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大学物理A习题答案(东北林业大学)
对方程两边同时积分,并将初始条件带入积分方程,有
解得物体的速率为 ,方向竖直向下
(2)由 得
对方程两边同时积分,并将初始条件带入积分方程,有
解得物体的运动方程为
1-9一质点作半径r=5m的圆周运动,其在自然坐标系中的运动方程为 (SI),求:t为何值时,质点的切向加速度和法向加速度大小相等。
解:由运动方程得
解:
其中, , ,对上式计算得
3-3两个质量分布均匀的圆盘A和B的密度分别为 和 ( ),且两圆盘的总质量和厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为JA和JB,则有[]
(A)JA>JB(B)JA<JB(C)JA=JB(D)不能确定JA、JB哪个大?
解题提示:圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量为
2-10在光滑的水平面内有两个物体 和 ,已知 。(1)物体 以一定的动能 与静止的物体 发生完全弹性碰撞,则碰撞后两物体的总动能为;(2)物体 以一定的动能 与静止的物体 发生完全非弹性碰撞,则碰撞后两物体的总动能为。
解:(1)因两物体发生完全弹性碰撞,故满足动能守恒。所以
(2)由动量守恒定律有
所以碰后两物体的速度为
整个刚体对O轴的的转动惯量
3-5有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上,下列说法不正确的是[]
(A)这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零
(B)这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零
(C)力在转动平面内的分力对转轴产生的力矩,才能改变刚体绕转轴转动的运动状态
2-5A、B两质点的质量关系为 ,同时受到相等的冲量作用,则[D]
(A)A比B的动量增量少(B)A与B的动能增量相等
(C)A比B的动量增量大(D)A与B的动量增量相等
提示:动量定理:合外力的冲量等于动量的增量。
2-6如图所示,一质量为0.05kg、速率为10 的小球,以与竖直墙面法线成 角的方向撞击在墙上,并以相同的速率和角度弹回。已知球与墙面的碰撞时间为0.05s。求在此碰撞时间内墙面受到的平均冲力。
解:按照图中所选坐标, 和 均在x、y平面内,由动量定理,小球在碰撞过程中所受的冲量为
其中, , , , 。
即 ,
所以,小球受到的平均冲力为
设 为小球对墙面的平均冲力,根据牛顿第三定律,可知
=−14.1N
即墙面受到的平均冲力大小为14.1N,方向沿x轴负向。
2-7质量为2kg的物体,在变力F(x)的作用下,从 处由静止开始沿x方向运动,已知变力F(x)与x之间的关系为
设滑轮转动方向为正方向,则根据刚体定轴转动定律有
其中滑轮的转动惯量
根据牛顿第二定律有
物体A:
其中, ,
因绳与滑轮之间无相对滑动,所以有
将4个方程联立,可得滑轮的角加速度
物体A与滑轮之间的绳中的张力
物体B与滑轮之间的绳中的张力
3-7如图所示,质量分别为 和 的物体 和 用一根质量不计的轻绳相连,此绳跨过一半径为 、质量为 的定滑轮。若物体 与水平面间是光滑接触,求:绳中的张力 和 各为多少?(忽略滑轮转动时与轴承间的摩擦力,且绳子相对滑轮没有滑动)
解:如图所示,在直角坐标系xOy中,t时刻船离岸边的距离为 ,船的位置矢量可表示为
船的速度为
其中
所以
因绳子的长度随时间变短,所以
则船的速度为
所以船的速率为
1-4已知质点的运动方程为 (SI)。求:(1)质点在任意时刻的速度和加速度。(2)质点的轨迹方程。
解:(1)由速度的定义得
由加速度的定义得
(2)由运动方程有 , , 消t得
解:设运动方向为正方向,由 得
(1)
所以加速度的大小为
因摩擦力是物体运动的合外力,所以
将(1)式带入上式,得
2-3如图所示,两个物体 、 的质量均为m=3kg,物体A向下运动的加速度 。求物体B与桌面间的摩擦力。(绳的质量不计,且不可伸长)
解:选地面为惯性参照系,采用隔离法对两物体进行受力分析,如图所示。因绳质量不计,所以绳中各点张力处处相等。根据牛顿第二定律,有
质点的切向加速度为
质点的法向加速度为
当两者相等时,有
解得时间t的值为 s
1-10质点做半径为1m的圆周运动,其角位置满足关系式 (SI)。t=1s时,质点的切向加速度12m·s-2,法向加速度36m·s-2,总加速度37.95m·s-2。
解:由运动方程 得
角速度为 ,角加速度为
t时刻,质点的切向加速度的大小为
质量
因为 ,所以 ,则有JA<JB。故选择(B)。
3-4如图所示,两长度均为L、质量分别为 和 的均匀细杆,首尾相连地连成一根长直细杆(其各自的质量保持分布不变)。试计算该长直细杆对过端点 (在 上)且垂直于长直细杆的轴的转动惯量。
解:左边直棒部分对O轴的转动惯量
由平行轴定理,右边直棒部分对O轴转动惯量
式中,x的单位为m,F(x)的单位为N。求:(1)物体由 处分别运动到 ,10,15m的过程中,力F(x)所做的功各是多少?(2)物体在 ,10,15m处的速率各是多少?
