流体力学习题和解答中国海洋大学海洋环境学院流体力学教研室习题一 场论和张量代数1．证明 ()n n n n ⋅∇=⨯rot ,其中n 为单位向量。

2．证明n a n a n a ⋅⋅-⨯=[()()]grad rot div ，其中a 是变矢量，n 是单位常矢量。

3．用两种方法证明()()∇⨯⨯=-⋅∇-⨯⨯+a b a b a b a b a b rot +rot div 。

4．有一张量，将其分解为对称的和反对称的两部分，并以w 表示相当于反对称部分的矢量，12i ijk jk w p ε=。

试证 ()()2()P P ⋅⋅-⋅⋅=⋅⨯u v v u w u v ，其中u 及v 为任意矢量。

5．张量P 为反对称张量的充分必要条件是：对任意矢量a 有下述恒等式成立：a a ⋅⋅=()P 0习题二 流体运动描述1． 流体质点绕oz 轴以等角速度ω 旋转，（1）试以欧拉变量写出流体运动的速度场；（2）试以拉哥朗日变量写出流体质点的运动规律；（3）试分析流场的流线和轨迹；（4）试求流体质点的加速度；（5）用极坐标解此题。

2． 一维收缩管内的不可压缩流动，其速度分布为：)/1(1L x V V +=，试决定：（1）流场内任一质点的加速度（2）给出 t=0时刻位于0x x =点的质点的运动规律，并比较用两种方法得到的加速度。

3． 流体质点在定常流场内运动，流体质点是否具有加速度，为什么?4． 设流场为：2Xt u =，2Yt v =，0=w 。

试求流场的流线，流体质点的轨迹和加速度，并以拉哥朗日变数表示质点的速度和加速度。

5． 设流场为：ky u =，)(t x k v λ-=，0=w ，其中k 和λ 均为常数。

试求：t=0 时经过点M(a ，b ，c)的流线及t=0时经过M(a ，b ，c)处的流体质点的轨迹，最后考虑0=λ时的情形。

6． 考虑下述速度分量定义的二维流动： Cv Bt A u =+= 其中A 、B 、C 为常数。

试证流线为直线，质点的轨迹为抛物线。

7． 二维流场kyt v a u ==,，试决定其流线与轨迹。

8． 设流场的速度分布为：，，，02222=+=+-=w yx kx v y x ky u 其中 k 为常数，试求流线、轨迹和流体质点的加速度，并用极坐标解上题。

9． 试证明由直角坐标系到极坐标系和由极坐标系到直角坐标系速度的变换公式如下：⎩⎨⎧-=+=θθθθθsin cos cos sin u v v u v v r ⎩⎨⎧+=-=θθθθθθcos sin sin cos v v v v v u r r 10． 已知流体运动的速度大小和流线的方程分别为22y x V +=和=-22y x constant ，试求速度场两速度分量。

11． 已知二维流动：y v x u -==,，试求流线方程和通过点（2，3）的流线。

12． 一定常流管，其中心线上的流速在40cm 的一段距离内由14m/s 变为15m/s 。

若变化是均匀的，求这段上起点和终点的对流加速度。

13． 试导出在极坐标，柱坐标及球坐标系中之流线和轨迹的微分方程。

14． 速度场为j i V b ay +=，其中，速度的单位为m/sec ，y 以米给出，a =2m/sec ，b =1m/sec ，试决定场点（1，2，0）上的速度分量，，，w v u 以及通过该点的流线的斜率。

15． 在二维不定场流场内，同一时刻测的速度分量为：x y u v0 0 20 101 0 22 150 1 14 5在x=0，y=0 点上，于不同时刻也进行了速度测量，测量结果为：t u v0 20 102/1 30 10其中u 、v 的单位为 m/sec ，t 的单位为sec ，x 、y 的单位为 m ，试求出 x=y=0点上分别沿x 和y 方向的平均加速度分量。

习题三 质量连续性方程1． 试证明不可压缩流体作定常流动时，速度必沿等密度面进行，反之亦然2． 已知某平面不可压流场的速度沿x 轴方向的分量为：2u ax by =+求沿y 轴方向速度分量v ，已知y=0时，v=03． 某流场，以拉哥朗日变数表示为：)cos()sin(t ka Re b y t ka Re a x kb kb σσ+-=++=其中σ,,k R 为常数，a ， b 为拉哥朗日变数， 试证明此流场为不可压流场。

4． 流体在弯曲的细管中流动，试分别以拉哥朗日变数和欧拉变数给出连续方程式。

5． 设有一明渠，宽为 b(x )，水深为h(x ，t )，x 代表明渠任一界面的位置。

如果认为同一截面上速度相同，即v=v(x )，试求连续方程。

6． 在上题中，如果静止时h=h(x )（即渠底不平），由于外部扰动，使自由表面产生了一波动，此时任一截面的水深可表为()(),h h x x t ζ=+， 其中，(),x t ζ为波剖面。

设流体为不可压流体，试证明此时连续方程为：0)(=∂∂+∂∂sb t b t σζ 7． 设σ为一细流管的截面面积，试证明连续方程为：0)()(=∂∂+∂∂st ρσυρσ 8． 流体质点的运动对于某固定中心对称，求其连续方程。

如流体为不可压，阐明此连续方程的物理意义。

9．流体质点在通过oz 轴的诸平面上运动，求连续方程式。

10．流体质点的轨迹为圆，且这些圆的圆心都位于某一固定轴上，试证明连续方程为：()0t ρρωθ∂∂+=∂∂ 式中ω为流体质点绕oz 轴转动的角速度。

11．如果流体质点的轨迹位于共轴的圆柱面上，试求其连续方程式。

12．不可压流体在一平面内运动，在极坐标系下，已知：2cos rk v r θ-= 其中k 为常量，试给出速度的θv 分量和速度的大小。

13．如果流体质点在一球面上运动，证明连续方程为：0)cos '()cos (cos =∂∂+∂∂+∂∂θρφθρωθθρw t 此处φθ和分别为纬度和经度，ωω'和分别为质点位置经度和纬度的变化率。

