变量函数：
2
~f n j
1
~f (u
n jl
1 ,
u
n j l
2,
,
u
n jl
),
2
~f 满足相容性条件:
~f (u,u,u) f (u)
11
3.1.5 守恒型差分格式（续）
• 守恒性质：
守恒型差分格式对j求和 :
jJ u nj 1x
j J
jJ
u
n j
x
j J
~f n J
1
t
2
~f n J
• Fourier (Von Neumann) 稳定性分（续）
G 1 eikx 1 (coskx i sin kx) 1 (1 coskx) i sin kx
G2 1 (1 coskx)2 2 sin2 kx 1 4(1 ) sin2 kx ,
2 G 1 if 1
• 1 称为CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy)
2 p
p 1
2 pu x2 p
(5)
6
3.1.3 差分方程的修正方程(续)
u
t
k 1
k
ku x k
基本解为
2 p1
p0
2 p1u x2 p1
2 p
p 1
2 pu x2 p
e e ( i )t ikx
(1) p 2 pk 2 p p 1
(1) p 2 p1k 2 p1 p0
格式稳定的充分必要条件是
(1) p 2 pk 2 p 0, k p 1
偶次项系数满足 : (1) p 2 p 0
对于（2）：
1
c，2
0,
3
1 6
c(c2t 2
x2 )
4
1 c2t 8
(3c2t 2
x2 )
符合War min g Hyett 稳定性判别条件. whyCFL 1for scheme(2) ?
10
3.1.5 守恒型差分格式
• 流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：
• 定义
u d f
0
t i1 xi
对于一维单个守恒律：
u f (u) 0 t x 其差分格式如果具有如下形式
u n1 j
u n1 j
t x
~f n j
1
2
~f n j
1
2
则为守恒型差分格式。
其
中
~f n j
1
称为
数值通量，它是2l个变量的多
1
t
2
再对n求和 :
jJ u nj 1x
j J
jJ
u
0 j
x
j J
N k 0
~f k J
1
t
2
N
k 0
~f k J
1
t
2
可以看成是积分
u(x, t )dx xJ1/2
xJ 1/ 2
n1
xJ1/ 2 u(x,0)dx
xJ 1/ 2
tn1 0
u
(
x
J
1
,
t
)
dt
2
tn1 0
u
(
u 1 t t 2
2u t 2
1 t 2 6
3u t 3
c
u x
1 x2 6
3u x3
c
2t
1 2
2u x 2
1 24
4u x 4
(3)
• 差分方程(2)写成算子的形式：
5
3.1.3 差分方程的修正方程 (续)
t
(e t
1)u
1 2
x
(e x
x
e x )u
1 2
2
x
e
x
x
2 e x
u
n1 j
u
n1 j
t x
~f n
j
1
2
~f n
j
1
2
u f (u) 0 t x
相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于 分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。
u
(4)
记算子
t
(e t
1)
t
u t
1 t 2 2!
2u t 2
1 t3 3!
3u t 3
则
t
(e t
1)2
t 2
2u t 2
1 2
1 t3 2
3u t 3
2 1 6
1 2
1 t 4 2
4u t 4
t
(e t
1)3
t 3
3u t 3
1
1 t 4 2
4u t 4
t
(e t
1)4
t 4
7
3.1.4 差分方法的理论基础
• 相容性，稳定性，收敛性 • 等价性定理 • Fourier稳定性分析
8
3.1.4 差分方法的理论基础（续）
• Fourier (Von Neumann) 稳定性分析
u n1 i
uin
t
c
1 x
(uin1
uin )
0,
c0
(1)
设 c t x
误差的基本解uin Aneikxi
u n1 i
A e n1 ikxi
u A e n
n ikxi1
i 1
代入(1) :
u n1
uin
(uin
un i 1
)
A e n1 ikxi Aneikxi ( Aneikxi A en ikxi1 )
满足稳定性要求的 amplification factorG
G
An1 An
1
9
3.1.4 差分方法的理论基础（续）
4u t 4
可以将t
表示成(et
t
1)l的级数
t
t
t
l 1
bl
e
t
t
1l , b1
1, b2
1 2
,
b3
1 3
,
b3
3 8
最后得到
t
t
l 1
bl
e
t
t
1l
l
bl
1 2
Hale Waihona Puke exxx
e x
1 2
2
e
x
x
2
x
e x
即有
u
t
k 1
k
ku x k
2 p1
p0
2 p1u x2 p1
2
3.1.1 模型方程的差分逼近
3
3.1.2 差分格式的构造
4
3.1.3 差分方程的修正方程
• 差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程 • 对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。 • Warming-Hyett方法：
u c u 0
(1)
t x
u
n j
x J
1
,
t
)dt
2
该积分代表离散的守恒律。完全对应于连续的守恒律：
u(x,t)dx f (u(x,t))dt 0
• 非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的“离散守恒律”。
12
3.1.5 守恒型差分格式（续）
• 守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理： 如果守恒型差分格式
是和守恒律
（三）偏微分方程的数值离散方法
• 3.1 有限差分法 • 3.2 有限体积法 • (有限元，谱方法，谱元，无网格，有限
解析，边界元，特征线）
1
3.1 有限差分法
• 3.1.1 模型方程的差分逼近 • 3.1.2 差分格式的构造 • 3.1.3 差分方程的修正方程 • 3.1.4 差分方法的理论基础 • 3.1.5 守恒型差分格式 • 3.1.6 偏微分方程的全离散方法
1
u
n j
1 2
u j1 u j1
1 2
2
u j1
2u j
u j1
(2)
Taylor展开
u
n j
1
u
n j
t
u t
1 t 2 2!
2u t 2
1 t3 3!
3u t 3
t
(e t 1)u
u
j 1
u
j
x
u x
1 x2 2!
2u x 2
1 3!
x3
3u x3
x
(e x 1)u
x
u j1 (e x 1)u (2)等价于：