复旦附中高一期中数学试卷
2019.04
一.填空题
1.已知=1690α︒，(2,0)θπ∈-，若角θ与α的终边相同，则θ=
2.已知函数()tan()4
f x ax π
=+
(0)a >的最小正周期为2π，则a =3.一个半径为r 的扇形，若其周长等于弧所在半圆的长，则该扇形圆心角是弧度
4.已知α是第三象限的角，则sin(cos )cos(sin )αα⋅的符号是号（填正或负）
5.角α终边上有点(,5)P x (0)x <，且cos 13
x
α=，则cot α=6.若(tan )cos2f x x =，则(2)f =
7.已知函数()2sin()4f x x πω=+
(0)ω>，且[0,4
π
是其单调区间，则ω的取值范围是8.已知1cos()cos()638ππαα+⋅-=-，(,)32
ππ
α∈，sin 2α=
9.张老师整理旧资料时发现一题目部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的
对边，已知b =45A ∠=︒，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 有两解，那么a 的取值范围是10.函数1cos ()sin x
f x x
-=
的值域
11.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=︒，
BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为
米
12.设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201
()2log 14x x f x x x π≤≤⎧=⎨<<⎩
，记()()g x f x a =-，若函数()g x 在
区间[4,5]-上零点的个数是8个，则a 的取值范围是二.选择题
13.在△ABC 中，“1
sin 2
A =”是“6A π=”的（
）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分条件又非必要条件
14.设函数()sin(2)3
f x x π
=-
的图像为C ，下列结论正确的是（）
A.函数()f x 的最小正周期是2π
B.图像C 关于(,0)6
π对称
C.图像C 可由函数()sin 2g x x =的图像向右平移3
π
个单位得到D.函数()f x 在区间(,122
ππ
-
上是增函数
15.设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>，若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论：①对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；③△ABC 为钝角三角形，存在(1,2)x ∈，使()0f x =；其中正确的个数为（
）个
A.3
B.2
C.1
D.0
16.若函数222(1)sin ()1x x
f x x ++=+的最大值与最小值分别为M 、m ，则函数
()()sin[()]3
g x M m x M m x π
=+++-图像的对称中心不可能是（
）
A.4(,)33ππ
B.(,)123ππ
C.28(,33
ππ
D.416(
,)33
ππ
三.解答题
17.已知函数()2cos2f x x x =+.（1）求()y f x =的单调递增区间；（2）当[,63
x ππ
∈-
时，求()f x 的最大值和最小值.18.在△ABC 中，已知22sin cos212
A B
C ++=，外接圆半径2R =.（1）求角C 的大小；
（2）试求△ABC 面积S 的最大值.
19.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，22
ππ
ω-<<）的图像与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2,2)x π+-.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）将函数()y f x =的图像向左平移a ((0,2))a π∈个单位后，得到的函数()y g x =是奇函数，求a 的值.
20.如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形是全等的三角形，设11AA H α∠=.（1）用α表示线段1AH ；
（2）设1AH x =，sin y α=，求y 关于x 的函数解析式；（3）求八角形所覆盖面积S 的最大值，并指出此时α的大小.
21.已知是定义()f x 在定义在[,]a b 上的函数，如果存在常数0M >，对区间[,]a b 的任意划分：
011n n a x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<=，和式11
|()()|n
i i i f x f x M -=-≤∑恒成立，则称()f x 为
[,]a b 上的“绝对差有界函数”.注：121
n
i n i a a a a ==++⋅⋅⋅+∑.
（1）求证：函数()sin cos f x x x =+在[,0]2
π
-
上是“绝对差有界函数”；（2）设集合{()|A f x =存在常数0k >，对任意的12,[,]x x a b ∈，有12|()()|f x f x -≤12||k x x -成立}，求证：集合A 中任意的函数()f x 为“绝对差有界函数”；
（3）求证：函数cos 01()20
x x f x x
x π⎧<≤⎪
=⎨⎪=⎩不是[0,1]上的“绝对差有界函数”.
参考答案
一.填空题1.1118π- 2.
12 3.2
π- 4.负
5.125
-
6.35
-7.(0,1]8.
18
-
9.10.(,0)(0,)-∞+∞ 11.2+12.(0,1)
二.选择题13.B 14.B
15.A
16.C
三.解答题17.（1）[,]36
k k ππ
ππ-+，k ∈Z ；
（2）最大值为2，最小值为1-.
18.（1）3
C π=
；（2）.19.（1）1()2cos()2
3f x x π=-
；（2）53
a π
=.
20.（1）4sin sin cos 1AH ααα=++，(0,2πα∈；（2）2
2448x x y x x -=-+，(0,4)x ∈；（3）max 64S =-，4
πα=.
21.略.。