1.平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦•设过抛物线2X =2Py外一点P(x°,y°)的任一直线与抛物线的两个交点为C、D,与抛物线切点弦AB的交点为Q。

(1)求证: 抛物线切点弦的方程为χ0χ= p(y+ y0)；(2)求证：1 1 2. PC IPDl IPQl2.已知定点F( 1，0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交X轴于点M并延长MP到点N 且PM PF =0,∣ PM UPN |.(1)动点N的轨迹方程；(2)线I与动点N的轨迹交于A，B两点，若OAOB- -4,且4 .. 6 AB 4 30 ,求直线I的斜率k的取值范围.2 2 2 23.如图，椭圆C V的左右顶点分别为A B P为双曲线C2「「1右支上(X轴上方)一点，连AP交G于C,连PB并延长交G于。

，且厶ACD与^ PCD的面积相等，求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角.4.已知点M (-2,0), N (2,0),动点P满足条件| PM | - | PN卜2、、2 .记动点P的轨迹为(I)求W的方程；O是坐标原点，求(∏)若代B是W上的不同两点,2 25. 已知曲线α的方程为:kx +(4- k)y =k+1,(k ∈R)(I)若曲线C是椭圆，求k的取值范围；(∏)若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程；(川)满足(∏)的双曲线上是否存在两点P, C关于直线I : y=x-1对称，若存在，求出过P, C的直线方程；若不存在，说明理由。

6. 如图(21)图，M(-2 , 0)和N(2, 0)是平面上的两点，动点P满足：PM + PN = 6.(1)求点P的轨迹方程；2⑵若PM -PN = ------------------------ ,求点P的坐标.1 —cosNMPN2 27. 已知F为椭圆y2 =1 (a b 0)的右焦点，直线I过点F且与双曲线a b2 2X V〒二1的两条渐进线∣1,∣2分别交于点M , N ,与椭圆交于点A, B.a b(I )若.MON ,双曲线的焦距为4。

求椭圆方程。

3(II )若OM MN =0 ( O为坐标原点)，FA=I AN ,求椭圆的离心率3χ28.设曲线G : P - y 2=1 ( a 为正常数)与C 2: y 2=2(x m)在X 轴上方只有一个公共点 P 。

a (I)求实数 m 的取值范围(用a 表示)；1(D ) o为原点，若C 1与X 轴的负半轴交于点 A ，当0 ：：： a ：：：时，试求-OAP 的面积的最2大值(用a 表示)。

1. (1)略2(2)为简化运算，设抛物线方程为(X-X O ) =2p(y-y 0),点Q , C, D 的坐标分别为(X 3, y 3),(x 1, y 1),(X 2, y 2),点 P(QO),直线 y =kx , 2(x-X o ) =2p(kx-y °) X 2 -2(X Q Pk)X X ： 2py ° =0另一方面，由于 P(0,0)所以切点弦方程为：一X O (X -X 0) = p(y -2y 0)所以 x2+2Pk X 3 :X o Pk从而 1 1 2 X 1 X 2X 3即 1• 1 = 2 PC |PD| |PQ ∣2. (1) 设动点N 的坐标为(X , y ),则2分1 _ X Q Pk X 3 -χ2 2pkM (-x,0), P(0,%)(XA 0),PM=(-X ,-*一方面。

