x ⎧m1 &&1 + k1 x1 + k 2 ( x1 − x2 ) = P (t ) 1 ⎨ x ⎩m2 &&2 − k 2 ( x1 − x2 ) + k3 x2 = P2 (t )
矩阵形式：
力量纲
x ⎡ m1 0 ⎤ ⎡ &&1 ⎤ ⎡ k1 + k 2 ⎢0 m ⎥ ⎢ && ⎥ + ⎢ − k 2 2 ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣ ⎣
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多自由度系统振动
在初始干扰下，系统的自由振动是n个主振动的叠加。对 于特殊选取的n个广义坐标系统运动微分方程将不再出现 坐标之间的耦合，这样的坐标称为主坐标。利用主坐标， n自由度系统的振动可以当作n个单自由度系统的振动来 考虑，然后通过叠加得到系统原来的振动，这种分析方法 称为振型叠加法。多自由度系统的阻尼经常假定为比例阻 尼或振型阻尼，对这些类型的阻尼系统，振型叠加法行之 有效。一般的粘性阻尼系统可借助复模态方法来分析。
− k 2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ P (t ) ⎤ 1 =⎢ k 2 + k3 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎣ P2 (t )⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎦
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坐标间的耦合项
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
例2：转动运动
两圆盘 外力矩 M 1 (t ), M 2 (t ) 转动惯量 I 1 , I 2
轴的三个段的扭转刚度 kθ 1 , kθ 2 , kθ 3
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
⎡0 ⎤ ⎢M ⎥ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡ m11 ... m1 j ... m1n ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ m1 j ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ m ... m ... m ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ m ⎥ P (t ) 21 2j 2n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2j⎥ =⎢ 2 ⎥=⎢ 1 = P (t ) ⎢M ⎥ ⎢.......... .......... . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢M ⎥ ⎥ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ Pn (t ) ⎦ ⎢ m n1 ... m nj ... m nn ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ m nj ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦
矩阵形式：
⎡ I1 ⎢0 ⎣
− kθ 2 ⎤ ⎡θ1 ⎤ ⎡ M 1 (t ) ⎤ ⎥ ⎢θ ⎥ = ⎢ M (t )⎥ kθ 2 + kθ 3 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦
坐标间的耦合项
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
P1(t) P2(t)
k1
m1
k2
m2
k3
x ⎡ m1 0 ⎤ ⎡ &&1 ⎤ ⎡k1 + k 2 ⎢m 0⎥ ⎢ && ⎥ + ⎢ − k 2 ⎣ 2 ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣
所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第 j 列
kij（i=1~n） ：在第 i 个坐标上施加的力
结论：刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生 单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
&& KX 作用力方程： MX +√ = P (t )
θ1
θ2
kθ 1
M 1 (t )
kθ 2 I1
M 2 (t )
kθ 3 I2
试建立系统的运动微分方程
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
建立坐标： 受力分析： 设某一瞬时： 角位移 θ1 ,θ 2
kθ 1θ1
& & 角加速度 θ& , θ&2 1
kθ 2 (θ1 − θ 2 )
kθ 1
多自由度系统振动
1
多自由度系统振动
工程上较复杂的振动问题多数需要用多自由度系统的 振动理论来解决。一个具有n个自由度的系统，它在任一 瞬时的运动形态要用n个独立的广义坐标来描述，系统的 运动微分方程一般是n个相互耦合的二阶常微分方程组成 的方程组。 对n自由度的无阻尼系统而言，它具有n个固有频率 (有可能出现重值)，当系统按任意一个固有频率作自由振 动时，系统的运动是一种同步运动，称为主振动。系统作 主振动时所具有的振动形态称为主振型，或称为模态。
m轮 m
k3 c3 k3
m轮
c3
问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
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多自由度系统振动
• 教学内容
• 多自由度系统的动力学方程 • 多自由度系统的自由振动 • 频率方程的零根和重根情形 • 多自由度系统的受迫振动 • 有阻尼的多自由度系统
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 多自由度系统的动力学方程
m2
x2 k3
试建立系统的运动微分方程
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
k1
P1(t)
m1
x1 k2
P2(t)
m2
x2 k3
建立坐标：
x1 , x 2 的原点分别取在 m1 , m2 的静平衡位置
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移 受力分析：
P1(t) k1 x1 k2(x1-x2)
M 1 (t )
θ1
θ2
kθ 2 I1
M 2 (t )
kθ 3 I2
M 1 (t )
& I1θ& 1
kθ 2 (θ 2 − θ1 )
kθ 3θ 2
M 2 (t )
& I 2θ&2
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
kθ 1θ1 kθ 2 (θ1 − θ 2 ) kθ 2 (θ 2 − θ1 ) kθ 3θ 2
T T
⎡0⎤ ⎢M ⎥ ⎡ P1 ( t ) ⎤ ⎡ k 11 ... k 1 j ... k 1 n ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ k 1 j ⎤ ⎢ P ( t ) ⎥ ⎢ k ... k ... k ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ k ⎥ 2j 2n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2j⎥ ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 21 1 = 代入，有 ： P ( t ) = ⎢M ⎥ ⎢ .......... .......... .⎥ ⎢ ⎥ ⎢M ⎥ ⎥ ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ Pn ( t ) ⎦ ⎢ k n 1 ... k nj ... k nn ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ k nj ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎢0⎥ ⎣ ⎦
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 刚度矩阵和质量矩阵
&& 作用力方程： MX + KX = P (t )
X ∈ Rn
当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定 M、K 该如何确定？ 先讨论 K 假设外力是以准静态方式施加于系统 则： 加速度为零
− kθ 2 ⎤ ⎡θ1 ⎤ ⎡ M 1 (t ) ⎤ ⎥ ⎢θ ⎥ = ⎢ M (t )⎥ kθ 2 + kθ 3 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦
例2：
可统一表示为：
&& M X + K X = P (t )
质 量 矩 阵 加 速 度 向 量 刚 度 矩 阵 位 移 向 量 激 励 力 向 量
作用力方程
• 作用力方程 • 刚度矩阵和质量矩阵 • 位移方程和柔度矩阵 • 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 • 耦合与坐标变换
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 作用力方程
先看几个例子 例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力 不计摩擦和其它形式的阻尼
P1(t) k1
m1
x1 k2
P2(t)
− k 2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ k 2 + k3 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦
kθ 1
M 1 (t )
kθ 2 I1
M 2 (t )
kθ 3 I2
⎡ I1 ⎢0 ⎣
& 0 ⎤ ⎡θ& ⎤ ⎡kθ 1 + kθ 2 1 ⎢ && ⎥ + ⎢ I 2 ⎥ ⎣θ 2 ⎦ ⎣ − kθ 2 ⎦
m1
x1、x 2
P2(t)
x x 加速度 &&1、&&2
k2(x1-x2)
m2
k3 x2
m1&&1 x
m2 &&2 x
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 P1(t) k1 x1 k2(x1-x2)
m1
P2(t) k2(x1-x2)
m2
k3 x2
建立方程：
m1&&1 x
m2 &&2 x
− kθ 2 ⎤ ⎡θ1 ⎤ ⎡ M 1 (t ) ⎤ ⎥ ⎢θ ⎥ = ⎢ M (t )⎥ kθ 2 + kθ 3 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其它坐标上不产 生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M的第j列 结论：质量矩阵M中的元素mij 是使系统仅在第j个坐标上产生 单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力
&& X =0
KX = P (t )
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
&& 作用力方程： MX + KX = P (t )
KX = P (t )