圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C的焦点坐标为(0,27e =由1273e e =得13e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=-即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y cx 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程． 解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1. （2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+= △216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k = 由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=72.（I ）求此双曲线的渐近（II ）若A 、BAB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III曲线交于P 、Q由.解：（I4分（IIAB[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，，则M的轨迹是中心在原点，焦点在x.（9分）（IIIi）（ii∴k8、设M是椭圆22:1124x yC+=上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y----……1分221122221,(1)1241.(2)124x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L LL L L L………3分由（1）－（2）可得1.3MN QNk k•=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MNxk k ky⋅=-=-所以11.3QNykx=直线QN的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

若点A （-1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程．分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法．设出它们的方程，L ：y=kx(k ≠0),C:y 2=2px(p>0). 设A 、B 关于L 的对称点分别为A /、B /，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A /（12,11222+-+-k k k k ），B /（1)1(8,116222+-+k k k k ）。

因为A /、B /均在抛物线上，代入，消去p ，得：k 2-k-1=0.解得：k=251+,p=552.所以直线L 的方程为：y=251+x,抛物线C 的方程为y 2=554x. 10、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x aca F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a c a r P F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x aca由椭圆第二定义得a c cax F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c P F +=+= 由0,>+-≥+-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x aca F +=…………………………3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥.又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是③⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，),(),,(002001y xc MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅， 212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x 于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F …………14分11、设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G的轨迹方程；（2）证明∠PFA=∠PFB .解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x ③ ④解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x x x x x x x 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +=--+⋅+==∠同理有||41)1)(1(||||cos 102110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +=--+⋅+==∠ ∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,041)41(),0(041411121121=+-----=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB. 二、中点弦问题：12、已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121 ①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．13、椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥==（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3.在Rt △PF 1F 2中，,52212221=-=PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,从而b 2=a 2－c 2=4,所以椭圆C 的方程为4922y x +＝1. (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）. 由圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1, 代入椭圆C 的方程得 （4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0.因为A ，B 关于点M 对称.所以.29491822221-=++-=+k k k x x 解得98=k ，所以直线l 的方程为,1)2(98++=x y 即8x -9y +25=0. (经检验，符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且,1492121=+yx①,1492222=+yx②①-②得.04))((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x ③因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为98，所以直线l 的方程为y －1＝98（x+2），即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意. 14、已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的一个焦点1(0,F -，对应的准线方程为y =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭平分，求直线l 的方程.