足a ＜b ＜c ＜d ，它们两两的和依从小到大的次序分别是：23、26、29、93、x 、y ，则y x +的值为 ．9．已知点P 在直角坐标系中的坐标为（0，1），O 为坐标原点，∠QPO ＝150°，且P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为 ．10．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，设能完全覆盖△ABC 的圆的半径为R ．则R 的最小值是 ． 三、解答题（每小题15分，共60分） 11．实数x 与y 使得y x +，y x -，xy ，yx四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x ，y ）．12．如图，△ABC 的面积为S ，作直线l ∥BC ，分别交AB 、AC 与点D 、E ，若△BED 的面积为K ．求证：K ≤41S ．13．如图，在直角坐标系内有两个点A （－1，－1），B （2，3），若M 为x 轴上一点，且使MB －MA 最大，求M 点的坐标，并说明理由．14．在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝60，以A 为圆心，AB 长为半径作圆交BC 与D ，且D 在BC 边上，若BD 和DC 的长均为正整数，求BC 的长．lABCDE参考答案一、选择题1．D 2．D 3．D 4．B 5．C一、填空题6．0 7．37 8．195 9．（1，31+），（－1，31+） 10．865或215 二、解答题11．显然，0≠y ，所以y x y x -≠+．依题意，有y x xy y x ==+或yxxy y x ==-，于是 （1）⎪⎩⎪⎨⎧==+.,y xxy xy y x 解得0=x 或1±=y ． 当0=x 时，0=y （舍去）； 当1=y 时，x x =+1，无解；当1-=y 时，x x -=-1，∴21=x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,21y x（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-.,y x xy y x y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21y x故数对（x ，y ）为（21，－1），（21-，－1）．12．设x ABAD =，∵ l ∥BC ，∴ x ABADAC AE ==，由x ACAES S ABC ABE ==∆∆，得 ∴Sx S ABE =∆． 又x ABADAB BD S S ABE BDE -=-==∆∆11．∴ S S x S x x S Sx x K 4141)21()()1(22≤+--=--=⋅-=． 13．作点A 关于x 轴的对称点A ＇，作直线BA ＇交x 轴于点M ，由对称性知MA ＇＝MA ，MB －MA ＝MB －MA ＇＝A ＇B ．若N 是x 轴上异于M 的点，则NA ＇＝NA ，这时NB －NA ＝NB －NA ＇＜ A ＇B ＝MB －MA ．所以，点M 就是使MB －MA 的最大的点，MB －MA 的最大值为A ＇B ． 设直线A ＇B 的解析式为b kx y +=，则⎩⎨⎧+=+-=,23,1b k b k 解得32=k ，35=b ． 即直线A ＇B 的解析式为3532+=x y ，令0=y ，得25-=x ．故M 点的坐标为（25-，0）．，b 为正整数） 作AE ⊥BD ，垂足为E ，则AB ＝AD ＝40，BE ＝DE ＝2a． ∵ 222)2(40a AE -=，222)2(60b aAE +-=， ∴ 2222)2(60)2(40b aa +-=-，∴ 34522000)(⨯==+b b a ， ∵ 20＜b a +＜100，∴ 只有⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯=+,52,5232b b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=+.5,5224b b a故BC 的长为50或80．2007年初中数学竞赛模拟试题(4)一、选择题（每小题6分，共30分）1．若a 、b 都是质数，且22007a b +=，则b a +的值等于（ ）（A ）2004 （B ）2007 （C ）2005 （D ）2008 2．一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）83．已知|2|||2|1|++--=x x x y ，且－2≤x ≤1，则y 的最大值与最小值的和是（ ）（A ）－1 （B ）2 （C ）4 （D ）5 4．在△ABC 中，若∠A ＝58°，AB ＞BC ，则∠B 的取值范围是（ ） （A ）0°＜∠B ＜64° （B ）58°＜∠B ＜64° （C ）58°＜∠B ＜122° （D ）64°＜∠B ＜122° 5．