1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB的交点为Q 。

（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112||||PC PD PQ +=.2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.3. 如图，椭圆134:221=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。

6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=(1)求点P 的轨迹方程； (2)若2·1cos PM PN MPN-∠＝,求点P 的坐标.7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线1222=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3MON π∠=，双曲线的焦距为4。

求椭圆方程。

（II ）若0OM MN ⋅=（O 为坐标原点），13FA AN =，求椭圆的离心率e 。

8. 设曲线2212:1x C y a+=（a 为正常数）与22:2()C y x m =+在x 轴上方只有一个公共点P 。

（Ⅰ）求实数m 的取值范围（用a 表示）；（Ⅱ）O 为原点，若1C 与x 轴的负半轴交于点A ，当102a <<时，试求OAP ∆的面积的最大值（用a 表示）。

1. （1）略（2）为简化运算，设抛物线方程为200()2()x x p y y -=-，点Q ，C ，D 的坐标分别为331122()()()x y x y x y ，，，，，，点(0,0)P ，直线y kx =，200()2()x x p kx y -=-220002()20x x pk x x py -+++=一方面。

要证112||||PC PD PQ +=化斜为直后只须证：123112x x x += 由于0012212122()112x pk x x x x x x x pk+++==+ 另一方面，由于(0,0)P 所以切点弦方程为：000()(2)x x x p y y --=- 所以 3x =0202x pk x pk+=+002312x pk x x pk+=+ 从而 123112x x x += 即112||||PC PD PQ +=2. （1）设动点N 的坐标为（x ,y ），则 ),2,(),0)(2,0(),0,(y x PM x y P x M --=>-…………………2分040),2,1(2=+-=⋅-=y x PF PM y PF 得由，因此，动点的轨迹方程为 ).0(42>=x x y (4)分xyO 22x py =（2）设l 与抛物线交于点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，当l 与x 轴垂直时， 则由6424||,22,22,421<=-==-=⋅AB y y OB OA 得， 不合题意，故与l 与x 轴不垂直，可设直线l 的方程为y =kx +b (k ≠0),则由4,42121-=+-=⋅y y x x OB OA 得…6分由点A ，B 在抛物线.8,4,4,)0(4212221212-===>=y y x y x y x x y 故有上 又y 2=4x , y =kx +b 得ky 2－4y +4b =0,……………………8分所以)3216(1||),21(16.2,8422222++=+=∆-=-=kk k AB k k b k b ……10分 因为.480)3216(196,304||64222≤++≤≤≤k k k AB 所以解得直线l 的斜率的取值范围是]1,21[]21,1[⋃--.………………………………………………………………12分3. 由题意得C 为AP 中点，设)0,2(),,(00-A y x C ，),2,22(00y x P +把C 点代入椭圆方程、P 点代入双曲线方程可得,124)22(3124320202020⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+y x y x 解之得：)0,2(),3,4(),23,1(,23100B P C y x 又故⎪⎩⎪⎨⎧==故直线PD 的斜率为232403=--，直线PD 的方程为),2(23-=x y 联立)23,1(134)2(2322-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=D y x x y 解得，故直线CD 的倾斜角为90° 4. 解法一：（Ⅰ）由|PM|－|PN|= P 的轨迹是以 ,M N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a =又半焦距 c=2，故虚半轴长b 所以 W 的方程为22122x y -=,x ≥ （Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为11(,)x y , 22(,)x y当 AB ⊥x 轴时,12,x x =从而12,y y =-从而22121211 2.OA OB x x y y x y ⋅=+=-= 当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y kx m =+,与W 的方程联立,消去y 得222(1)220.k x kmx m ----=故1222,1km x x k +=- 21222,1m x x k +=- 所以1212OA OB x x y y ⋅=+1212()()x x kx m kx m =+++221212(1)()k x x km x x m =++++ 2222222(1)(2)211k m k m m k k ++=++--22221k k +=-2421k =+-. 又因为120x x >,所以210k ->,从而 2.OA OB ⋅> 综上,当AB ⊥x 轴时, OA OB ⋅取得最小值2. 解法二:(Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为，则11(,)x y , 22(,)x y ,则22()()2(1,2).i i i i i i x y x y x y i -=+-== 令,,i i i i i i s x y t x y =+=-则2,i i s t =且0,0(1,2)i i s t i >>=所以1212OA OB x x y y ⋅=+1122112211()()()()44s t s t s t s t =+++--1212112,22s s t t =+≥= 当且仅当1212s s t t =,即1212,x x y y =⎧⎨=-⎩时”=”成立.所以OA OB ⋅的最小值是2.5. (1)当k=0或k=-1或k=4时，C 表示直线；当k ≠0且k ≠-1且k ≠4时方程为k k k k k k k k kk y k k x -+≠+>-+>+=-+++411,04101:, 141122且为椭圆的充要条件是 即是0<k<2或2<k<44,k 0k 1- 1,0411:)2(><<-<<-+⋅+或或即为双曲线的充要条件是k kk k k,6,41,1,x , 4k 122=-+=+=>-<k k k b k k a k 得轴上双曲线焦点在时或当.,6,41,1,y , 0k 1-22不符得轴上双曲线焦点在时当=-+=+=<<k k k a k k b 12767:22=-y x 综上得双曲线方程为（Ⅲ）若存在，设直线PQ 的方程为：y=-x+m07244: 7262222=--+⎩⎨⎧=-+-=m mx x y y x mx y 得消去 211223,,232),,(,00-=∴--=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=m m m L M m y m x y x M Q P o o 上在直线则的上点是设方程（2）的△>0，∴存在满足条件的P 、Q ，直线PQ 的方程为21--=x y6. (1)由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴b =225ac -=，所以椭圆的方程为221.95x y += (2)由2,1cos PM PN MPN=-得cos 2.PM PN MPN PM PN =- ①因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形.在△PMN 中，4,MN =由余弦定理有2222cos .MN PM PN PM PN MPN =+- ②将①代入②，得22242(2).PM PN PM PN =+--故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为23的双曲线2213x y -=上. 由(1)知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以由方程组22225945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即P 点坐标为(,22222222-、（-）、（-，）或（-）. 7. 解：（I ）3π=∠MON ，N M ,是直线l 与双曲线两条渐近线的交点，336tan ==∴πa b ， 即b a 3=………………2分 双曲线的焦距为4，422=+∴b a ……………………4分解得，1,322==b a ∴椭圆方程为1322=+y x …………5分 （II ）解：设椭圆的焦距为c 2，则点F 的坐标为)0,(c 0=⋅ON OM ， 1l l ⊥∴ 直线1l 的斜率为ab -，∴直线l 的斜率为b a ，∴直线l 的方程为)(c x bay -=…………………………………………7分 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=x a by a x b a y )( 解得⎪⎩⎪⎨⎧==cab y c a x 2即点),(2c ab c a N设),,(y x A 由AN FA 31=， 得()),(31,2y c abx c a y c x -=- 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-)(31)(312y c ab y x c a c x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=c ab y c a c x 44322 )4,43(22c ab c a c A + ……10分。