第一讲 相似三角形——相似与比例线段第一课时一．放缩与相似1. 相似形的概念一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。

我们把形状相同的两个图形叫做相似形。

2. 相似形的特征(1) 相似三角形的特征∠A' =∠A ; ∠B'=∠B; ∠C' =∠CBCC B AC C A AB B A 111111===K (2) 相似多边形的特征推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n 边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。

【典型例题】1. 如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm ，那么长春到大连的实际距离为 千米。

【同类变式】2. 在地图上，都标有比例尺。

现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得∆ABC 的三边：AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际∆A'B'C'的周长是多少米？3. 某两地在比例尺为1:5000000的地图上的距离是30cm ，两地的实际距离是多少？如果在该地图上A 地（正方形场地）面积是3cm 2,问该地实际面积是_________4. 下列说法正确的有（ ）个（1）有一个角是100o 的等腰三角形相似 （2）有一个角是80o 的等腰三角形相似（3）所有的等腰直角三角形相似 （4）所有的正六边形都相似（5）所有的矩形都相似 （6）所有的正方形都相似A ．2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。

【同类变式】6. E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1。

求矩形ABCD 的面积。

7. 在相同时刻的物高和影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10m 此时身高是1.8米，小明的影长是1.5米，求旗杆的高度。

8. 把一个矩形截去一个正方形后，所剩的矩形与原矩形是否相似？若相似说明理由；若不相似，问矩形的短边与长边之比为多少时一定能相似？二．比例线段(1) 线段的比：我们把两条线段的长度叫做线段的比。

记作a:b 或ba 。

(2) 比例线段：在四条线段abcd 中，其中两条线段a, b 的比等于两条线段c,d 的比, 即dc b a =，那个这四条线段叫做比例线段。

其中，a b cd 叫做成比例的项。

(3) 比例外项，比例内项，第四比例项(4) 比例中项：如果比例内项的两条线段是相等的，即a:b =b:c ,那么线段b 叫做线段的比例中项。

★比例的性质(1) 比例的基本性质dc b a =ad =bc (运用等式的基本性质) 特别地，a:b =b:c ，那么b 2=ac ,反之亦然(2) 合比,分比性质如果d c b a =，那么d d c b b a +=+(两种证明方法)，a b c d b d--= (3) 等比性质 如果k b a b a ==2211，那么2121b b a a ++=k b a b a ==2211 推论n n b b b a a a a ++++++++...b ...321321=11b a =22b a =...=n n b a =k 注意 b 1+b 2+b 3+...+b n ≠0(4) 反比性质如果d c b a =，那么cd a b = (5) 更比性质 如果d c b a =，那么d b c a =（交换内项）或a c b d =（交换外项） 【典型例题】1. (1) 已知a, b, c, d 是成比例线段，其中a =3,b =2,c =6,求d 的大小(2) 已知线段a, b, c 其中一条线段是另两条线段的比例中项，且a =3,b =6,求c 的大小2. 已知3230,2x y x y x y--==+则 3. 已知,24,345a b c a b c ==++=求2a b c -+= 4. 若互不相等的四条线段的长,,,a b c d 满足a c b d =，m 是任意实数，则各正确的（ ） A ．a m c m b m d m ++=++ B. a b c d b c ++= C. a c a d c d --= D. a b c d a b c d--=++ 5. 43b d f a c e ===，若24240,24b d f a c e a c e -+-+≠=-+则 6. 已知x, y, z 三个不同的正数，且y x y x x z z y+==-。

求x : y7.已知AD AEDB EC=，AD=15，AB=40，AC=28，求AE的长度。

8. 已知AE BEAD BC=.求证：(1)AE BEED EC=;(2)AE EDBE EC=第二课时三．黄金分割★黄金分割：当AP:AB=21-5≈0.618，我们称之为黄金分割。

