设单位长度电缆的自感为L，则单位长度电缆储存的磁能也可 设单位长度电缆的自感为 ， 表示为
由方程
µ0I 2 1 R 1 2 2 LI = + ln R 2 4 4 π 1
µ0 1 R 2 可得出 L = + ln 从能量出发，求解自感系数 2 4 R π 1
10cm
或
dϕ 2 dB ei = = πr = π ×(10×10−2 )2 ×0.1 dt dt
= π ×10−3 = 3.14×10−3V
(3) 根据欧姆定律，圆环中的感应电流为 根据欧姆定律， ei π −3 −3
Ii = R = 2 ×10 =1.57×10 A
× × × × × × × × × × × ×
电场的电力线是同心圆， 且为顺时针绕向。 因此， 电场的电力线是同心圆 ， 且为顺时针绕向 。 因此 ， 圆环上 任一点的感生电场，沿环的切线方向且指向顺时针一边。 任一点的感生电场 ， 沿环的切线方向且指向顺时针一边 。 其大小为
1 dB 1 E旋＝ r = ×10×10−2 ×0.1 2 dt 2
3、 在图示虚线圆内的所有点上，磁感 、 在图示虚线圆内的所有点上， 应强度B为 应强度 为 0.5T，方向垂直于纸面向里 ， ， 方向垂直于纸面向里， 且每秒钟减少0.1T。虚线圆内有一半径 且每秒钟减少 。 的同心导电圆环， 为 10 cm 的同心导电圆环，求： (1)圆环上任一点感生电场的大小和方向。 圆环上任一点感生电场的大小和方向。 圆环上任一点感生电场的大小和方向 (2)整个圆环上的感应电动势的大小。 整个圆环上的感应电动势的大小。 整个圆环上的感应电动势的大小
在圆柱与圆筒之间的空间距轴线r处 取一半径为 、厚为dr、 在圆柱与圆筒之间的空间距轴线 处，取一半径为r、厚为 、 单位长度的共轴薄壁圆柱壳、 单位长度的共轴薄壁圆柱壳、薄壁圆柱壳内磁能密度
w2 m
薄壁圆柱壳内磁场能量
µ0I 2 B2 = = 2µ0 8 2r2 π
dW 2 m
2
µ0I 2 = w dV = dr m 4 r π
B1的方向与直线段 1垂直，B1与v1的夹角为 π− 。 的方向与直线段r 垂直， 的夹角为(π− π−β)。 因此，AB段的动生电动势大小为 因此， 段的动生电动势大小为
b sinα r 1
µ0I B = 1 2 r π1
O b
A r2
β
α
ω
D
µ0Ia2ω ε1 = Bv1(2a)sin(π − β ) = sin β 1 πr 1
H = H 0 cos ω (t − r / u );
称为电磁波的波速
空间任一点E和H,在数值上的关系：ε E = µ H
电磁波的能量： 1 能量密度 w = we + wm = ε E 2 + µ H 2 2 v v v 能流密度 ( 坡印廷矢量 ) S = E×H
(
)
1、 如图 所示，电流强度为 的长直导线附近有正方形线圈 、 如图(a)所示 电流强度为I的长直导线附近有正方形线圈 所示， 绕中心轴OO′以匀角速度 ω旋转，求线圈中感应电动势。已知 绕中心轴 ′以匀角速度ω旋转，求线圈中感应电动势。 正方形边长为2a， 正方形边长为 ， OO′轴与长导线平行，相距为 。 ′轴与长导线平行，相距为b。 O O ω 2a b O′ ′ (a) I
全电流： 全电流：I=Ic+Id，总是连续的 普遍的安培环路定理
v v v ∂D v ∫L H ⋅ dl = ∑Ii + ∫∫s ∂t ⋅ dS i
麦克斯韦方程组：
物质方程: v v D =εE v v B = µH v v j =γE
∫∫S i r r ∫∫S B⋅ dS = 0 r r v ∂B r ∫L E ⋅ dl = −∫∫s ⋅ dS ∂t v v v ∂D v ∫L H ⋅ dl = ∑Ii + ∫∫s ∂t ⋅ dS i
10cm
(4) 若圆环被切断，两端分开很小一段距离，两端的电位差 若圆环被切断，两端分开很小一段距离， 端电压）在数值上等于电动势。 （端= 2π r ⋅ E旋 = ei e
L = −E旋 ⋅ab＋ ab = 0 2πr
= 3.14×10−3 伏
2、 一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，二者半 、 一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成， 径分别为R 筒和圆柱之间充以电介质， 径分别为 1 和R2，筒和圆柱之间充以电介质，电介质和金属的 均取作1，求此电缆通过电流I(由中心圆柱流出 由圆筒流回) 由中心圆柱流出， µr均取作 ，求此电缆通过电流 由中心圆柱流出，由圆筒流回 单位长度内储存的磁能， 时，单位长度内储存的磁能，并通过和自感磁能的公式比较求 出单位长度电缆的自感系数。 出单位长度电缆的自感系数。 同轴电缆截面如图所示。 解：同轴电缆截面如图所示。 dr 同轴电缆在空间的磁场分布为 R2 µ Ir