解：（1）由2222.c ac a b c ⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩3,1a b ==即椭圆的方程为221.9y x +=（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ⎛⎫-=+=++ ⎪⎝⎭即设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由223,221.9k y kx y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则2222327(3)4(9)0424k k k k k ⎛⎫∆=+-+⋅+-> ⎪⎝⎭①∴21223.9k k x x k ++=-+∵MN 的中点为13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴1212 1.2x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭ ∴223 1.9k k k +-=-+∴2239k k k +=+，解得k =3.代入①中，229927184(99)180424⎛⎫∆=-+⋅+-=> ⎪⎝⎭∴直线l ：y =3x +3符合要求.15、设12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，(1)设椭圆C上的点到12,F F 两点距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程；(3)设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k K 试探究PM PN k K ⋅的值是否与点P 及直线L 有关，并证明你的结论.解：（1）由于点在椭圆上，222221ab +=2a =4, 椭圆C 的方程为22143x y +=焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）（2）设1KF 的中点为B （x, y ）则点(21,2)K x y + 把K 的坐标代入椭圆22143x y +=中得22(21)(2)143x y ++=线段1KF 的中点B 的轨迹方程为221()1324y x ++=（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称 设0000(,)(,),(,)M x y N x y p x y --,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程，得222200222211x y x y a b a b+=+=，0PM PN y y y y k K x x x x -+==-+PMPN k K ⋅=2200022000y y y y y y x x x x x x -+-⋅=-+-=22b a-故：PMPN k K ⋅的值与点P 的位置无关，同时与直线L 无关16、已知椭圆的一个焦点为)22,0(1-F ，对应的准线为429-=y ，离心率e 满足34,,32e 成等比数列．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且线段AB 恰好被直线21-=x 平分？若存在，求出直线l 的倾斜角α的取值范围；若不存在，说明理由．解 ： (Ⅰ)由题意知，9834322=⋅=e ，所以322=e ． 设椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ，则由椭圆的第二定义得，322429)22(22=+++y y x ，化简得1922=+y x ，故所求椭圆方程为1922=+y x ． （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+=2212210210y y y x x x ，可得⎩⎨⎧=+-=+0212121y y y x x ． 若直线l 存在，则点M 必在椭圆内，故19)21(202<+-y ，解得0233233000<<-<<y y 或．将),(),,(2211y x B y x A 代入椭圆方程，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(19)1(1922222121y x y x )1()2(-得，09))(())((12121212=+-++-y y y y x x x x ， 故0121212122)1(9)(9y y y x x x x y y k AB -⨯-=++-=--=， 所以ABk y 290=，则有029233233290<<-<<ABAB k k 或， 解得33-<>AB AB k k 或，故存在直线l 满足条件，其倾斜角)32,2()2,3(ππππα⋃∈． 三、定义与最值：17、已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点．（1）求32PA PF +的最小值，并求点P 的坐标；（2）求PA PF +的最大值和最小值．解:(1)由椭圆的第二定义转化知32PA PF +的最小值是211，此时P )1,556(-； (2)依题意，由椭圆的第二定义知)(6)6(22PF PA PF PA PF PA -+=-+=+ ∵222=≤-AF PF PA ∴222≤-≤-PF PA∴)(26262=+≤+≤-三点共线时取、、当且仅当F A P PF PA 18、设F 1、F 2分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，（Ⅰ）求12PF PF ⋅u u u r u u u r的最大值和最小值;（Ⅱ）求21PF PF ⋅的最大值和最小值．解：易知2,1,a b c ===12(0),0).F F设P （x, y ），则22222121(,),)313(38).44x PF PF x y x y x y x x ⋅=-⋅-=+-=+--=-u u u r u u u r因为[2,2]x ∈-，故当x =0，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅u u u r u u u r有最小值-2.当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅u u u r u u u r有最大值1.19、若双曲线过点，其渐近线方程为y =.（I ）求双曲线的方程; （II ）已知A )2,3(，)0,3(B ,在双曲线上求一点P ,使PB PA 33+的值最小． 解：（Ⅰ）12y x 22=-（II ）)2,3(P ,最小值为333-20、以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ．解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ． 21、已知动点P 与双曲线22x －32y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若1PF •2PF =3，求⊿PF 1F 2的面积； （Ⅲ）若已知D(0,3)，M 、N 在轨迹C 上且DM =λDN ，求实数λ的取值范围．解：①92x +42y =1；②2；③[51,5]22、 E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.（1）当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积；（2）当3AB =时，求AF BF +的大小；（3）求EPF ∠的最大值．