1 11 m 1 2 Y 1 12 m 2Y 2 0 1 m Y 11 m 1 2 Y1 0 12 2 2 为了得到 Y1、Y2 不全为零的解，应是系数行列式等于零，即：
因此两个质点惯性力的幅值为
2 m 1Y 1 2 m 2Y 2
将以上两个式子带入的振动方程：
2 Y1 m 1Y1 11 2 m 2Y 2 12 2 2 Y 2 m 1Y1 21 m 2Y 2 22




上式可转化为频率方程：
设解为：
y 1(t ) Y 1 sin( t ) y 2(t ) Y 2 sin( t )
这里假设多自由度体系按某一 主振型像单自由度体系那样作自由振动，Y1 和 Y2 是两质点的振幅，可知两质点的惯性力为：
- m 1y 1(t ) m 1 2Y 1 sin m 2 y
带入可得两个根：
1
2
11 m1 22 m2 11 m1 22 m2 4 11 22 12 21 m1m2
2
1 , 2 1
1
1
2
Y11 Y 21
12 m 11m
Y , 12 1 Y 22 1
2
3 柔度法解决体系振动问题
图 a 所示为一桁架，各杆 EA 为常数，桁架杆分布质量不计。此体系的动力 自由度是几个？试求其自振频率和主振型。本问题中，当给定质点 m 的竖向位移 ������������ 为初始条件时， 质量是否只沿竖向振动？为什么？求图 a 所示体系竖向振动的 自振频率的提法，对吗？ 讨论：图 a 是一个两个自由度的体系，不是一个单自由度体系。其两个自振频率 和主振型分别为
（2）附加链杆法
在各质量发生独立位移的方向上增设附加链杆, 使体系上的全部质量完全 固定, 此时所需增设的最少链杆数即为该体系的振动自由度数。
（3）换铰法
对以弯曲变形为主的杆件, 假设受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变 此时可以运用几何构造分析中的铰接链杆法—将所有质点、 刚结点组合结点和固 定支座换为铰结点、 铰支座后, 使铰接链杆体系成为几何不变体系所需增加的最 少链杆数即为该体系的振动自由度数 针对图 a，因为是桁架，不是受弯杆件，所以不适宜采用方法三。因为结构 不是很复杂，所以采用方法一和二均可以。 方法一：可以将整个结构质量集中在端部位置，如图所示，则其有水平和竖 直两个方向上的可能位移，因此确定其独立参数有两个，分别是 x 和 y 方向。故 其动力自由度有两个. 方法二：同方法一，将整个结构质量同样集中在端部位置，要固定该质量， 同样需要在该处附件 x 和 y 方向的两个链杆，可以知道，该结构的动力自由度为 有两个。
1
EA ma
EA ma
ma ，2 EA
2
0.790
Y (1)T 1 - 0.1989
Y (2)T 1 5.0274
参 [1] 考 文 献
龙驭球.包世华. 结构力学 I—专题教程. 北京：高等教育出版社. 2006.1
5
2
12 m 11m
1
求 11 , 22 , 12
2
21
2
分别作出 F N 1 图和 F N 2 图：
11

F N F NP l a 2 EA EA
4
22
a 4a 2 2 EA EA
2
2
2a
EA

6 4 2 a
EA
12 21 11 2
结构动力学小论文
题 学 专 班 姓 目 院 业 级 名 柔度法的应用分析 土木学院 土木工程
指导教师
1
柔度法的应用分析
摘要： 结构动力学是研究结构系统在动力荷载作用下的振动特性的一门科学技术，它是振动力学的理 论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展，是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性 为目的的。本书的主要内容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的 动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。 关键词：柔度法;刚度法;振动；自由度。 中图分类号 文献标识码：A 文章编号
a EA
11 22
8 4 2 a
EA
11 22 - 12 21
12 8 2 a
E A
2 2
2
-
4A 2 8 8 2 a2 E 2A 2 E 2A 2
0.288


1 12.05
2 1.60
ma ，1 EA
1
1
图a
图 b（仅下弦杆 EA 无穷大）
图c
动力自由度与集中质量个数的讨论，两个自由度
2
按柔度法建立方程： 在自由振动过程中的任意时刻 t，质量 m1、m2 的唯一 y1(t)、y2(t)应当等 于在当时惯性力的作用下所产生的静力位移：
1(t ) 2(t ) y 1(t ) my 11 my 12 1(t ) 2(t ) 21 my 22 y 2(t ) my
1 刚度法和柔度法的介绍
（1）刚度法：
刚度法是从平衡方程出发建立基本微分方程。
（2）柔度法：
柔度法是从位移协调方程出发建立微分方程。这里主要介绍柔度法的用法。
2 体系自由度判定：
结构动力学计算中确定体系振动自由度的方法 确定振动自由度有三种方法：
（1）定义法
振动自由度是结构在变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目。
3
D
11 m 1 21 m 1
1
2
12 m 2 22 m 2
1
0
2
将上式展开得：
1 1 12 m 2 21m 1 0 11 m 1 2 22 m 2 2
令
1
2
1 0.288 2 0.790
EA 1T , Y 1 -0.1989 ma EA 2T ,Y 1 -5.0274 ma
当给质点 m 竖向位移时， 质点也不会只按竖向振动，因为这不是其主振型的 振动方向。 图 a 所示体系竖向振动的自振频率的提法是不对的，不能这样提问题。因为 本体系没有竖向振动的振动形式，除非对此体系，另外增加约束条件限制质点的 水平运动，使其只能竖向振动，如图 b 所示，下弦杆 E1 A1 ，其他各杆 EA 不 变，或者图 c 所示，增加一个水平支杆，但是此时已经变成单自由度体系。