Ⅰ
Ⅱ
资源限制
设备
1
1
300 台时
原料 A
2
1
400 千克
原料 B
0
1
250 千克
问题：工厂应分单别位生产品产获多利少单位Ⅰ50、元Ⅱ产品才能100使元工厂获利最多？
2.1 线性规划问题的数学模型
解：设生产产品I和产品Ⅱ 的产量分别为x1和x2 。
则有如下模型：
目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2
2.1 线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0
称为松弛变量
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0
称为剩余变量
变量 x j的变换0
可令
x
j
，x显j 然
x
j
0
2.1 线性规划问题的数学模型
2
鸡蛋
800
60
200
6
问3如何选择才能大米满足营养的90前0 提下使购20买食品的费用30最0 小？ 3
4
白菜
200
10
500
2
请同学们自己列出模型？
2.1 线性规划问题的数学模型
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成
决策变量 目标函数 约束条件
Decision variables Objective function Constraints
2.1 线性规划问题的数学模型
（2）如何化标准形式
目标函数的转换 如果是求极小值即
，m则in可z将目标c函j x数j乘以(-1)，可化为求极大值问题。
即 maxz z c j x j
也就是：令 ，z可得到z上式。
变量的变换
若存在取值无约束的变量 ，可令 其中：
xj
xj , xj 0
x j xj xj
设备 产品
A
B
C
D 利润（元）
甲
2
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
有效台时
12
8
16 12
2.1 线性规划问题的数学模型
•解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量， 则数学模型为ma：x Z = 2x1 + 3x2
2x1 + 2x2 ≤ 12
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1
≤ 16
s.t.
4x2 ≤ 12
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
第二章 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
2.1 LP的数学模型 2.2 图解法 2.3 单纯形法 2.4 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 2.5 LP模型的应用
2.1 线性规划问题的数学模型
•1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资 源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。
2.1 线性规划问题的数学模 型
例2.3 假定一个成年人每天需要从食物中获取3000卡热量，55克蛋白质和 800毫克钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含热量和营 养成分以及市场价格如下表所示。
序号
食品名称 热量（卡） 蛋白质（克） 钙（毫克） 价格（元）
1
猪肉
1000
50
400
10
约束条件：s.t.
x1 + x2 ≤ 300
2 x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
2.1 线性规划问题的数学模型
例2.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在A、B、C、 D、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上 加工所需要的台时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企 业总的利润最大？
线性规划通常解决下列两类问题： （1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资 金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标
（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产 品量最多 、利润最大.）
2.1 线性规划问题的数学模型
例2.1 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需 的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
n
max(min) Z c j x j j1
n
aij x j ( ) bi (i 1 2m)
j1
xj 0
(j 1 2n)
2.1 线性规划问题的数学模 型
• 其中，ci ——称为价值系数
• 数）
aij——称为技术系数（或消耗系
•
bi——称为资源系数
2.1 线性规划问题的数学模型
向量形式： max (min)z CX
x1
X
xn
b1
B
bm
2.1 线性规划问题的数学模型
•5. 线性规划问题的标准形式
n
max Z c j x j j1
s.t
n j1
aij
x
j
bi
i 1,2,, m
x j 0, j 1,2,, n
特点： (1) 目标函数求最大值（有时求最小值） (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
例2.4 将下列线性规划问Байду номын сангаас化为标准形式
min Z 2 x1 x2 3 x3
5 x1 x2 x3 7
pj xj
(
) B
X 0
其中： C (c1 c2 cn )
x1
X
xn
Pj
a1
j
amj
b1
B
bm
2.1 线性规划问题的数学模型
矩阵形式：
max (min)Z CX
AX ( ) B
X
0
其中： C (c1 c2 cn )
a11 a1n
A
am1 amn
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或 最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。
2.1 线性规划问题的数学模型
•3. 线性规划建模过程 •（1）理解要解决的问题，了解解题的目标 和条件； •（2）定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ）， 每一组值表示一个方案； •（3）用决策变量的线性函数形式写出目标 函数，确定最大化或最小化目标； •（4）用一组决策变量的等式或不等式表示 解决问题过程中必须遵循的约束条件
2.1 线性规划问题的数学模型
4. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： 约束条件：
简写为：
max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm x1 0 xn 0