v(x) d sin x
A
l
这里， d 是一个未定的量，即只要d l d
是一个小量，上式均成立。
这表明在线性弹性稳定性理论的范畴 内，受压直杆在临界压力处是一个随 B 遇平衡状态。
欧拉公式
在实际中，这种随遇平衡状态是 Pcr 不存在的，前面的分析之所以得到这 样的结论，其原因是我们采用了近似 A 的线性弹性稳定性理论。
个平衡态。
P
P
现假想有一微小的横向力Q同 时作用于直杆上，则在力P和Q作 Q 用下，直杆发生压缩和弯曲的耦合 变形。
P
压杆稳定性的概念
如果
撤去横向力Q后，杆的弯曲变形消失，直杆恢复 到其原来的直线平衡状态，则称直杆的直线平 衡态是稳定的平衡态。
撤去横向力Q后，杆的弯曲变形不能消失，杆的 轴线不能保持为一条曲线，则称直杆的直线平 衡态是不稳定的平衡态。
l
Pcr A ld B
欧拉公式 Pcr 至此，得到结论
对两端绞支的等截面细长中心受 A 压直杆，其临界压力为
Pcr
2 EI l2
ld
此式称为欧拉公式
临界压力Pcr下，直杆的失稳挠曲线为 B
v(x) d sin x
l
其形状为半个正弦波
欧拉公式
两端绞支的等截面细长中心受
Pcr
压直杆的失稳挠曲线为
围内，杆件的变形可分别由
杆件的压缩和弯曲变形叠加
而得到——组合变形
如果轴向压力逐渐增大，轴
P
向压力对杆件弯曲变形的影 w
响就不可忽略，并且，当轴
向压力达到某一特定值时，
杆件的变形极度增大，从而 导致受压杆件丧失承载能力
Pcr
P
压杆稳定性的概念
P
受压杆件的理想力学模型
考虑受轴向压力P作用的一
理想直杆，则其直线形态是一
杆的直线平衡态由稳定平衡转化为不稳定平衡 时所受的轴向压力称为临界压力，简称为临界 力。
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
d
可见，只有当P Pcr时， 压杆才可能存在轴线非直线的 平衡态，即直杆发生失稳，并
且，挠度d 与压力P之间存在一
对一关系，既不存在随意平衡 的状态
欧拉公式
中点挠度d 与压力P的
曲线在P=Pcr处的切线就是
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
由此可得
A 0, 或 sin kl 0
若
A0
则
v(x) 0
Pcr
x
A
v
Pcr
M(x)
l
m
x
B
y
欧拉公式
v(x) 0
Pcr
意味着直杆保持直线平衡状态，
不存在非直线的平衡态，即直杆
未发生失稳，显然无意义
A
x v
若
Pcr
sin kl 0
l
M(x)
m
得
kl n (n 1, 2,3,)
x
由此求得
M (x) Pcrv(x)
x
这里，压力Pcr取为正值，位移 B
y
v(x)以沿y轴正向为正。
欧拉公式
将弯曲M(x)代入梁弯曲的挠 曲线微分方程，得
Pcr
EI
d 2v dx2
M (x)
Pcrv( x)
令
k 2 Pcr
EI
x Av
Pcr
M(x) lm
则梁挠曲线微分方程变为
x
d 2v dx2
k
2v(
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
Pcr
2 EI l2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
绞），I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆的
B
y
Pcrn
n2 2EI
l2
(n 1, 2,3,)
欧拉公式
Pcrn中最小的值称为直杆的临界 压力，记为Pcr。即
2EI
Pcr
min 1n
Pcrn
Pcr1
l2
此时，直杆的挠曲线为
v(x) Asin x
l
若杆中点处的挠度为d ，利用条件
v( l ) d
2
得
v(x) d sin x
其它结构
柱壳受轴压作用
变形特点：突发性
稳定性问题
压杆稳定性的概念
细长压杆弯曲原因 ——这是由于在杆件的受压变形过
程中，往往伴随着杆件的弯曲变形， 因为
实际压杆的轴线存在着初始曲率 作用在杆件上的外力作用线一般也不
与杆件的轴线恰好重合 杆件的材料不可能达到理想的均匀性
压杆稳定性的概念
P
如果杆件的抗弯刚度比较大， 并且，轴向压力在一定的范
下面以两端绞支的细长中心受压直杆为例， 说明压杆临界压力的分析和计算方法
欧拉公式
变形前后问题
如图所示，考虑两端绞支， Pcr 长为l的等截面细长中心受压直杆，
设直杆在临界压力Pcr的作用下发 生失稳，产生微小弯曲。
x Av
Pcr
设杆件失稳后轴线的挠度为 v(x)，则任一横截面上的弯矩为 l
m
M(x)
压杆稳定问题
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的概念
现象
粗短压杆
塑性材料(Steel)
脆性材料（Iron）
压力增加
压力增加
强度问题
压杆稳定性的概念
强度满足情况下，变形不能过大 刚度问题
变形特点：连续性
压杆稳定性的概念
P
细长压杆 P<Pcr
P
内燃机挺杆
P
油缸中活塞杆ຫໍສະໝຸດ PP P>Pcr
P
压杆稳定性的概念
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
设细长中心受压直杆在临界力的作用下 处于不稳定平衡的直线形态，如果此时材 料仍处于理想的线弹性范围内，（即虎克 定理成立），则称细长中心受压直杆的稳 定性问题为线弹性稳定性问题
线弹性稳定性问题是结构稳定性问题分析 中最简单的一类，其中又以细长中心受压 直杆的稳定性问题为最基本的
x)
0
B
y
这是一个二阶线性齐次常微分方程
欧拉公式
方程 的通解为
d 2v dx2
k
2v(x)
0
v(x) Asin kx B coskx
其中，A、B和k为待定常数
利用边界条件
v(x) 0, x 0
得
B0
Pcr
x
A
v
Pcr
M(x)
l
m
x
B
y
欧拉公式
利用边界条件
v(x) 0, x l
得
Asin kl 0
更严格合理的分析需采用非线性 l 弹性稳定性理论。
梁弯曲挠曲线的精确微分方程
B
d P sin
ds EI
这里，q 为挠曲线上一点的切线与x 轴的夹角。
欧拉公式
求解上述非线性微分方程，可得挠曲线
中点挠度d 与压力P之间的近似关系
d 2 2l
P Pcr
11
1 2
P Pcr
1
其图形为
P
A
B
Pcr