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第五章
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等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式
和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比
数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体 上把握它们，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等 比数列项的积的运算，若能关注通项公式an＝f(n)的下标n的大小关系， 可简化题目的运算．
答案： C
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1 S4 4．设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则a ＝________. 4
1 a11－24 13 1 15 ＝ a1，S4＝ 解析： a4＝a1 2 1 ＝ 8 a1， 8 1－ 2
S4 ∴a ＝15.
第3课时
等比数列
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1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项 起，每一项与它的 前一项 的比等于 同一个 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常用字母 q (q≠0)表示． (2)等比数列的通项公式
答案： (1)A (2)D
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【变式训练】 3.(1)(2010· 北京卷)在等比数列{an}中，a1＝1，公比 |q|≠1.若 am＝a1a2a3a4a5，则 m＝( A．9 C．11 B．10 D．12 )
(2)设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn 分别为数列{lg an} Sn n 与{lg bn}的前 n 项和，且T ＝ ，则 logb5a5＝________. 2n＋1 n
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1．等比数列{an}中a5＝4，则a2·a8等于(
A．4 C．16 B．8 D．32
)
解析： ∵{an}是等比数列且2＋8＝2×5， ∴a2·a8＝a52＝16. 答案： C
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2．(2010·重庆卷)在等比数列{an}中，a2 为( )
010＝8a2 007，则公比q的值
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(2010· 全国卷Ⅰ)(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中， 1a2a3＝5， a a7a8a9＝10，则 a4a5a6＝( A．5 2 C．6 ) B．7 D．4 2
(2)(2010· 安徽卷)设{an}是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和 与前 3n 项和分别为 X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( A．X＋Z＝2Y C．Y2＝XZ B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X) )
解析： (1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＝a， ∴an＝1＋(n－1)(a－1)． 又∵b3＝12，∴a3a4＝12， 即(2a－1)(3a－2)＝12， 5 解得 a＝2 或 a＝－ . 6 ∵a＞0，∴a＝2.∴an＝n.
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(2)∵数列{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a(a＞0)， ∴an＝a
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故数列{an＋1}从第二项起，是以 a2＋1 为首项，公比为 2 的等比数 列． 又 S2＝2S1＋1＋1，a1＝1，所以 a2＝3. 故 an＝4×2n 2－1＝2n－1(n≥2) 又 a1＝1 满足 an＝2n－1， 所以 an＝2n－1.
－
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等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有
a11－qn 解析： 由题设知 a1≠0，Sn＝ ， 1－q ① a1q ＝2， a11－q2 则a11－q4 1－q ＝5× 1－q . ②
2
由②式得 1－q4＝5(1－q2)， 即(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0.
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因为 q＜1，所以 q＝－1 或 q＝－2. 当 q＝－1 时，代入①式得 a1＝2， 所以通项公式 an＝2×(－1)n－1； 1 当 q＝－2 时，代入①式得 a1＝2， 1 所以通项公式 an＝2×(－2)n－1.
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(2)由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.
又∵{an}是等比数列， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列， 即X，Y－X，Z－Y为等比数列， ∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)， 即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY， ∴Y2－XY＝ZX－X2，
即Y(Y－X)＝X(Z－X)，∴选D.
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解析： (1)在等比数列{an}中，∵a1＝1， ∴am＝a1a2a3a4a5＝a15q10＝q10. 又∵am＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11. a „· S9 lga1·2· a9 lg a59 lg a5 (2)由题意知 ＝ ＝ ＝ T9 lgb1·2· b9 lg b59 lg b5 b „· 9 ＝logb5a5＝ . 19
n－1 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1q
.
(3)等比中项 如果三个数 a、G、b 组成 G b 中项，那么 a ＝G，即 G2＝ ab .
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，则 G 叫做 a 和 b 的等比
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【思考探究】 b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？ 提示： b2＝ac是a，b，c成等比的必要不充分条件， ∵当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成 等比数列；反之，若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.
9 答案： (1)C (2)19
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等比数列的定义，通项公式，前n项和公式是解决等比数列中的有
关计算、讨论等比数列的有关性质的问题的基础和出发点． (1)确定等比数列的关键是确定首项a1和公比q. (2)在等比数列通项公式和前n项和公式中共涉及五个量an，a1，n， q，Sn，可“知三求二”．
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an ∴数列2n－2是等差数列，公差为 3，首项为 2.
an ∴ n－2＝2＋(n－1)×3＝3n－1. 2 ∴an＝(3n－1)·n 2.∴cn＝2n 2. 2 cn＋1 2n 1 ∴ c ＝ n－2＝2. 2 n ∴数列{cn}为等比数列，公比为 2.
4
答案： 15
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5．(2010·福建卷)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等 于21，则该数列的通项公式an＝________. 解析： ∵等比数列{an}的前3项之和为21，公比q＝4，不妨设首
项为a1，则a1＋a1q＋a1q2＝a1(1＋4＋16)＝21a1＝21， ∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.
A．2
C．4
3
B．3
D．8
a2 010 解析： ∵a2 010＝8a2 007，∴q ＝a ＝8.∴q＝2. 2 007
答案： A
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1 1 3．已知等比数列{an}中，a2＝2，a4＝4，则 a10＝( 1 A.16 1 C.32 B. 1 16 2
)
1 D.64
解析： 易知 a2，a4，a6，„，a10 也成等比数列，则将 a2 作为数列 1 1 － 的首项，q＝2，a10＝a2q5 1＝32.
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2．等比数列的性质 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.
1 2 (1)数列{c·n}(c≠0)，{|an|}，{an·n}({bn}也是等比数列)，{an }，a a b n
等也是等比数列．
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，„仍是等比数列．
－ － －
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【变式训练】 1.数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n ＋1，n∈N＋.求证：数列{an＋1}从第二项起是等比数列，并求数列{an} 的通项公式．
证明： 由 Sn＋1＝2Sn＋n＋1① 得 Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋1(n≥2)．② ①－②得 Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－(n－1)． 故 an＋1＝2an＋1(n≥2)． an＋1＋1 又 an＋1＋1＝2(an＋1)，所以 ＝2(n≥2)． an＋1
答案： 4n－1
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等比数列的判定方法有： an＋1 an (1)定义法：若 a ＝q(q 为非零常数)或 ＝q(q 为非零常数且 an－1 n n≥2)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0 且 an＋12＝an·n＋2(n∈N＋)，则 a 数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·n(c，q 均为不为 0 的 q 常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列． (4)前 n 项和公式法：若数列{an}的前 n 项和 Sn＝k·n－k(k 为常数且 q k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
n－1
.∴bn＝anan＋1＝a
2n－1
bn＋1 .∵ b ＝a2， n
∴数列{bn}是首项为 a，公比为 a2 的等比数列． 当 a＝1 时 Sn＝n； aa2n－1 a2n＋1－a 当 a≠1 时，Sn＝ 2 ＝ 2 . a －1 a －1