R2
C
z0
内圆一周的任意闭合曲线
证明：为了避免讨论f(z)在边界的解析性，取积分路径 为C‘R1和C'R2 由复通区域cauch公式
1 f ( ) f ( z) d 2 i C 'R1 z 1 f ( ) d 2 i C 'R 2 z
积分方向为逆时针方向
由复通区域cauch定理

CR2
R1 z
R2
C R1
C
z0
1 f ( ) f ( z ) ( z z0 ) d k 1 C ( z ) 2 i k 0

Laurant定理：设f(z)在圆环 R2<z-z0 < R1内单值解 析，则对圆环内的任意z点，f(z)可展开为
f ( z)
其中：
k
a (z z )
k 0
k

CR2 C R1
R1 z
1 f ( ) ak d k 1 2 i C ( z0 )
C为圆环内按逆时针方向饶
(k ) f ( k ) ( z ) wn ( z) n 1
n 1
第二节 幂级数
概念 形如 an ( z z0 ) n 的级数被称为以z0为中心
的幂级数，其中an是复变常数。
收敛性
ak ( z z 0 )
k 0 k

n 0
收敛半径的另一个公式
幂级数的性质
C
z0
1 f ( ) 1 f ( ) f ( z) d d 2 i C 'R1 z 2 i C 'R 2 z
1 f ( ) k 1 ( z z0 ) d k 1 C 2 i R1 ( z0 ) 2 i k 0

( z0 )l f ( )d l 1 C 'R 2 l 0 ( z z0 )
1 f ( ) f ( z ) ( z z0 ) d k 1 1 ( z ) CR 2 i k 0 0
k
1 1 ( z z0 ) f ( )d k 1 2 i C 'R 2 ( z0 ) k
k
1
f ( ) f ( ) CR 1 ( z0 )k 1 d C ( z0 )k 1 d f ( ) f ( ) CR 2 ( z0 )k 1 d C ( z0 )k 1 d

CR2
R1 z
R2
C R1
C
z0
1 1 1 1 z0 1 ( z z0 ) /( z0 ) z z0 ( z z0 )
z z0 1 ( z z0 ) k k 1 z0 k 0 z0 k 0 ( z0 )
n n n 0 n 0 n 0

z
0
cn ( z z0 ) dz cn ( z z0 ) dz
n z n n 0 n 0 0

cn ( z z0 ) n1 n 0 n 1

且逐项求导或逐项积分后的新级数与原级数具 有相同的收敛半径.
（1） 设幂级数 cn ( z z0 )n 的收敛半径为 R ，那么
n 0
(i)它的和函数 f ( z ) ，即
f ( z ) cn ( z z0 ) n
n 0
是收敛圆 z z0 R 内的解析函数. (ii)幂级数在其收敛圆内可逐项求导或逐项 积分，即
[ cn ( z z0 ) ] [cn ( z z0 ) ] ncn (z z0 ) n1 ,
l

CR2
R1 z
( z0 )l l 1 ( z z ) l 0 0

( z0 ) k 1 f ( )d k 1 2 i C 'R 2 k 0 ( z z0 )
1 f ( ) d C ' 2 i R 2 z
R2
C R1
k
l = -(k +1)
1
1 k 1 1 f ( ) f ( )d f ( z ) ( z z0 ) d ( z z0 ) k 1 k 1 C ' 1 ( z ) 2 i R 2 ( z0 ) 2 i CR k k 0 0

1 f ( ) ( l 1) 1 l ( z z0 ) d ( z z ) ( z ) f ( )d k 1 1 ( z ) 0 0 CR C ' 2 i 2 i k 0 0 l 0
k
R2
令 k = -(l+1)
n 0
第四节 解析延拓
回顾
taylor级数：设f(z)在以z0为圆 心的圆CR内解析，则对圆内的 任意z点，f(z)可展开为 其中：
f ( z ) ak ( z z 0 )
k 0
(k )

k
1 ak 2 i

C R1
f f ( ) d k 1 ( z0 )