解：（1）2241282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩（2）因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩， 则 5.AF BF +=（3）设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠221((1663t t t t t t -=-÷+==≤++，当t =303tan EPF EPF ∠=⇒∠=o 23、已知定点)1,0(A 、)1,0(-B 、)0,1(C ，动点P 满足：2||−→−−→−−→−=⋅PC k BP AP .（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当2=k 时，求||−→−−→−+BP AP 的最大值和最小值．解：(1)设动点P 的坐标为),(y x ，则)1,(-=−→−y x AP ，)1,(+=−→−y x BP ，),1(y x PC -=−→−.∵2||−→−−→−−→−=⋅PC k BP AP ，∴[]2222)1(1y x k y x +-=-+，即 012)1()1(22=--+-+-k kx y k x k .若1=k ，则方程为1=x ，表示过点)0,1(且平行于y 轴的直线. 若1≠k ，则方程为222)11()1(ky k k x -=+-+， 表示以)0,1(kk-为圆心，以为半径|1|1k -的圆. (2)当2=k 时，方程化为1)2(22=+-y x .)2,2()1,()1,(y x y x y x BP AP =++-=+−→−−→−∴222||y x BP AP +=+−→−−→−. 又∵1)2(22=+-y x ，∴ 令θθsin ,cos 2=+=y x ，则θcos 4522||22+=+=+−→−−→−y x BP AP∴当1cos =θ时，||−→−−→−+BP AP 的最大值为6，当1cos -=θ时，最小值为2.24、点A 、B 分别是以双曲线162x 1202=-y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆C 上，且位于x 轴上方，0=⋅PF PA （1）求椭圆C 的的方程；（2）求点P 的坐标；（3）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M 的距离d 的最小值．解（1）已知双曲线实半轴a 1=4，虚半轴b 1=25，半焦距c 1=62016=+， ∴椭圆的长半轴a 2=c 1=6，椭圆的半焦距c 2=a 1=4，椭圆的短半轴2b =204622=-，∴所求的椭圆方程为+362x 1202=y （2）由已知)0,6(-A ,)0,4(F ，设点P 的坐标为),(y x ，则),,4(),,6(y x FP y x AP -=+=由已知得 22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩则018922=-+x x ，解之得623-==x x 或，由于y>0，所以只能取23=x ，于是325=y ，所以点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛325,239分 （3）直线063:=+-y x AP ，设点M 是)0,(m ，则点M 到直线AP 的距离是26+m ，于是626-=+m m ， 又∵点M 在椭圆的长轴上，即 66≤≤-m 2m ∴= ∴当2=m 时，椭圆上的点到)0,2(M 的距离222222549(2)4420()15992x d x y x x x =-+=-++-=-+又66x -≤≤ ∴当29=x 时，d 取最小值1525、已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP j ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+uu u r uu r uuu r uu u r r .（I ）设4t θ<<求向量OF 与FP 的夹角uu v uu v 的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由34sin cos ,sin 34||||,sin ||||2132θθθθt FP OF FP OF ==⋅⋅⋅=由得，得.34tan t=θ…………………………………………………………………3分],0[3tan 1344πθθ∈<<∴<<ΘΘt ∴夹角θ的取值范围是（3,4ππ）………………………………………………………………6分（2）).0,(),,(),,(0000c OF y c x FP y x P =-则设2000000(,)(,0)()1)1||||2OFP OF FP x c y c x c c t c x S OF y y ∆∴⋅=-⋅=-==∴==⋅==u u u r u u u ru u u r…………………………………………………………………………………………8分||OP ∴=u u u r 10分∴当且仅当)32,32(,,62||,2,343±===c cc 此时取最小值时即 )3,2()1,0()32,32(33=+=∴OM 或)1,2()1,0()32,32(33-=+-=OM …………12分椭圆长轴12,48)03()22()03()22(222222==∴=-+++-+-=b a a 或2171,2171171)01()22()01()22(222222+=+=∴+=--+++--+-=b a a 故所求椭圆方程为1121622=+y x .或12171217922=+++y x …………14分 26、已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(22=++y x 内切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ；（Ⅲ）在10<<a 的条件下，设△POA 的面积为1S （O 是坐标原点，P 是曲线C 上横坐标为a 的点），以)(a d 为边长的正方形的面积为2S ．若正数m 满足21mS S ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由． 解（Ⅰ）设动圆圆心为),(y x M ，半径为r ，已知圆圆心为)1,0(-E ， 由题意知r MF =||，r ME -=22||，于是22||||=+MF ME ，所以点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为1222=+y x ． （Ⅱ）设),(y x P ，则2222)()(||2222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA22)(22+++-=a a x ，令22)()(22+++-=a a x x f ，]1,1[-∈x ，所以，当1-<-a ，即1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2max )1()1()(+=-=a f x f ；当11≤-≤-a ，即11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则[]22)()(2max +==a a f x f ；当1>-a ，即1-<a 时，)(x f 在]1,1[-上是增函数，[]2max )1()1()(-==a f x f ．所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=1,111,221,1)(2a a a a a a a d ．（Ⅲ）当10<<a 时,)22,(2a a P -±,于是)1(22121a a S -=,2222+=a S ,（12分）若正数m 满足条件，则)22()1(22122+≤-a m a a ，即)1(4)1(222+-≥a a a m ，22222)1(8)1(+-≥a a a m ，令2222)1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12-=t a ， 于是641431411328123818)2)(1()(22222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=t t tt t t t t t a f ， 所以，当431=t ，即)2,1(34∈=t 时，641)]([max =a f ，即6412≥m ，81≥m ．