2. 应变的度量

应力状态 是指某一瞬间作用于物体上的应力
分布情况，应力场是随时间而变化的。

应变 是指物体在变形前后状态的比较，是经过
一段时间的变形后两种状态的比较。
（1）长度应变 Longitudinal strain

Extension 线应变（伸长度）


变形后单位长度的改变量

刚体平移 Translation 物体相对于
外部坐标作整体的平移(直 移)

刚体旋转 Rotation 物
体相对于外部坐标作整体的 旋转
单元体相对 于坐标 的位移基本型式
体变 Dilation 物体 内各个质点的相对位置 发生了变化，改变了物 体的大小 形变 Distortion（变 歪）物体内各个质点的 相对位置发生了变化， 改变了物体的形状 应变 Strain 物体在 应力作用下的形状和大 小的改变量。有时也涉 及其旋转的成分


λ1 = (1+e1)
λ2 = (1+e2)
2
2
= [2+γ2+γ(4+γ2)
= [2+γ2-γ(4+γ2)
1/2]/2
1/2]/2


tan2θ’ = 2/γ
tan2θ= -2/γ


tanω =γ/2
详细的推导过程，请参阅Ramsay和Huber的原著之附录B。
四、应变对象中线的长度和角度变化


2 简单前切应变椭圆的简单推导
二维单位圆，圆心在（0，0）其方程：x2+y2=1 (1)
（坐标变换方程下）

其中任一点（x, y),经简单剪切后到达（x’, y’），则
x=x’+ γy’, y=y’ --欧拉方程 （2） 将（2）代入（1）式，可得： x’2+2γ x’y’+(1+γ2)y’2=1 （3）
有限应变(finite
strain)：物体变形的 最终状态和初始状态的对比所发生 的变化 递进变形 progressive deformation 增量应变 incremental strain 无限小应变(infinitesimal strain)
4 均匀变形（homogeneous） 和非均 匀变形（ inhomogeneous deformation） 物体内各点的应变状态相同的变形称均匀变形。

不连续变形(Discontinuous
Deformation )：
如断裂构造
应变相容性(strain
compatibility, Hudleston,
1999, JSG): Two or more strain types
coordinate with each other
简 示单 观剪 察切 尺 度的 的卡 影片 响模 型
如图中OY线γy=为正值，而γx则为负值
剪应变（ γ）的正负取值也可表达为：
如果原始垂线相对于特定 方向顺时针旋转，角剪应 变γ取负值； 如果原始垂线相对于特定 方向逆时针旋转，角剪应 变γ取正值； 如右图，A’B’、B’C’取正值， C’A’取负值！
3 有限应变finite strain和无限小应变 infinitesimal strain





5 普通剪切 general shear 简单剪切 x’=x+ γy y’=y 叠加单轴伸缩 x’’=x’ y’’=(1+ey)y’. x’’=x+ γy y’’=(1+ey)y
p y’’
p’
p’’
x’’





6 一般的均匀应变 x’=ax+by y’=cx+dy 系数为a, b, c, d 或 x=(dx’-by’)/(ad-bc) y=(-cx+ay)/(ad-bc) 直线的变形 y=mx+k y’=[(c+dm)/(a+bm)]x’+[(ad -bc/(a+bm)]k
p
p’ λ11/2
α α’
θ’
λ21/2
3）任意初始与X轴成α角的直线的线应变λ λ=1/2（a2-b2+c2-d2)cos2α+(ab+cd)sin2α +1/2(a2+b2+c2+d2)
其中λ=(1+e)2
任意最终与X轴成α’角的直线的线应变λ’
λ’= [1/2（d2+c2-a2-b2)cos2α’-(ac+bd)sin2α’
sin φ=y=y’/ λ21/2 , cos2φ+ sin 2φ=1, λ’=1/λ= λ1’ cos2φ’+ λ2’ sin 2φ’ λ=λ1 cos2φ+ λ2 sin 2φ
p (x,y)
2 角度变化