解:(1)根据功的定义 ,得
x=5时,有 J
x=10时,有 J
x=15时,有 J
(2)根据动能定理 ,得
所以,物体在x=5m处的速率
(D)物体的动能变化,动量却不一定变化
3-9一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动,该曲线在直角坐标系下的定义式为 ,其中 、 、 皆为常数.则此质点所受的对原点的力矩 =;该质点对原点的角动量 =。
解:因为
所以
因为
其中, , ,对上式计算得
=
3-10一人手拿两个哑铃,两臂平伸并绕右足尖旋转,转动惯量为 ,角速度为 。若此人突然将两臂收回,转动惯量变为J/3。如忽略摩擦力,求:此人收臂后的动能与收臂前的动能之比。
则碰后两物体的总动能为
班级
第
3-1当飞轮作加速转动时,对于飞轮上到轮心距离不等的两点的切向加速度 和法向加速度 有[D]
(A) 相同, 相同(B) 相同, 不同
(C) 不同, 相同(D) 不同, 不同
解题提示:可从 和 来讨论,转动的刚体上半径不同的质点均具有相同的角位移,角速度和角加速度。
3-2一力 N,其作用点的矢径为 m,则该力对坐标原点的力矩为 。
解题提示:瞬时速度计算 ,瞬时加速度计算 ;位移为 ,平均速度为 ,平均加速度为
1-7已知质点沿Ox轴作直线运动,其瞬时加速度的变化规律为 。在t=0时, , m。求:(1)质点在时刻t的速度。(2)质点的运动方程。
解:(1)由 得
两边同时积分,并将初始条件t=0时, 带入积分方程,有
解得质点在时刻t的速度为
解:对滑轮、物体 和 分别进行受力分析,如图所示。因绳子不可伸长,故物体 和 的加速度大小相等。根据牛顿第二定律,有
(1)
(2)
滑轮作转动,受到重力 、张力 和 以及轴对它的作用力 等的作用。由于 和 通过滑轮的中心轴,所以仅有张力 和 对它有力矩的作用。由刚体的定轴转动定律有
(3)
因绳子质量不计,所以有
解:对于转轴,人与圆盘组成的系统角动量守恒。
(1)滑轮的角加速度。
(2)物体A与滑轮之间的绳中的张力。
(3)物体B与滑轮之间的绳中的张力。
解:以滑轮,物体A和B为研究对象,分别受力分析,如图所示。物体A受重力 、物体B的压力 、地面的支持力 、外力 和绳的拉力 作用;物体B受重力 、物体A的支持力 和绳的拉力 作用;滑轮受到重力P、轴的支持力 、上下两边绳子的拉力 和 的作用。
所以,物体在x=10m处的速率
所以,物体在x=15m处的速率
2-8如图所示,劲度系数 的轻质弹簧一端固定在天花板上,另一端悬挂一质量为m=2kg的物体,并用手托着物体使弹簧无伸长。现突然撒手,取 ,则弹簧的最大伸长量为[C]
(A)0.01m(B)0.02m
(C)0.04m(D) 0.08m
解:应用动能定理求解此题。设弹簧原长处为坐标原点,竖直向下为x轴正方向。物体在运动后,受到竖直向上的弹力 和竖直向下的重力 作用。
,
因绳子相对滑轮没有滑动,在滑轮边缘上一点的切向加速度与绳子和物体的加速度大小相等,它与滑轮转动的角加速度的关系为
(4)
滑轮以其中心为轴的转动惯量为
(5)
将上面5个方程联立,得
3-8下面说法中正确的是[A]
(A)物体的动量不变,动能也不变
(B)物体的动量不变,角动量也不变
(C)物体的动量变化,角动量也一定变化
设物体运动到l位置时,速度为0,此时弹簧达到最大伸长量,则此过程中,外力做功为
根据动能定理有
可得弹簧的最大伸长量为 。
2-9关于保守力,下面说法正确的是[D]
(A)只有保守力作用的系统动能和势能之和保持不变
(B)只有合外力为零的保守内力作用系统机械能守恒
(C)保守力总是内力
(D)物体沿任一闭合路径运动一周,作用于它的某种力所做之功为零,则该力称为保守力
解:选地面为惯性参照系,对重物进行受力分析,重物受到绳子的拉力 和重力 ,如图所示。重物作匀速圆周运动,加速度为向心加速度。建立如图所示坐标系,根据牛顿第二定律,有
竖直方向: (1)
水平方向: (2)
由图可知,圆的半径 ,重物在圆周上运动的角速度大小为
(3)
将上面三个方程联立,可得
查表得
由此题可知,物体的转速n越大, 越大,与重物的质量无关。
(1)
(2)
其中, 。
两个物体 、 间坐标的关系为
对上式求时间t的二次导数,得
(3)
将3个方程联立,可得
2-4一根长为l=0.5m的轻绳,一端固定在天花板上,另一端系一质量为m的重物,如图所示。重物经推动后,在一水平面内作匀速圆周运动,转速n=1 。这种装置叫作圆锥摆。求这时绳和竖直方向所成的角度。