所以，m 存在最小值81． 27、已知点M （-2，0），N （2，0），动点P 满足条件|PM |-|PN |=22. 记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）若A 、B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求•的最小值．（1）由|PM |-|PN |=22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a =2. 又半焦距c =2，故虚半轴长b =.222=-c所以W 的方程为12222=-y x ，x ≥2. （2）设A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）.当AB ⊥x 轴时，x 1=x 2，y 1=y 2，从而·=x 1x 2+y 1y 2=.22121=-y x当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，与W 的方程联立，消去y 得 （1-k 2）x 2-2kmx -m 2-2=0，故x 1+x 2=212kkm-，x 1x 2=1222-+k m ， 所以·=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）=（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=.142122121)2)(1(2222222222-+=-+=+-+-++k k k m k m k k m k 又因为x 1x 2>0，所以k 2-1>0，从而·>2. 综上，当AB ⊥x 轴时，·取得最小值2.28、一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；（Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n 且032212=+--⋅nm ．……2分解得52,59=-=n m ， 因此，点 1F '的坐标为)52,59(-． …………………4分 （Ⅱ）11PF F P ='Θ，根据椭圆定义， 得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052()159(22=-+--=，……………5分 2=∴a ，112=-=b ．∴所求椭圆方程为1222=+y x ． ………………………………7分 （Ⅲ）22=ca Θ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离． 则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ．22221)2(225210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分 令22)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则)(t f 在34-=t 时取得最小值． ………………………………13分 因此，21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)31,34(-．…………14分注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．29、设F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知：.||2||,8||MF PM MN ==且（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A 、B 求证：∠AFM=∠BFN ；（3）求三角形ABF 面积的最大值． 解（1）48||=∴=a MN Θ122)(1210132)(2||2||22222=-==∴==⇒=+--=-=c a b c e c e e c a a c a MF PM 舍去或即得又Θ1121622=+∴y x 椭圆的标准方程为………………………（文6分，理4分）（2）当AB 的斜率为0时，显然.0=∠=∠BFN AFM 满足题意当AB 的斜率不为0时，设),(),,(2211y x B y x A ，AB 方程为,8-=my x 代入椭圆方程整理得014448)43(22=+-+my y m 则431444348),43(1444)48(22122122+=⋅+=++⨯-=∆m y y m my y m m662222112211-+-=+++=+∴my y my y x y x y k k BF AF 0)6)(6()(62212121=--+-=my my y y y my .,0BFN AFM k k BF AF ∠=∠=+∴从而综上可知：恒有BFN AFM ∠=∠.………………………………（9分）（3）43472||||212212+-=-⋅=-=∆∆∆m m y y PF S S S PAFPBF ABF33163272416437216)4(34722222=⋅≤-+-=+--=m m m m当且仅当32841643222=-=-m m m 即（此时适合△＞0的条件）取得等号.三角形ABF 面积的最大值是.33………………………………（13分）四、弦长及面积：30、已知双曲线的方程为2213y x -=，设F 1、F 2分别是其左、右焦点．(1)若斜率为1且过F 1 的直线l 交双曲线于A 、B 两点，求线段AB 的长；(2)若P 是该双曲线左支上的一点，且1260F PF ∠=o ，求12F PF ∆的面积S ．解：（1）AB ：2y x =+，代入2213y x -=并整理得22470x x --=设1122()()A x yB x y ，，，则121272,2x x x x +==-6AB ∴===（2）设21,PF m PF n ==，则m n -=2在12F PF ∆中，由余弦定理有222162cos602m n mn m n mn mn =+-=-+-o12mn ∴=11sin 601222S mn ∴==⨯=o 31、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ， 即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．32、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．33、设双曲线方程22221(0)x y b a a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线l ．（1）求双曲线的离心率；（2）经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线m 被双曲线截得的弦长为15，求双曲线的方程．解：（1）2222222222b a b a c a a c a e e >⇒>⇒->⇒>⇒>⇒………………………2分直线l 的方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-=，由原点到直线l 得ab d c ===，即222416()3a c a c -=，…………………………………4分 两边同时除以4a 得2416(1)3e e -=，整理得42316160e e -+=，解得2443e =或…5分又e >2e = ……………………………………………6分（2）由（1）知道2e =即2c a =，所以设双曲线的方程为222213x y a a-=又由题意得直线m 方程为2(2)y x a =-，代入双曲线方程得 ……………………7分22234(2)3x x a a --=，整理得2216190x ax a -+=…………………………………8分记直线m 与双曲线的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则有2121216,19x x a x x a +== …9分∴123015AB x a -=∴12a =………………………………………………………………………………11分 ∴所求双曲线方程为2211344x y -=…………………………………………………12分 34、已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥．