复旦附中高一上期末数学试卷2020.01一、填空题1．函数12log (5)y x =-的定义域为 ．2．函数2()1(1)f x x x =+-≤的反函数为 ． 3．已知2log 3a =，试用a 表示9log 12= ． 4．幂函数223()(1)(,)mm f x a x a m --=-∈N 为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m += ．5．函数23log ()y x x =-的递增区间为 ．6．方程22log (95)log (32)2x x -=-+的解为x = ．7．已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为 ．8．若函数6,2,()3log ,2,a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤（0a >且1a ≠）的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围 ．9．已知1()(33)2x x f x -=-的反函数为1()f x -，当[3,5]x ∈-时，函数1()(1)1F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．10．对于函数(),y f x x D =∈，若对任意,,a b c D ∈，(),(),()f a f b f c 都可为某一三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”．已知()1x x e tf x e +=+是三角形函数，则实数t 的取值范围是 ．11．若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰好有三个相异实根，则实数m 的取值范围是 ．12．已知函数2131()1log 12x x k x f x xx ⎧-++⎪=⎨-+>⎪⎩≤，2()lg(2)()1xg x a x a x =⋅++∈+R ，若对任意的 {}12,|,2x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．二、选择题13．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件14．下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．1||y x = B ．2y x -= C ．2|log |y x = D ．23y x =15．设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意x ∈R , 有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在0x ∈R , 使得对任意x ∈R , 且0x x ≠, 有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；（3）若存在0x ∈R , 使得对任意x ∈R , 有0()()f x f x ≤，则0()f x 是函数()f x 的最大值． 这些命题中，真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 16．已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)三、解答题17．已知函数1()421x x f x a +=-⋅+． （1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[1,1]-上存在零点，求实数a 的取值范围．18．已知函数21()log 1axf x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数． （1）求a 的值； （2）设集合4{|1}7A x x=-≥，2={|()log (1)}B x f x x m +-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的 取值范围．19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作．生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()Q x （万元）满足20.522,(016)()224,(16)x x x Q x x ⎧-+=⎨>⎩≤≤，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润＝销售收入−总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值0()f x D ∈， 则称函数()f x 在D 上封闭．（1）若下列函数的定义域为(0,1)D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由． 1()21f x x =-，2()21x f x =-；（2）若函数5()2x ag x x -=+的定义域为(1,2)，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域(1,2)上 封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增．若0x D ∈且00(())f f x x =，求证： 00()f x x =．21．已知函数||0()20x x a x f x x +⎧=⎨<⎩≥，其中a ∈R ．（1）若1a =-，解不等式1()4f x ≥；（2）设0a >，21()log ()g x f x =，若对任意的1[,2]2t ∈，函数()g x 在区间[,2]t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为1()y f x -=．若关于x 的不等式：12(4)()|2|f a f x x a --+-≤在[0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、填空题1．(,5)-∞ 2．1,(2)y x x =--≥ 3．22a a+ 4．3 5．(1,)+∞ 6．1 7．(3,0)- 8．(1,2] 9．2 10．1[,2]211．415(6,) 12．3(,]4-∞-【第9题解析】易知()f x 为R 上单调递增的奇函数，从而可知1()f x -也是R 上单调递增的奇函数，1()(1)1F x f x -=-+是由1()f x -向右、向上平移1个单位，∴()F x 在[3,5]x ∈-上单调递增，且关于点(1,1)中心对称，∴122M mM m +=⇒+=．【第10题解析】即min max 2()()f x f x >，111()1111x x x x xe t e t tf x e e e +++--===++++， ①当10t ->，即1t >时，()f x 在R 上单调递减，()(1,)f x t ∈，∴21t ⋅≥，解得(1,2]t ∈； ②当10t -=，即1t =时，()1f x =符合题意；③当10t -<，即1t <时，()f x 在R 上单调递增，()(,1)f x t ∈，∴21t ⋅≥，解得1[,1)2t ∈；综上，1[,2]2t ∈．