2 r1
β
ω
D
b
A r2
α
3 4
a C
1
v1 a
B1 B
(b)
O′
解：设时刻 线圈相对于图 所示的初始位置转动了角α(见图 。 设时刻t线圈相对于图 所示的初始位置转动了角α 见图 线圈相对于图(a)所示的初始位置转动了角 见图(b))。
这时AB边的速度为 这时 边的速度为
v1=a ω
V1的方向如图 所示，与AD边垂直。AB边上的磁感应强度 的方向如图(b)所示 所示， 边垂直。 边上的磁感应强度 边垂直
在各向同性均匀介质中，运用Maxwell 在各向同性均匀介质中，运用Maxwell 方程组加上物质方程， 方程组加上物质方程，并考虑初始和 边界条件，可求解电磁场问题。 边界条件，可求解电磁场问题。
v r D⋅ dS = ∑qi
• 电磁波
平面电磁波的波函数
E = E0 cos ω (t − r / u ); 其中， = 1 / εµ u
5、电量Q均匀分布在半径为 长度为 （L》a）的长筒表面上， 、电量 均匀分布在半径为 长度为L 》 ）的长筒表面上， 均匀分布在半径为a长度为
t 筒绕中心轴旋转的角速度为 筒绕中心轴旋转的角速度为 ω = ω 0 1 − , 一半径为 、电阻 t 0 一半径为2a、
的单匝线圈套在圆筒上， 带线圈上的感应电流 上的感应电流。 为R的单匝线圈套在圆筒上，求：带线圈上的感应电流。 的单匝线圈套在圆筒上
4、长直螺线管内磁场均匀分布方向如图，螺线管圆截面半径为R， 、长直螺线管内磁场均匀分布方向如图，螺线管圆截面半径为 ， 为常数且k>0。有一块质量为 的铜， 的铜， 如磁场是变化的且 dB/dt=k，k为常数且 为常数且 。有一块质量为m的铜 用它拉成粗细均匀的导线，做成一半径为r的圆形回路 的圆形回路， 用它拉成粗细均匀的导线，做成一半径为 的圆形回路，放置于磁 场中，如图所示。已知铜的质量密度为δ 电阻率为ρ 场中，如图所示。已知铜的质量密度为δ，电阻率为ρ。 求：回路中感应电流Ｉ。 解：由楞次定律可知回路中感应电流方向逆时针 由楞次定律可知回路中感应电流方向逆时针
× × × × × × × × × × × ×
10cm
(3)导电圆环电阻为 欧时圆环中的感应电流。 导电圆环电阻为2欧时圆环中的感应电流 导电圆环电阻为 欧时圆环中的感应电流。 (4)圆环被切断，两端分开很小一段距离，两端的电位差。 圆环被切断，两端分开很小一段距离，两端的电位差。 圆环被切断
解： (1) 根据感生电场是涡旋场并具有对称性，虚线圆内感生 根据感生电场是涡旋场并具有对称性，
2 r1
O b
A r2
β
α
ω
D
3 4
a C
1
v1 a
B1 B
(b)
O′
AD段和BC段上每一点(v×B)都和dl垂直，这两段上电动势 为零。因此线圈中感应电动势
ε = ε1 +ε2
µ0Ia2bω 1 1 = + 2 a2 + b2 − 2abcosωt a + b2 + 2abcosωt sinωt π
• 自感： 自感：
自感系数： 自感系数：
i di 自感电动势： 自感电动势： εL = −L dt
1 自感磁能： 自感磁能： Wm = LI 2 2
L=
ψ
(L一定时)
• 互感： 互感： 互感系数： 互感系数：
M=
ψ21 ψ12
i1 = i2
di1 ε 互感电动势： 互感电动势： 21 = −M (M一定时) dt v v v ∂D v • 与变化电场相联系的磁场 ∫L H ⋅ dl = ∫∫s ∂t dS v ∂D v • 位移电流： 位移电流： Id = ∫∫ dS s ∂t v r dD 位移电流密度： 位移电流密度： Jd = dt
此公式请参考教材上册P259， = 5×10−3 伏/ 米 此公式请参考教材上册P259，例8-10
(2) 整个圆环上的感应电动势的大小为
ei =
∫
L
E旋 ⋅ dl =E旋 ⋅ 2π r
× × × × × × × × × × × ×
= 5×10−3 × 2π ×10×10−2
= π ×10−3 = 3.14×10−3 伏
圆柱与圆筒之间的空间内的磁场能量
W 2 = ∫ dW 2 = ∫ m m
R2 R 1
µ0I 2 µ0I 2 R2 dr = ln 4π r 4π R 1
单位长度电缆存储的磁能即为
1 2
µ0I 2 1 R W = W +W = + ln 2 m m m R 4π 4 1
W = m 1 LI 2 2
r r dB 2 ε i = ∫ E ⋅ dl = π r = kπ r 2 dt m 由 m = δ ⋅ 2π r ⋅ s知 s = δ ⋅ 2π r