φ 1
sinφ=λ1/2sinφ’/λ21/2 cosφ=λ1/2cosφ’/λ11/2
λ1/2 p’(x’,y’) φ’
y
1长度变化

p (x,y) x
φ 1
初始与应变椭圆长轴成φ角，变形后
成φ’角的直线。
x’=x λ1
1/2

, y’=y λ2
1/2
(上图)
y’ λ1/2 p’(x’,y’) φ’ X’
x’= λ1/2 cosφ’, y’= λ1/2 sin φ’（下图）


cosφ=x=x’/ λ11/2 ,


x’= λ1/2 cosφ’, y’= λ1/2 sin φ’ cosφ=x=x’/ λ11/2

sin φ=y=y’/ λ21/2

这与
x’2+2γ x’y’+(1+γ2)y’2=1
是同一个椭圆的方程
3
初始为椭圆变形后的应变方程
初始椭圆方程：lx2-2mxy+ny2=1
经变形后仍为椭圆，其方程为：
px’2-2qx’y’+ry’2=1
其中：
p=(ld2+2mcd+nc2)/(ad-bc)2
q=[m(ad+bc)+lbd+nac]/(ad-bc)2
在x, y, z坐标系下，单位球体方程：x2+y2+z2=1 经均匀变形后变成椭球，具有三个相互垂直的主轴，可以 证明，这些主轴变形前也是相互垂直的（课后请大家自己 证明） 单位球体半径为1，则应变椭球主半径分别为1+e1, 1+e2和 1+e3,即λ11/2, λ21/2, λ31/2，一般λ1≥λ2 ≥λ3 在x, y, z坐标中，方程为: x2/λ1+y2/λ2+z2/λ3=1 这是应变椭球的方程,平面二维下，可变化为应变椭圆。
tan2θ’ = 2(ac+bd)/( a 2+b 2-c 2-d 2)

变形前应变主轴与X轴的夹角θ
tan2θ= 2(ab+cd)/( a 2-b 2+c 2-d 2)

旋转角度及其相互关系 tanω = tan(θ’-θ) = (b-c)/(a+d)
tan2ɷ=tan(2θ-2θ’)
tanɷ=+γ/2
4(ad-bc) 2]1/2}/2

短轴λ21/2 = (1+e2) ={a 2+b 2+c 2+d 2-[( a 2+b 2+c 2+d 2) 2 – 4(ad-bc) 2]1/2}/2
2）应变椭圆应变主轴，以及变形前应变主轴与x轴
间的夹角θ’、θ和旋转角度ω及其相互关系

应变主轴与X轴的夹角θ’
第二章 变形岩石的应变分析基础: 二维应变分析
方向变化: 赤平投影（定量几何分析）、剪应变（定量运动学） 大小变化: 应变测量 变化过程：构造模拟（正演、反演）：数学与物理方法
主要参考书： J. G. Ramsay and M. I. Huber, 1983, The Technique of Modern Structural Geology Volume 1 Strain Analysis 现代构造地质学方法 第一卷 应变分析，地质出版社， 1991。 郑亚东、常志忠，1985，岩石有限应变测量及韧性剪切带 ，地质出版社。

这是一个椭圆的方程,称为应变椭圆 应变椭圆的通用方程是： Ax2+Bxy+Cy2=1 A、B和C为常数


简单剪切条件下应变椭圆方程的计算实例
边长为2的正方形简单剪切后形成的椭圆及坐标系如图，其内接圆为单位半径圆。正方 形中x轴上质点保持不动，其余质点沿平行x轴方向成比例移动，上方向右，下方向左， 上、下边缘点移动距离为5/6。
+ 1/2(a2+b2+c2+d2)] /(ad-bc)2 其中λ’=1/λ= 1/(1+e)2
4）任意初始与X轴成α角的直线与主应变轴
变形后应变椭圆的主应变轴的方向（θ’）
为获得最大(长轴)与最小值(短轴)，可令：
5）比较典型变形，如简单剪切的应变椭圆参数

坐标变换方程常数a=1 b=γ c=0 d=1，应变椭圆参数为：

单位圆圆心在（0，0），其方程：x2+y2=1
(1)
根据坐标关系，其中任一点（x, y),经简单剪切后到达（x1, y1），则 x1=x+5/6 y, y1=y 即x= x1-5/6 y1, y=y1 （2） （3）
将（3）代入（1）式，可得：