【第11题解析】记92594,,5054()45141259,509,0x x x x x x xf x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-+-+-⎪⎪⎪⎪⎛⎫=+--==⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+-<+<<⎪⎪⎩⎩≥≥，函数图象如图所示，研究函数单调性可得，10,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递减，125,3x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，()f x 单调递增，25,x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，125,3m f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭时， 原方程在(0,)+∞内恰有三个相异实根，即4156,m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．【第12题解析】121max 2min ()()()()f x g x f x g x ⇒≤≤，而lg(2)x +∈R ，∴0a =，∴2()(2)1x g x x x =>-+，()g x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 当1x >时，()f x 单调递减，1()(1)2f x f <=-，满足满足题设条件；当1x ≤，max 1113()2424f x f k k ⎛⎫==+-⇒- ⎪⎝⎭≤≤；综上，3,4k ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦．二、选择题13．A 14．D 15．C 16．A 【第16题解析】 设0x A ∈，则0()0f x =，又A B =，所以0x B ∈，即0[()](0)0f f x f ==，所以0m =，2()f x x nx =+． 由22222[()]()()()()0f f x x nx n x nx x nx x nx n =+++=+++=． 若0n =时，则{0}A B ==，满足题意； 若0n ≠时，由方程()0f x =的根为0和n -． 而0和n -不是方程20x nx n ++=的根，所以方程20x nx n ++=无解，即240n n ∆=-<，解得(0,4)n ∈ 综上所述，[0,4)n ∈，则m n +的取值范围是[0,4)．三、解答题17．（1）()42214x x f x =-⋅+=，23x =或21x =-（舍） 方程的解为2log 3x =．（2）令12[,2]2xt =∈，则2210t at -+=，2112t a t t t +==+，因为1t t +在1[,1]2上递减，[1,2]上递增，所以552[2,],[1,]24a a ∈∈18．（1）()f x 为奇函数，101axx ->-的解集关于原点对称，所以1a =-．此时21()log ,(11)1x f x x x x +=><--或，2211()log log ()11x x f x f x x x -+--===---+成立，故1a =-．（2）[3,7)A =22()log (1)log (1)f x x x m +-=+<在[3,7)上有解， 2log (1)[2,3), 2.x m +∈∴>Q解2：2log (1),012m x m x +<<+<，(1,21)m B =-- ,213, 2.m A B m ≠∅∴->>Q I19．（1）由题意得()1210P x x =+,则20.51212,016,()()()21210,16.x x x f x Q x P x x x ⎧-+-=-=⎨->⎩≤≤（2）当16x >时，函数()f x 递减，即有()212101652f x <-⨯=；当016x ≤≤时，函数2()0.5(12)60f x x =--+ 当12x =时，()f x 有最大值6052>综上可知，当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．20．（1）当(0,1)x ∈时，1()21(1,1)f x x =-∈-，1()f x ∴在D 上不封闭；2()21(0,1)x f x =-∈，2()f x 在D 上封闭． （2）设存在实数a ，使得5()2x ag x x -=+在(1,2)上封闭， 即对一切(1,2)x ∈，5122x ax -<<+恒成立， 20,2524x x x a x +>∴+<-<+Q ，即3442x a x -<<-恒成立，34(1,2)2x a -∈-∴≥Q ；42(2,6)2x a -∈∴≤Q ．综上，满足条件的2a =． （3）假设00()f x x ≠，①若00()f x x >，00(),f x x D ∈Q ，()f x 在D 上单调递增， 00(())()f f x f x ∴>，即00()x f x >，矛盾；②若00()f x x <，00(),f x x D ∈Q ，()f x 在D 上单调递增， 00(())()f f x f x ∴<，即00()x f x <，矛盾．所以，假设不成立，00()f x x =．21．（1）1a =-时，|1|,0()2,0x x x f x x -⎧=⎨<⎩≥当0x ≥时，15335()|1|,,[0,][,)44444f x x x x x =-∴∈+∞≥≥或≤U ；当0x <时，1()2,2,[2,0)4x f x x x =-∴∈-≥≥．综上，35[2,][,)44x ∈-+∞U ．（2）22110,[,2],()log ()log ()a x t t g x f a x x >∈+∴==+Q 单调递减，max min 2211()()()(2)log ()log ()12g x g x g t g t a a t t -=-+=+-++≤，112()2a a t t +++≤，1222(2)t a t t t t --=++≥ 在1[,2]2t ∈上恒成立， 令32[0,]2m t =-∈，22()(2)(2)(4)68t m m h m t t m m m m -===+---+， 当0m =时，()0h m =，当3(0,]2m ∈时，1()86h m m m =+-，86m m +-Q 在3(0,]2上递减，83165666,()(0,]2365m h m m ∴+-≥+-=∈， 综上，65a ≥．（3）若0a <，则(0)(2)||f f a a =-=；若0a =，则11(1)()22f f -==；若01a <<，则2(0)(log )f f a a ==，1a ∴<时，()f x 没有反函数． 当1a ≥时，,0()2,0x x a x f x x +⎧=⎨<⎩≥ 为增函数，存在反函数，且()f x 的值域为(0,1)[,)a +∞U ． 令2()()|2|,[0,)F x f x x a x =+-∈+∞，则222223,2()|2|,2a x a a x F x x a x a a x a a x ⎧-+⎪⎪=++-=⎨⎪-++<⎪⎩≥ ， 22min ,()22a a x F x a ==+，所以21(4)2a f a a --+≤，因为()f x 是增函数，所以1()f x -也是增函数，2224()2,680,33224(0,1)[,),(3,4)(,2]1a a a f a a a a a a a a a a ⎧-+=++--+-⎪⎪⎪-∈+∞∈-∞⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≤≥U U综上，3,2](3,4)a ∈U ．。