（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积；（Ⅱ）当90ABC ∠=o，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，． 由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x =-=． 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离．所以h =122ABC S AB h ==g △． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=．因为A B ，在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232mx x +=-，212344m x x -=，所以12AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-．35、梯形ABCD 的底边AB 在y 轴上，原点O 为AB 的中点，|||2,AB CD AC BD ==⊥M 为CD 的中点.（Ⅰ）求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）过M 作AB 的垂线，垂足为N ，若存在正常数0λ，使0MP PN λ=uuu v uu u v ，且P 点到A 、B 的距离和为定值，求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅲ）过1(0,)2的直线与轨迹E 交于P 、Q 两点，求OPQ ∆面积的最大值． 解：（Ⅰ）设点M 的坐标为M (x, y )(x ≠0)，则(,1(,1C x y D x y -+又(0,A B 由AC ⊥BD 有0AC BD =u u u r u u u r g ，即(,1)(,1)0x y x y -+=g ， ∴x 2+y 2=1（x ≠0）. ………………………（4分）（Ⅱ）设P （x, y ），则()0(1),M x y λ+，代入M 的轨迹方程有2220(1)1(0).x y x λ++=≠ 即221(0)12()10x y x λ+=≠+，∴P 的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）.要P 到A 、B 的距离之和为定值，则以A 、B为焦点，故1212(1)0λ-=+. ∴0 2.λ= 从而所求P 的轨迹方程为9x 2+y 2=1(x ≠0). ………………………9分 （Ⅲ）易知l 的斜率存在，设方程为1.2y kx =+ 联立9x 2+y 2=1，有223(9)0.4k x kx ++-=设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，则1212223,.94(9)k x x x x k k -+=-=++21x x ∴-=令29tk =+，则21x x -=9.t ≥211122OPQ S x x ∆∴=⨯-=119,0.9t t ≥∴<≤Q所以当119t =，即9,t =也即0k =时，OPQ ∆14分五、范围问题:36、直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A 、B 两点．(1) 当a 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 两点分别在双曲线的两支上？(2) 当a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？ 解： (1) 联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=13122y x ax y ⇒(3－a 2)x 2－2ax －2＝0 ①显然a 2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点． 若交点A 、B 在双曲线同支上，则方程①满足：⎪⎩⎪⎨⎧>->-+=∆0320)3(84222a a a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<<<-3366a a a 或 ⇒a ∈(－6，－3)∪(3，6)若A 、B 分别在双曲线的两支上，则有：消去y⎪⎩⎪⎨⎧<->-+0320)3(84222a a a ⇒a ∈(－3，3) (2) 若以AB 为直径的圆过点O ，则OA ⊥OB ，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)由于x 1＋x 2＝232a a-，x 1x 2＝322-a a． ∴y 1y 2＝(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝a (x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2＋1 ＝a 2·322-a ＋a ·232a a-＋1＝1 ∵OA ⊥OB ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴322-a ＋1⇒a ＝±1 此时△＞0，符合要求． 37、已知圆C ：（x -1）2+y 2=r 2 （r >1），设M 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过M 作圆C 的弦MN ，并使它的中点P 恰好落在y 轴上． （1）当r =2时，求满足条件的P 点的坐标；（2）当r ∈（1，+∞）时，求点N 的轨迹G 的方程；（3）过点P （0，2）的直线l 与（2）中轨迹G 相交于两个不同的点E 、F ，若·>0，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由已知得，r =2时，可求得M 点的坐标为M （-1，0）. 设P （0，b ），则由k CP ·k MP =-1（或用勾股定理）得：b 2=1. ∴b =±1即点P 坐标为（0，±1）. （2）设N 坐标为（x ，y ），由已知得，在圆方程中令y =0，求得M 点的坐标为（1-r ，0）.设P （0，b ），则由k CP ·k MP =-1（或用勾股定理）得：r =b 2+1.∵点P 为线段MN 的中点，∴x =r -1=b 2，y =2b ，又r >1.∴点N 的轨迹方程为y 2=4x （x >0）. （3）由题意知直线l 的斜率存在且不等于0. 设直线l 的方程为y =kx +2，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）， x 1>0， x 2>0.由⎩⎨⎧=+=xy kx y 422， 得k 2x 2+（4k -4）x +4=0，由∆=-32k +16>0，得k <21且k ≠0.x 1+x 2=244k k ->0，x 1x 2=24k>0，得k <1. ∵·>0，∴（x 1-1）（x 2-1）+y 1y 2>0. ∴（k 2+1） x 1x 2+（2k -1）（x 1+x 2）+5>0.得k 2+12k >0. ∴k >0或k <-12. ∴0<k <21或k <-12. 38、已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点．。