注：(1) 黄金分割数21-5不是一条线段的长。

它指的是一条线段被点P黄金分割所分成的两条线段中较长的线段比上原线段的比值。

(2) 条件AP>PB,AP:AB=21-5是在这个前提下才能成立(3) 黄金分割清晰定义：线段上一点把它分成两条线段，其中较长线段是较短线段与原线段的比例中项，这种分割叫做黄金分割。

1. (1) 已知线段AB=10cm，点C是AB的黄金分割点，且AC>BC,求线段AC和BC的长。

(2) 乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点。

求CD的长。

【同类变式】2. 已知线段AB 的长为4cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，则线段BP 的长是多少？3. 已知：C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC.D 是AB 延长线上一点，BD<AB,且B 是线段AD 的黄金分割点。

求证：AC=BD4. 有以下命题：①如果线段d 是a ,b ,c 的第四比例项；则有a c b d=②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项，③如果C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC那么AC 是AB 与BC 的比例中项；④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，且AB=2，则1。

其中判断正确的是 。

5. 在矩形ABCD 中截取正方形ABMN ，已知MN 是BC 和CM 的比例中项，CM=3－5，求AD 的长。

四．同高的两个三角形的面积比等于对应底边的比1. 如图，已知9,6,10ADE CDE BDC S S S ∆∆∆===. 求证：AD AE DB EC= 2. 已知，梯形ABCD 中,AD ∥BC ，4,8DOC BOC S S ∆∆==,分别求出△AOB, △AOD 面积并分别求出DO AOBO OC和的值。

3. 在△ABC中，AD=1，DC=2，AB=4，点E是AB上一点，且△DEC的面积等于△ABC的面积的一半，求线段EB的长。

3.梯形ABCD中，BC∥AD，BC=3AD, 点E在AB边上，且14AEBE=,求BECAECDSS∆4.已知在△ABC中，点E为AB的中点，做平行四边形BCDE，由点C向AB,DE上作垂线CF,CG，垂足分别是点F,G。

求证BC AE CF CG=5. △ABC的面积为1，D是边AB上一点，且13ADAB=，若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为34，求CEEA的值。

作业：一、 填空题1.如果线段a=3，b=12，那么线段a 、b 的比例中项x=___________。

2、线段a=2cm ，b=3cm ，c=1cm ， 那么a 、b 、c 的第四比例项d=____ 。

3.在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = .4.若9810z y x ==, 则 ______=+++zy z y x . 5.若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ，b = ，c = .6.已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ，y = ，z = .7.若43===f e d c b a , 则______=++++fd be c a . 8.已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= .9.若322=-y y x , 则_____=yx . 10.图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .11.如图，已知 AB ∶DB = AC ∶EC ，AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm , 则 AE = ； 12.已知，线段a = 2 cm ，)32(-=c cm ，则线段a 、c 的比例中项b 是 . (第11题图)二、选择题1.已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ）(A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶4AC DBE2.下列线段能成比例线段的是（ ） (A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm3.如果线段a =4，b =16，c =8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ）(A)8 (B)16 (C)24 (D)324.已知32=b a ，则bb a +的值为（ ） (A)23 (B)34 (C)35 (D)53 5.已知x ∶y ∶z =1∶2∶3，且2x+y -3z = -15，则x 的值为（ ）(A)-2 (B)2 (C)3 (D)-36.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度约为（ ）(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ）(A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ） (A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm (C)( 5 –1)cm (D)(3- 5 )cm9.若D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，且AD AB =AE AC，那么下列各式中正确的是（ ）(A)AD DB =DE BC (B)AB AD =AE AC (C)DB EC =AB AC (D)AD DB =AE AC10.若b a c a c b c b a k 222-=-=-=，且a +b +c ≠0，则k 的值为（ ） (A)-1 (B)21 (C)1 (D)- 12 三、解答题1.已知0753≠==z y x ，求下列各式的值：(1)y z y x +- (2)z y x z y x +-++35432.2.已知0≠-=-=-za c y cb x b a ，求x+y+z 的值.3.已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a+b+c =60cm ，a ∶b ∶c =3∶4∶5， 求ΔABC 的面积.。