14．流体质点的运动位于轴线与z 轴共轴并有共同顶点的圆锥面上，试求连续方程。

15．一脉冲在一均匀直管中传播，已知 )(0x vt -Φ=ρρ，求质点的速度分布，设原点处质点的速度为0v 。

16．说明y v x u ==,是否为一不可压流动。

假设一个不可压流动的速度x 分量为u=x ，那么，其y 分量v 的函数形式是什么形式？习题四 速度分析 有旋运动和无旋运动1． 流速在平板附近的速度分布为：0,0,===w v ky u ，试求流体微团的膨胀速度，和转动角速度。

2． 在无旋流动中，0t 时刻组成小球2222R =++ζηξ的质点在d t 时间后必然构成椭球面，试证之。

3． 在匀变形情况下，位于同一平面上的质点永远位于同一平面上，位于同一直线上的质点永远位于同一直线上，试证之。

4． 以A 代表某个流动的变形速度张量，试证明剪切速度231312,A A A 和可分别被解释为由于剪切变形引起的位于x-y ， x-z 和y-z 三个坐标面上的正方形对角线的相对伸长速度。

5． 流体运动时，流线为绕OZ 轴之同心圆，角速度与离OZ 轴距离的n 次方成正比，求旋度及流体的自转角速度。

6． 验证下列平面流动是否为不可压缩流动。

并证明哪一个是有旋的，哪一个是无旋的，对于无旋场给出速度势函数。

a) ⎩⎨⎧==kx v ky u ， b) ⎩⎨⎧==ky v kx u ， c) ⎩⎨⎧-==ky v kx u ， d) ⎩⎨⎧+=+=y b ay v bx ax u sin 32 7． 一平面流场：x y x u +-=22，y xy v --=2，证明其代表一不可压流场，并且是无旋的，并试给出其速度势函数。

8． 给出下述有旋运动的速度场及涡线：a) 流体与刚体一样具有角速度ω绕OZ 轴旋转；b) 流场：c w c v cy u ===,,；c) 流体质点的速度与质点到OX 轴的距离成正比，并且与OX 轴平行。

9． 已知速度势ϕ如下，试求对应的速度场、流体质点加速度及流线。

a) xy =ϕ；b) 22yx x +=ϕ。

10． 不可压流体在单连通区域内做无旋运动，试证明对于任何的封闭曲面s 均有0=∂∂⎰ds n s ϕ。

11． 在不可压缩无旋流动中，流场内任一内点上，速度势ϕ不可能取得极值，试证明之。

习题五 量纲分析和相似理论1． 截面为半圆形的无限长直管中的不可压缩流体做层流运动，沿管轴方向某一长度l 上的压降为∆p 。

管中的平均流速U ，管的半径a ，流体粘性系数μ有关。

试由量纲分析原理推出管中体积流量Q 如何随U 、a 、μ、∆p 和l 变化。

2．.右图示水坝溢流，水的密度与粘度为ρ和μ。

试用量纲分析导出溢过单位宽度水坝的体积流量Q 与那些量有什么无量纲关系。

又若已知来流速度为V ∞，求H h /与什么无量纲量有关。

3．在很低雷诺数下, 绕某物体的流动服从下述Stokes 方程组: ∇⋅=V 0, V 2∇=∇μp ,在物面z L f x L y L=(,)上V =0，在无穷远处V V =∞(沿x 轴方向)。

试用量纲分析论证：此物体所受阻力的大小F 应该与特征尺寸L 的几次方成正比？4．用１：30的模型在水槽中研究潜艇阻力问题。

若实际潜艇水下航速为10knot ，试确定研究摩阻时，模型拖拽速度多大。

5．一模型港尺度比为280：1，设真实storm wave 振幅1.524m ，波速9.144m/s ，那么模型实验中的这振幅和波速分别是多少？习题六 理想流体动力学方程组和边界条件（本习题中除特殊说明外，流体均为均匀不可压理想流体）1． 流体边界如下，求边界面的法向速度。

1cot tan 222222=+t b y t a x 2． 椭圆柱以速度u 作垂直于其轴线的直线运动，试写出椭圆柱的曲面方程式。

3． 试导出在柱坐标和球坐标系下，活动边界的边界条件。

4． 炸弹在水下很深的地方爆炸，证明水中任一点的压强与这点到炸弹中心的距离成正比。

5． 一垂直折管A B C （2/π=∠ABC ），C 端封闭， 并使AB 段竖直放置（如图4-1）。

管中充满液体。

如果将C 端开放，试证明在开启的瞬间，垂直管中的压强减少一半（如果 AB=BC ），并求水平管中压强的变化（不计大气压强）。

6． 设有不可压重流体，盛在直立的圆柱形容器内，以等角速度ω绕圆柱轴线稳定旋转。

若已知流体静止时液面的高度为h ，圆柱半径为a ，不计大气压强，试求：（1）流体内部的压强分布；（2）自由表面的形状；（3）容器底部受的总压力。

7． 设某流动的速度势在柱坐标系下可以表示为θϕk =，且自由表面压强为常值，于r 为无穷远处，水面高为h ，试求自由表面的方程式。

A B C 图4-18． 水平直细管内有一长为2Ｌ的不可压缩流体，流体受管中点的吸引，引力与到管中点的距离呈正比。