7固体物理导论第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
2.3. 3 面心立方晶格的倒格子 基矢 倒格子基矢
1 a1 2 a ( j k ) 1 a 2 a ( k i ) 2 1 a3 2 a ( i j )
k2
O
GC
C
任何从原点到 G 的垂直平分面的矢量都满足衍射 条件，这些平面正是布里渊区的边界。布里渊区包含 了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢 k
3
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第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
2.3. 1 基矢
简单立方晶格的倒格子
a1 ai a 2 aj a3 a k
面心立方
2π b1 a ( i j k ) 2π (i j k ) b2 a 2π b3 a (i j k )
体心立方
*
Ω a1 (a2 a3 ) 1 3 a 4
2.3. 2 基矢
体心立方晶格的倒格子 倒格子基矢
2π b1 a ( j k ) 2π (k i ) b2 a 2π b3 a (i j )
面心立方
z
a2
a1
y
1 a1 2 a ( i j k ) 1 a 2 a (i j k ) 2 1 a3 2 a ( i j k )
Ω b1 (b2 b3 ) 4( 2 π ) 3 / a 3
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2.3 布里渊区
最短的倒格矢是以下8个矢量
2π (i j k ) a
上述8个矢量的垂直平 分面围成一个正八面体， 另外由以下6个倒格矢
2π 2π 2π (2i ); (2 j ); (2k ) a a a
Ωa
3
b1 (2π/a)i b2 (2π/a) j b3 (2π/a)k
倒格子基矢
ak
aj
b3
O
ai
Ω (2 π) / a
* 3 3
3
b2
(2 π) / Ω
b1
4
第一布里渊区
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2.3 布里渊区
的垂直平分面切割这个八面体的6个角，得 到的截角八面体即为第一布里渊区
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2.3 布里渊区
面心立方晶格的布里渊区中一些 具有较高对称性的点或轴的坐标
: : : : 2π (0,0,0) a 2π ( ,0,0) a 2π ( , , ) a 2π ( , ,0) a
其中
2π X: (1,0,0) a 2π 1 1 1 L: ( , , ) a 2 2 2 2π 3 3 K: ( , ,0 ) a 4 4 1 3 0 1, 0 , 0 2 4
10
2π : (0,0,0) a 2π 2π : ( ,0,0) H: (1,0,0) a a 2π 2π 1 1 1 : ( , , ) P : ( , , ) a a 2 2 2 2π 2π 1 1 : ( , ,0) N : ( , ,0 ) a a 2 2 1 1 0 1, 0 , 0 其中 2 2
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2.3 布里渊区
1. 布里渊区
布里渊区定义为倒格子空间中的维格纳-赛 茨原胞，即所谓的第一布里渊区 由第一布里 渊区依次向四面 扩展，可得到第 二、三、……布 里渊区
D
C
O A B
1
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2.3 布里渊区
图中矩形ABCD第一布里渊区，竖线阴影 区和横线阴影区分别为第二、三布里渊区
最短的倒格矢是以下12个矢量
2π 2π 2π ( j k ); ( k i ); (i j ) a a a
第一布里渊区由上述12个矢量的 垂直平分面围成，是一个正十二面体
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2.3 布里渊区
体心立方晶格的布里渊区中一些 具有较高对称性的点或轴的坐标
体心立方
x
a3
Ω a1 (a2 a3 ) 1 3 a 2
Ω b1 (b2 b3 )
*
4π a
2( 2 π ) 3 / a 3
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2.3 布里渊区
倒格矢可以表示为
G v1b1 v2b2 v3b3 4π 2π [(v2 v3 )i (v3 v1 ) j (v1 v2 )k ] a a
将任一布里渊 区的各部分平移适 当的位矢就可合并 成第一布里渊区
D
O A
C
B
由于倒格子的周期性，很多时候我们 只需关心第一布里渊区
2
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2.3 布里渊区
2. 衍射条件的布里渊区诠释
2k G G 2
D
GD
k1
1 1 2 k G G 2 2