收敛，
1、绝对收敛的级数各项先后次序可以 任意改变。
2、两个绝对收敛的复数项级数的和， 积，仍绝对收敛。
一、复变项级数

k 1

k
( z ) 1 ( z ) 2 ( z ) k ( z ) ,
的每一项都是复变函数。
实际上，对于 z 的一个确定值，复变项级数变成 一个复数项级数。
连续，则该级数在B内连续
n 1

级数 wn ( z ) 在曲线C上一致收敛，且
可积性
wn(z)在C上连续，则
C n 1 n
n 1
w ( z)dz w ( z)dz
n 1 C n

级数 wn ( z ) 在B内一致收敛f(z)，且
解析性
wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且
2
2
1

k
a (z z )
k 0

k
a1 a2 a3
2 3
正幂部分收敛半径为R1 负幂部分，记 =1/( z-z0 ),级数 的收敛圆半径为 1/R2 即在 z-z0 = R2圆外收敛圆
1 lim ak / a( k 1) R2 k
( z0 ) k!
CR1为圆CR内包含z且与CR 同心的圆
若存在奇点，就不能展开为taylor级数， 但可以展开为laurant级数
z
CR1 C R
§3.5 洛朗级数展开
考虑如下幂级数
a2 ( z z0 ) a1 ( z z0 ) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )
第三节 Taylor级数表示
幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数.而且
，任何一个解析函数都可以用幂级数来表示。这个问题不
但有理论意义，而且很有实用价值.
• Taylor定理
设函数 f(z)在以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于 圆内任一点z，函数f(z)可写成
f ( z ) ak ( z z 0 )
正幂部分
an ( z z 0 )
n 0

n
n a ( z z ) 负幂部分 n 0 n 1

1 z z0

R1 z0 R2 z0
|z-z0|<R1
R1
R2 z0
R2<|z-z0| 收敛环 R2<|z-z0|<R1
k
a (z z )
k 0

k
在圆环 R2<z-z0 < R1内绝对一致 收敛圆 ，如果 R2 R1 ，则级 数处处发散。
把ln(1 z)在 z 1 的圆域内展开为幂级数
【解】由于函数
1 在单位圆周 z 1 上有一个奇 2 (1 z )
点 z 1 ，而在 z 1 内处处解析，所以它在 z 1内可展开成 z 的幂级数.
1 1 n n ( 1) z 2 (1 z ) 1 z n 0 (1) n 1nz n 1 , z 1
级数是研究复变函数的重要工 具，我们将看到一个函数的解析性 与一个函数能否展为幂级数是等价 的.以此出发，我们又可发现解析函 数的一些重要性质，从而加深对解 析函数的了解和认识.
第三章 级数
• • • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 复数项级数 幂级数 Taylor级数表示 Laurent级数表示 孤立奇点的分类
复变项级数有一个定义域 B 。它的收敛的概 念应当是相对于这个定义域而言的。
收敛 复变项级数在其定义域 B 中每一点都收 敛，则称在 B 中收敛。
它满足柯西判据： 复数项级数收敛的充要条件是，在B上各点 z，对于一小正整数 ，必存在一 N(z)

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
使得 n>N(z) 时有
n p
k n 1
( z) ,
k
z z0 ( z z0 ) z0 z z0
对于C‘R1的积分
f ( ) d 2 i C 'R1 z 1

f ( ) f ( ) k 1 d ( z z0 ) d C ' k 1 R 1 2 i z 2 i C ( z0 ) k 0 1
如果极限
lim wk lim uk i lim vk 存在并有限
n k 1 n k 1 n k 1
n
n
n
则级数收敛，否则为发散 复数项级数收敛性归结为两个实数项级数的收敛性，因 此实数项级数的性质和规律均可移植到复数项级数中来