L
EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1且杆
将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EI L2
m
in
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
Pcr
2 EImin (L)2
(A) (Pcr )a (Pcr )b
(Pcr )c (Pcr )d
(C) (Pcr )a (Pcr )b
(Pcr )c (Pcr )d
(B) (Pcr )a (Pcr )b
(Pcr )c (Pcr )d
(D) (Pcr )a (Pcr )b (Pcr )c (Pcr )d
练习 图中四杆均为圆截面直杆,杆长相同,且均为轴向加载,比较其临
20.389200 (20.5)2
76
.8kN
§9–3欧拉公式的使用范围及经验公式 材料和直 径均相同
四根压杆是不是都会发生弹性屈曲？ 能不能应用欧拉公式计算四根压杆的临界载荷？
三类不同的压杆 细长杆—发生弹性屈曲 中长杆—发生弹塑性屈曲 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服破坏
一、 基本概念 1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
二、中小柔度杆的临界应力计算
1.直线型经验公式
①P<<S 时：
cr ab
crab s
s a b
s
sP 的杆为中柔度杆，其临 界应力用经验公式求。
②S< 时： cr s
cr
S
cr ab
③临界应力总图
P
2E
cr
2
粗短杆 中长杆
细长杆
Stability of Bars under compression
§9–1 压杆稳定性的概念 §9–2 细长压杆临界力的欧拉公式 §9–3欧拉公式的使用范围及经验公式 §9–4 压杆的稳定校核 §9–5 提高压杆稳定的措施
§9–1 压杆稳定性的概念
①强度
构件的承载能力： ②刚度
P
③稳定性
工程中有些构件具有足够的强度、 刚度，却不一定能安全可靠地工作。
翻斗车
脚手架
塔吊
高压输电线 路的铁塔
紧凑型超高压输电线路相间绝缘间隔棒
自动升降 工作台
一、平衡的类型： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3.稳定平衡和不稳定平衡临界平衡 随遇平衡
稳定性：构件保持原有平衡形态的能力 丧失稳定性称为屈曲
P
P
二、压杆失稳与临界压力 ：
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿 轴线作用。
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡.
3.临界压力.
保持稳定的最大载荷 丧失稳定的最小载荷
临界状态
稳
不
定 平
稳 定 平
衡
衡
临界压力: Pcr [Critical Force ]
§9–2 细长压杆临界力的欧拉公式
一、两端铰支压杆的临界力:
①根据约束情况，设一个合理的失稳模式 ②求任意截面上的弯矩弯矩：
M(x, y) Py
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线பைடு நூலகம்
形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pcr
2EI
l2
Pcr
2EI
(0.7l)
2
Pcr
边界条件为:
x0,yy0;xL,yy0
cM ,d0,kL2n 并 kLn
P
kL2n
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
所以，临界力为：
kL2
Pcr
4 2EI
L2
2EI
(L/2)2
= 0.5
例2 图示中心受压杆（a）（b）（c）（d）。其材料，长度及 截面都相同。两两对比，临界力的相互关系有四种答案 ：
c
r
Pcr A
2.细长压杆的临界应力：
cr
Pcr A
(
2EI L)2 A
2E (L/i)2
2E 2
即： cr
2E 2
i I ——惯性半径。 A
3.柔度：—影响压杆承载能力的综合指标
L ——杆的柔度（或长细比）
i
4.大柔度杆的分界：
cr
2E 2
P
2E P
P
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
例4 求下列细长压杆的临界力。
解：图(a)
P
P
I
m
in
5010 12
3
10
12
4.1710
9
m
4
10 30
z
y
Pcr (2I1ml )in2E
24.17200 (0.70.5)2
67
.14
kN
图(b)
L L
图(a)
(4545 6) 等边角钢
图(b)
IminI z 3.8910 8 m4
Pcr (2I2mli)n2E
2EI
(0.5l ) 2
Pcr (22lE) 2I
长度系数μ =1 0.7 =0.5 =2
Pcr
2
l
EI
2
=1
例1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临界力
公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
EIyM (x)PyM
令:k 2 P EI
EIyk 2 yk 2 M P
yccoskxdsinkx
s s a
b
P 2E
P
L
i
临界应力总图 细长杆—发生弹性屈曲 (p) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服破坏 (< s)
界力的大小.
例3 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2E L22
I
y
=0.7，
I
z
bh3 12
,
Pcrz
2EIz
(0.7L1)
2
③压杆的临界力 Pcr min( Pcry , Pcrz )
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
细长杆受压变弯
一端固定，一端铰支
一端固定，一端自由
支承对压杆临界载荷的影响
两端铰支
＝1.0
一端自由，一端 一端铰支，一端
固定 ＝2.0
固定 ＝0.7
两端固定
＝0.5
表 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
③挠曲线近似微分方程：
y M P y EI EI
令 k2 P EI
y k 2y 0
微分方程的解： y A sink x B cosk x
④利用边界条件确定积分常数： y(0) y(L) 0
即
:
A A
0 sink
B0 L B cos
k
L
0
0 sink L
1 0
cosk L
sinkL 0 k n P