矩阵习题一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+.2. 如果20,A =则0A =.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n .5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B =6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()TB B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ） (A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ ）是对称矩阵。

(A) TA A (B) TA A - (C) 2A (D) TA A - 3．以下结论不正确的是（ ）。

(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵。

4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ ）(A) AB 的第j 列元素全等于零； (B) AB 的第j 列元素全等7于零； (C ) BA 的第j 列元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零； 5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（ ） (A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+-(C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-6．下列命题正确的是（ ）(A) 若AB AC =，则B C = (B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C)若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C =7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ ）(A)当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B)当m n >时，必有行列式0AB = (C)当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D)当n m >时，必有行列式0AB =；8．以下结论正确的是（ ）(A) 如果矩阵A 的行列式，则0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ ）. （A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++.（C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) 0nA = (B) A 是可逆矩阵 (C)0nA = (D)A 主对角线上的元素全为零 11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ ）(A) 1A = (B) 0A = (C) T A A = (D) 0A ≠ 12．,,A B C 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ ）(A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA = (C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（ ） (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E = 14． A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ ）(A)若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵； (B)若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵； (C)若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； (D)*AA A =; 15．设是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ ）(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4A 16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（ ）(A)1njkki k aA =∑ (B)1nkjki k aA =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L , 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL L L L ,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（ ）(A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随 (D)以上结论都不对 18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( ) (A) **00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)**00A A CB B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C) **00B AC A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D) **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ ） (A) A B + (B)A B - (C)AB (D)AB BA - 20．设,A B 是两个m n ⨯矩阵，C 是n 阶矩阵，那么（ ）(A) ()A B CA CB +=+ (B)()TTTTA B C A C B C +=+ (C) ()TTTC A B C A C B +=+ (D)()A B C AC BC +=+21．对任意一个n 阶矩阵A ，若n 阶矩阵B 能满足AB BA =，那么B 是一个（ ）(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A 的逆矩阵 22．设A 是一个上三角阵，且0A =，那么A 的对角线上的元素（ ）(A) 全为零 （B ）只有一个为零（C ）至少有一个为零 （D ）可能有零，也可能没有零 23．设1320A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A -=（ ） (A) 1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ （B ）1031136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）1031126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ （D ）1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24． 设111222333a b c A a b c a b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c b AP a c b a c b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P =（ ） (A) 100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （B ）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （D ）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n ≥阶矩阵1111a a a a a a A aa a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL L L L L L L L ，若矩阵A 的秩为1，则a 必为（ ）(A) 1 （B ）-1 （C ）11n - （D ）11n -26. 设,A B 为两个n 阶矩阵,现有四个命题:①若,A B 为等价矩阵,则,A B 的行向量组等价; ②若,A B 的行列式相等,即||||,A B =则,A B 为等价矩阵; ③若0Ax =与0Bx =均只有零解,则,A B 为等价矩阵; ④若,A B 为相似矩阵,则0Ax =与0Bx =解空间的维数相同. 以上命题中正确的是( )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.三、填空题1．设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，有2A =，则11()2*3A A --=2．设,A B 为4阶方阵，且3A =，则1(3)A --= , 21BAB -= 。

3．设A 是一个m n ⨯矩阵，B 是一个n s ⨯矩阵，那么是()'AB 一个 阶矩阵，它的第i 行第j 列元素为 .4.n 阶矩阵A 可逆⇔ ⇔⇔ ⇔ .4.三阶对角矩阵000000a A b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 的伴随矩阵*A = . 5．设123023003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则*1()A -= .6．设0,1,2,i a i n ≠=L ，矩阵121000000000000n n a aa a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL L L LL L L L的逆矩阵为 。

7．设,A B 都是可逆矩阵，矩阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为 . 8．设121331,,342424A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则(2)B A C -=（ ） 9．A 既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A 为 矩阵.10．设方阵111222333b x c A b x c b x c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111222333b y c B b y c b y c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且2,3A B =-=则行列式A B += .11．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，已知,A a B b ==，则行列式AB = . 12．设A 为n 阶方阵，且0A ≠，则 在A 等价关系下的标准形为 .13. 设12221311A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（a 为某常数），B 为43⨯的非零矩阵，且0BA =，则矩阵B 的秩为 .四、解答下列各题1．求解矩阵方程(1) 25461321X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2) 211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎪-⎝⎭; (3) 142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(4) 010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2．设033110123A ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭,2AB A B =+ ,求B . 3．.设1P AP -=Λ,其中1411P --⎛⎫=⎪⎝⎭,1002-⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭,求11A .4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆. 5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂 等矩阵的充要条件是.0==BA AB。