直线k x y +=21与x 轴的交点分别为A 、B ，如果S △AOB ≤1，那么，k 的取值范围是（ ）（A ）k ≤1 （B ）0＜k ≤1 （C ）－1≤k ≤1 （D ）k ≤－1或k ≥1 二、填空题（每小题6分，共30分）6．若实数a 满足3a ＜a ＜2a ，则不等式a x +＞ax -1的解集为 ． 7．设1x 、2x 是方程02)1(222=+++-k x k x 的两个实根，且8)1)(1(21=++x x ．则k 的值是 ．8．在直角坐标系中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）、Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP ＋MQ 取最小值时，点M 的横坐标x ＝ ． 9．从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5．则这个等边三角形的面积是 ．10．若正整数a 、b 、c 满足518=+bc ab ，360=-ac ab ，则a b c 的最大值是 ．三、解答题（每小题15分，共60分）11．甲、乙两个蔬菜基地，分别向A 、B 、C 三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A 提供45t ，向B 提供75t ，向提供40t ．甲基地可安排60t ，乙基地可安排100t ．甲、乙与A 、B 、C 的距离千米数如表1，设运费为1元／（km ·t ）．问如何安排使总运费最低？求出最小的总运费值．12．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数．求出p 的所有可能值．13．已知CA ＝CB ＝CD ，过A ，C ，D 三点的圆交AB 于点F ．求证：CF 为∠DCB 的平分线．14．一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17km 的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km 的速度返回．在出发后的第60天，考察队行进了24km 后回到出发点．试问：科学考察队在生态区考察了多少天？参考答案一、选择题1．C 2．B 3．B 4．A 5．CACBD F二、填空题6．a a x +-<11 7．1 8．259．327 10．1008． 三、解答题11．设乙基地向A 提供xt ，向B 提供yt ，向C 提供)](100[y x +-t ，则甲基地向A 提供t x )45(-，向B 提供t y )75(-，向C 提供t y x y x ]60)[()]100(40[-+=---．依题意，总运费为)](100[1584]60)[(6)75(5)45(10y x y x y x y x w +-+++-++-+-= ]3)(2[31065x y x ++-=．∵0≤y x +≤100，0≤x ≤45，当且仅当100=+y x ，45=x 时，w 有最小值，则960)135200(31965=+-=最小w （元）．答：安排甲基地向A 提供0t ，向B 提供20t ，向C 提供40t ；安排乙基地向A 提供45t ，向B 提供55t ，向C 提供0t ，可使总运费最低，最小的总运费为960元．12．因为已知的整系数二次方程有整数根，所以△＝)15(4)15(4422+=---p p p p 为完全平方数，从而，15+p 为完全平方数．设215n p =+，注意到2≥p ，故4≥n ，且n 为整数．于是，)1)(1(5-+=n n p ，则1+n ，1-n 中至少有一个是5的倍数，即 15±=k n （k 为正整数）． 因此，11025152+±=+k k p ，)25(±=k k p ． 由p 是质数，15±k ＞1，知1=k ，=p 3或7．当3=p 时，已知方程变为0762=--x x ，解得11-=x ，72=x ； 当7=p 时，已知方程变为013142=+-x x ，解得11=x ，132=x ． 所以=p 3或=p 7．13．连结DF ，BD ， ∵ AC ＝CB ＝CD ，∴∠A ＝∠2，∠CDB ＝∠CBD ，∵∠A ＝∠1，∴∠1＝∠2，∴∠FDB ＝∠FBD ，∴DF ＝BF ． 又∠1＝∠2，CD ＝CB ，∴△DCF ≌△BCF ，∴∠DCF ＝∠BCF ． 即CF 为∠DCB 的平分线．ACBD F 1214．设考察队到生态区用了x 天，考察了y 天，则 1)60(2517---=y x x ，即14992542=+y x ．∴ ⎩⎨⎧-=-=.4265,325t y t x （t 为整数）由⎩⎨⎧>->-,04265,0325t t 解得35253<<t ，所以1=t ．于是，⎩⎨⎧==.23,22y x答：科学考察队在生态区考察了23天．。