浅议“动力有限元法”
摘要：有限元法是目前应用最为广泛的一种离散化数值方法，其基本思想就是人为地将连续体结构分为有限个单元,规定每个单元所共有的一组变形形式，称之为单元位移模式或插值函数。
该方法在工程中有着广泛的应用，比如：桥梁，建筑上部和建筑基础等。
关键词：有限元；动力；位移
Abstract: Finite element method is currently the most widely used as a discrete numerical method. Its basic idea is going to artificially continuum structure which is divided into a finite number of units. Each unit provids common to a group of deformed form, which is known as an unit displacement mode or interpolation function. This method works with a wide range of applications. Example: bridges, buildings and construction base and so on.
Key words: Finite element; Force;Displacement
1 动力有限元法基本过程
有限元法是目前应用最为广泛的一种离散化数值方法，其基本思想就是人为地将连续体结构分为有限个单元,规定每个单元所共有的一组变形形式，称之为单元位移模式或插值函数[1]。
动力学的有限元法同静力学问题, 是把物体离散为有限个单元体, 考虑单元的惯性力和阻尼力等动力因素的特性。
在运动物体单位体积上作用的体力可以用下式表达:
{}{}δδδνδρt t
a -=22a - } Ps { P} { (1-1) 式中 {Ps}——静力;
{δ}——位移;
{}δρ22
a t
a ——惯性力; {}δδδνt
——阻尼力。
用有限单元法求解动力问题的位移模式:
{}e
δ ] [N f} {= (1-2) 式中 [N]——形函数矩阵;
{}e δ——单元节点位移矩阵。
考虑各个节点上的力和荷载的平衡条件可得到结构动力的平衡方程:
[M] {δ″} + [C] {δ′} + [K] {δ} = {R} (1-3) 式中 [M]———结构整体质量矩阵;
[C]———结构整体阻尼矩阵;
[K]———结构整体刚度矩阵;
{R}———结构节点荷载矩阵;
{δ″}———结构节点加速度;
{δ′}———结构节点速度;
{δ}———结构节点位移。
在动力问题有限元法当中, 较为常见的方法是振型叠加法和时程分析法。
振型叠加法是以质点位移为坐标表示的多自由度运动平衡方程, 通过坐标变换使联立方程组成为一组彼此独立的方程组, 分别独立求解; 时程分析法是把时间离散化, 把时间区间分为若干相等的时间间隔, 由初始状态开始逐步求解每个时间间隔的状态, 综合所有的状态向量得到结构系统在动力作用下的响应解。
振型叠加法需要考虑多个振型, 只适合于线性问题。
假定地基为刚性平面且各点的运动完全一致、结构为完全弹性体、地面运动可以观测记录等。
在水平地震作用下,分别考虑各种振型作用下结构响应(位移、变形和内力) ,进一步分析各振型的综合作用与效应[2]。
时程分析法假定在离散的时间区间内满足平衡要求,且假定每个时间区间内的位移、速度和加速度的变化。
在结构设计软件如PKPM 中的TAT (结构三维分析与设计软件) 与SATWE (结构空间有限元分析设计软件) 中, 均有结构的弹性动力时程分析的模块[3]。
2 动力有限元法在桥梁工程中的应用
2.1 有限元模型的建立
某河流上有一连续梁大桥,采用ANSYS 对大桥和桥墩及其桩基进行整体模态分析,建立有限元模型如图1所示。
在ANSYS 模型中,桩底端节点约束所有自由度。
主桥共有1582个单元。
其自振频率只与结构的刚度和质量有关。
2.2 模态分析基本方程
模态分析的运动微分方程组为
{0} q} [K]{ }q [C]{ }q M]{ [=++⋅
⋅ (2-1) 式中[ M] 、[ C] 、[ K] 分别为总质量矩阵、阻尼矩阵、刚度
矩阵;{q} 为对应于系统自由度的广义坐标列阵。
式(2-1)的解为:
()αω+=t {A }s i n {U } (2-2) 系统的特征行列式为：
[] 0 | M - K] [ |2=ω (2-3) 由式(2-3) 求出系统固有频率ωi ( i = 1 ,2 ,3 , ⋯, n)
2.3 计算结果及分析
本文采用子空间迭代法进行桥梁模态分析,计算模态数量取前5阶,计算结果见表1。
在结构动力性能分析中,一般情况下只有结构前几阶自振频率和振型起控制作用,所以只需求结构的前几阶自振频率和振型[4]。
本文给出了前5阶振型图,如图2～图6所示。
图1 全桥有限元三维梁单元模型 图2 第一阶振型图(0.409 7 Hz)
图3 第二阶振型图(0.457 6 Hz) 图4 第三阶振型图(0.497 1 Hz)
图5第四阶振型图(0.642 6 Hz) 图6 第五阶振型图(0.863 6 Hz)
表1 桥梁前5阶振动特性计算结果
3 结论
动力学的有限元法同静力学问题, 是把物体离散为有限个单元体, 考虑单元的惯性力和阻尼力等动力因素的特性。
动力有限元法精度的一个较为全面的对比分析应包括动力时程计算结果的分析。
从自振频率和精确频率的对比分析可以发现：
(1)有限元分析低阶自振频率的精度高于高阶频率。
(2)增加有限元数量可以很快提高分析精度。
(3)在采用数目相同的有限元法的情况下，一致质量法的结果优于集中质量法，但一致质
量法要花费更多的时间来解决特征值问题，因为单元的数量相同时，一致质量法的动力自由度比集中质量法的多一倍。
动力学的有限元法如果能求出各单元的物理特性，也就可以求出这个组合结构的物理特性。
因此，有限元法就是对单元力学性质的分析。
它将在工程中得到广泛的应用。
参考文献：
[1]刘晶波.杜修力.结构动力学[M].机械工业出版社.2004.234-248
[2]王泽祥.有限元法在桥梁动力特性分析中的应用(J).水利科技与经济.2009(1):37-38
[3]罗石明.动力有限元法在建筑上部结构与地基基础中的应用(J).四川建材.2007(2):215-216
[4]沈冯强.林峰.建筑结构动力分析有限元模型(J).合肥工业大学学报(自然科学版).2004(1):64-70。