要证11=2PCIPDl IPQI化斜为直后11 2只须+ — ZX 1 X 2 X 3由于1 1 +——=X 1X 22(X Q Pk)— 2X 1X 2x 2 2pk=2.____ _____________________ _____ 2PF =(1,_y ),由PM ，PF =O 得一 X •务=0 ,因此，动点的轨迹方程为y 2=4x(x .0) (4)分 (2)设I 与抛物线交于点 A (x i , y ι) ,B(χ2,y 2),当I 与X 轴垂直时， 则由 OA OB 得 y 1 =Λ2,y 2 =-2∙ 2,∣ AB ∣=4-2 ,4：6，不合题意， 故与I 与X 轴不垂直，可设直线 I 的方程为y =kx +b (k ≠0),则由 OA OB = -4,得x 1 x 2 y 1 y 2 = 4 …6 分 由点 A , B 在抛物线 y 2 =4χ(χ . 0)上,有y 12 =4χ1,y^ =4χ2,故y 1 y 2 =-8. 又 y 2=4χ, y =kx +b 得 ky 2- 4y +4b =0, 8 分 2所以 4b - _8,b - —2kJ ： =16(1 2k 2),∣ AB ∣2 J ∖ (1∣ 32)……10 分 k k k 2 因为46 AB ^4 30,所以96 J k (1⅞ *32)乞480解得直线l 的斜率的取值范围是 k k 1 1“八[-1, ] - [ ,1]. ..................................................................................... 12 分 2 2 3.由题意得 C 为 AP 中点，设 C(x 0,y 0), A(-2,0), P(2x 0+2,2y 0), 把C 点代入椭圆方程、P 点代入双曲线方程可得 2 23X 0 ■ 4y 0 12 2 2ιp(2x°+2) -4y 0 =12 解之得:χ0 =13 3,故 C(I '/W ,又* B(2'0)故直线PD 的斜率为L∑°=3 ,直线PD 的方程为y =2(x _2)4-2 2 2y =3(x-2) 2 2 2X I y —+—=1 L.4 3 4.解法一： 联立 解得D(I -3),故直线CD 的倾斜角为90° ,2) (I)由|PM| - IPNl= 2-、2知动点P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支，实 半轴长a 又半焦距c=2 ,故虚半轴长b »I C 2 - a 2 = .■:∙'2 2 2 所以W 的方程为D 1, X _ 2 2 (∏)设A , B 的坐标分别为(χ1, y 1) , (χ2, y 2) 当 AB 丄 X 轴时，X 1 = X 2,从而 y ∣ - - y 2,从而 OA OB = X 1X 2 ∙叶 λy2 2=X 1 一讨1当AB 与X 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y = kx ∙ m ,与W 的方程联立,消去y 得(1 -k 2)x 2 -2kmx -m 2 - 2 = 0.所以OA OB=X I X 2 y 1y 2 =X 1X 2 (kx 1 m)(kx 2 m) = (1 k 2)x 1x 2 km(x 1 x 2) m 22 2 2 2(1 k )(m 2) 2kmm k -1 1 -k 又因为X 1X 20,所以k 2 -1 0,从而OA OB 2.综上，当AB 丄X 轴时，OA OB 取得最小值2. 解法二： (I)同解法(∏)设A , B 的坐标分别为，贝U (x 1,y 1), (x 2,y 2),则2 2人—y =(<+y)(x — yj=2(i =1,2).令 s =人+%飞=x —%, 则 St i =2,且 s >0,t i A0(i =1,2)所以11 OA OB=XM y 』2(S 1 t 1)(S 2 t 2) (S — t 1)(S 2 ,)4 4X 1 = X 2当且仅当S 1S 2 =t 1t 2,即1时”成立.LyI = -y2所以OA OB 的最小值是2.当k=0或k=-1或k=4时，C 表示直线; 2y1 ,为椭圆的充要条件是k 14 —k当k ≠ O 且k ≠ -1且k ≠ 4时方程为 「0且KI 0「k 4 —k k即是 0<k<2或 2<k<4k +1 k +1故 X 1 X 2 =2km 1 -k 2x 1x 2 =m 2 2 k 2 -1222 k 2 c 4=—n ----- = 2 + —— k 2-1 k 2 -11=尹2+ 1tt A2 t 1t 2 -5. (1) 2X V~1 k=2,⑵为双曲线的充要条件是：--------- ：：：0,即k ：：： -1或-1 ：：： k ：：0或k 4,k 4 —kk 1 k 当-1 ：：：k ：：:0时,双曲线焦点在y 轴上，b 2=k 1 ,a 2 : k2 2综上得双曲线方程为：乞—乞=17 76 2(川)若存在，设直线 PQ 勺方程为：y=-x+my = —X +m … …2222 消去y 得：4x 2+4mx —2m 2 一7 =O6x-2y=7PM LPN CQSMPN I PM l PN l 2.MN =4,由余弦定理有MN ∣2 =IPM ∣2 +∣ PN 2 -2 PM LPN CQSMPN .②将①代入②，得42 =IPM 2 +1PN 2 -2( PM [PN -2).2故点P 在以M N 为焦点，实轴长为 2 3的双曲线 三-y 2 =1上.322由(1)知，点P 的坐标又满足—=1 ,所以当k ：：： -1或k 4时,双曲线焦点在X 轴上,a 2U ,b 2 = k 1 ,得 k =6, k —4-_1,得k = 6,不符. k_4X o 设P,Q 的上点是M (x °,y °),贝叽y o m=— -2 ,M 在直线L 上” 3m _ 3m 2 ^^2^方程(2)的厶＞0,∙∙∙存在满足条件的P 、Q,直线PQ 勺方程为 6. (1)由椭圆的定义，点 因此半焦距C =2,长半轴P 的轨迹是以M a =3,从而短半轴N 为焦点，长轴长 1y = —X ——22a =6的椭圆.b =、a 2 -C 2 = 5 ,2所以椭圆的方程为—9 2—1. 5 (2)由 PM LPNI =1二MPN ,得因为CQSMPN =1,P 不为椭圆长轴顶点，故 P 、M N 构成三角形•在厶PMN 中,9 52 2∣5x +9y =45, 由方程组 2 : '2 2J X 3y = 3. 7.解：（I ）幕.MON ' , M , N 是直线丨与双曲线两条渐近线的交点,3f b : r √ 3tan , 即 a = 3b .................... 2 分a 6 3；双曲线的焦距为4, . a 2 ∙ b 2 =4 ............................... 4分22 2 X 2解得，a =3,b =1 ■椭圆方程为y =1 ..............5分 3 （II ）解：设椭圆的焦距为 2c ,则点F 的坐标为（c,0）OM ON = 0,.直线l 的方程为1(a 2 ) x-c ( x) 3 C 1 ab y "y)λ 2 2 IA z 3c a ab 、A(,)4c 4c 2+ — =1 16a 2C 2 16C 2y =£(x_a) 由＜ b b y = _ X L a解得 2aX = C ab y =C 即点 N(—,-ab)C C —1 — 设 A(x, y),由 FA=I AN 3 J 1 得x”3 a 2ab x, -y)即P 点坐标为/3-3 .5、 /3.3 (TR(T ， ■-直线I 1的斜率为 •直线l 的斜率为:,3C 2 a 2 X = 4c ab 10分。