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极坐标与参数方程高考题练习含答案

极坐标系与参数方程高考题练习2014年一.选择题1. (2014北京)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的对称中心( B ).A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上2.(2014安徽)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数),圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C截得的弦长为( D )(A )14 (B )214 (C )2 (D )223(2014江西) (2).(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为( ) A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤【答案】A 【解析】1y x =-()01x ≤≤∴sin 1cos ρθρθ=-()0cos 1ρθ≤≤ 10sin cos 2πρθθθ⎛⎫∴=≤≤ ⎪+⎝⎭ 所以选A 。

二.填空题1. (2014湖北)(选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2=ρ,则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.2. (2014湖南)直角坐标系中,倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩:,(α为参数)交于A 、B 两点,且2AB =,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是________.3 (2014重庆)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32(t 为参数),以坐标原点为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-,则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____..【答案】5 【解析】.5ρ,.541ρ(1,2),∴2044-y 1-x 4y .x 4y θcos ρ4θsin ρ∴0θcos 4-θsin ρ1-,3,2222222==+==⇒=+===⇒===+=+=所以交点得与联立y y x y x y t y t x4 (2014上海)已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ,则C 与极轴的交点到极点的距离是 。

【答案】 31【解析】31).0,31(14-3∴1)θsin 4-θcos 3(ρ所以,是交于点==y x.C (2014陕西)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离)到直线点即对应直线)对应直角坐标点极坐标点5 (2014天津)在以O 为极点的极坐标系中,圆θρ4sin =和直线a =θρsin 相交于,A B 两点.若ΔAOB 是等边三角形,则a 的值为___________. 解:3 圆的方程为2224xy ,直线为y a .因为AOB 是等边三角形,所以其中一个交点坐标为,代入圆的方程可得3a .6. (2014广东)(坐标与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为__221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为三.解答题1. (2014新课标I)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C :22149x y +=,直线l :222x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数).(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线,交l 于点A ,求||PA 的最大值与最小值. 【解析】:.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为:2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数),直线l 的普通方程为:260x y +-= ………5分 (Ⅱ)(2)在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为54cos 3sin 65d θθ=+-, 则()025||5sin 6sin 305d PA θα==+-,其中α为锐角.且4tan 3α=. 当()sin 1θα+=-时,||PA 取得最大值,最大值为2255; 当()sin 1θα+=时,||PA 取得最小值,最小值为255. …………10分2. (2014新课标II)(本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (Ⅰ)求C 的参数方程;(Ⅱ)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标.3. (2014辽宁)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【答案】 (1) π∈[0,θθsin 2,θcos ,==y x (2) 03θsin ρ4-cos θ 2ρ=+ 【解析】(1)]π∈[0,θθsin 2,θcos ,的参数方程:曲线==y x C (2)3θsin ρ4-cos θ 2ρ,23-4)21-(211-∴).1,21(),2,0(),0,1(.2π0θ.1)4πθsin(20,2-θsin 2θcos 2θ)sin 2θ,(cos =+====+=+是所求直线的极坐标方程所以即的中垂线方程是垂直中点所以,,或即解得在直线上,则上的点设曲线x y x y AB AB B A P C4(2014福建)(本小题满分7分)选修4—4:极坐标与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=t y ta x 42,(t 为参数),圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x ,(θ为常数).(I )求直线l 和圆C 的普通方程;(II )若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.解:(1)直线l 的普通方程为2x -y -2a =0,圆C 的普通方程为x 2+y 2=16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点, 故圆C 的圆心到直线l 的距离d =52a -≤4,解得-25≤a ≤2 5.2007--2013年高考 极坐标与参数方程(2013安徽数学(理))在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( B )A .=0()cos=2R θρρ∈和B .=()cos=22R πθρρ∈和C .=()cos=12R πθρρ∈和 D .=0()cos=1R θρρ∈和(2013天津数学(理))已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭,则|CP | = 23 .1(2013上海卷(理))在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为_____152+_____ 解析:2(2013北京卷(理))在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于____1_____.3(2013重庆数学(理))在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于,A B 两点,则______AB = 【答案】164(2013广东(理))(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),C 在点()1,1处的切线为 ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则切线的极坐标方程为 .【答案】x+y=2 ;sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭5(2013陕西(理))C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆220y x x +-=的参数方程为______ .θP Oyx【答案】R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 26(2013江西(理))(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________【答案】2cos sin 0ρθθ-=7(2013湖南卷(理))在平面直角坐标系xoy 中,若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点,则常数a 的值为________. 【答案】38(2013湖北(理))在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数,.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线与圆O 的极坐标方程分别为2sin 42m πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=.若直线经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为___________. 【答案】63(2013新课标(理))已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点.(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 【答案】9(2013辽宁(理))在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 22.4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭.(I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为()3312x t at R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值 【答案】10(2013福建(理))坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为(2,)4π,直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线上.(1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)由点(2,)4A π在直线cos()4a πρθ-=上,可得2a =所以直线的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线的直角坐标方程为20x y +-=(Ⅱ)由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0),半径1r = 以为圆心到直线的距离212d =<,所以直线与圆相交11(2013江苏)在平面直角坐标系xoy 中,直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21(为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.【答案】C 解:∵直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21∴消去参数后得直线的普通方程为022=--y x ①同理得曲线C 的普通方程为x y 22= ②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为)2,2(,)1,21(-12(2013新课标1(理))选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】将45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数,化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=,即1C :22810160x y x y +--+=,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得,28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=; (Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=,由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为(2,4π),(2,)2π. 【2012新课标文23】已知曲线C 1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正三角形ABC 的顶点都在C 2上,且A 、B 、C 以逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,) (Ⅰ)求点A、B 、C的直角坐标;(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围. 解析:【2012辽宁文23】在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=。

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