【例3】图示内燃机的连杆为细长压杆.截面形状为工
字钢形，惯性矩Iz=6.5×10 4 mm4,Iy=3.8×10 4 mm4， 弹性模量E=2.1×10 5 MPa.试计算临界力Fcr.
边界条件表示一个关于a、 b、 R/F的齐次线性方程组
0 k sin kl
1 0 coskl
0l1
a
b R
F
0 0 0
tan kl kl kl 4.494
由 k2 F F k2 EI EI
4.494 2 l
EI
2 EI
(0.7l )2
其有非零解的充要条件是：
0
1l
Fcr
π2 EI (0.5l )2
Fcr
π2 EI (2l )2
欧拉公式 的统一形式
Fcr
π2 EI
(l )2
（
为压杆的长度因数）
长度因数 =1 = 0.7 = 0.5 =2
➢三、讨论
（1）相当长度 l 的物理意义
折算成两端铰支细长压杆的长度. （2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
案例2 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由 于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生 失稳破坏使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人.
案例3 2000年10月25日上午10时南 京电视台演播中心由于脚手架失稳 造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.
研究压杆稳定性问题尤为重要
➢四、平衡
2.弹性压杆的稳定性
F Fcr—稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
关键
确定压杆的临界力 Fcr
临界状态
稳 定 平 衡
对应的
过
度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: Fcr
➢五、稳定问题与强度问题的区别
压杆
强度问题
第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定的概念 §9-2 两端铰支细长压杆的临界力 §9-3 其他支座条件下细长压杆的临界力 §9-4 欧拉公式的适用范围 中小柔度压杆的临界应力 §9-5 压杆稳定计算 §9-6 提高压杆稳定性的措施
§9–1 压杆稳定的概念
➢一、引言
第二章中，轴向拉、压杆的强度条件
σmax
x l, w 0
由公式(c)
l
Asin 0 Bcos 0 0 B 0
m
m
w
A0 Asin kl 0
w
x B
sin kl 0
讨论：
若 A 0, w 0
则必须 sin kl 0 kl nπ(n 0,1,2,)
k2 F kl nπ(n 0,1,2,)
x
EI
F
F
n2
π2 l2
2 EI (l / 2)2
0.7l l
0.3l
2 EI Fcr (0.7l)2
Fcr
π2 EI
(l )2
l—相当长度 —长度因数
各种支承条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
临界力的欧拉公式
两端铰支 一端固定，另一端铰支
两端固定 一端固定，另一端自由
Fcr
π2 EI l2
Fcr
π2 EI (0.7l )2
EI
(n 0,1,2,)
令 n = 1, 得
Fcr
2 EI l2
l
m
m
w
这就是两端铰支等截面细长受压直
x
w
B
杆临界力的计算公式（欧拉公式）
【例1】试导出一端夹紧一端铰支压杆的欧拉公式.
（1）弯矩方程
M (x) R(l x) Fw
（2）挠曲线和转角方程
w l
w
x
Fx R
d2w d x2
M (x) EI
l
该截面的弯矩 M ( x) Fw
杆的挠曲线近似微分方程
y
EIw'' M ( x) Fw（a)
令 k2 F
EI
m
得 w'' k 2w 0
(b) w B
m
m
w
x
B
F M(x)=-Fw
m x
(b)式的通解为
w Asinkx Bcos kx (c)
（A、B为积分常数）
边界条件
x
F
x 0, w 0
k
0 1 0
sin kl coskl 0
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压
➢一、细长压杆的形式
两
一端
端
固定
铰
一端
支
铰支
两
一端
端
自由
固
一端
定
固定
➢二、其它支座条件下的欧拉公式
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
l
Fcr
2 EI l2
欧拉公式
l
2l
2 EI Fcr (2l)2
l/4
l/2 l l/4
Fcr
稳定问题
平衡状态 应力
平衡方程 极限承载能力
直线平衡状态不变
平衡形式发生变化
达到限值
小于限值
变形前的形状、尺寸 变形后的形状、尺寸
实验确定
理论分析计算
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
x
§9–2 两端铰支细长压杆的临界力
F
压杆任一 x 截面沿 w 方向的位移 w f ( x)
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），
则 I 应取最小的形心主惯性矩. 取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力. 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时
x y z
的临界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩.
即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力. 然
后取小的一个作为压杆的临界压力.
R(l EI
x)
Fw EI
令 k2 F 上式变为：
EI
d2w d x2
k
2
w
k
2
R(l F
x)
w a sin kx b coskx R (l x) F
w ak coskx bk sin kx R F
3）边界条件
w(0) b Rl 0 F
w(0) ak R 0 F
w(l) a sin kl b coskl 0
尺就突然发明显的弯曲变形,丧失了承载能力.
压杆失稳(屈曲) :细长压杆不能正常工作并非其强度不够， 而是不能保持其原有的直线平衡状态.
构件的承载能力
① 强度 ② 刚度 ③ 稳定性
工程中有些构 件具有足够的 强度、刚度,却 不一定能安全 可靠地工作.
➢二、工程实例
➢三、失稳破坏案例
案例1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏 （Theodore Cooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大 桥(Quebec Bridge)1907年8月29日，发生稳定性破坏， 85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一.
FN max A
[σ]
例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm
1 mm.钢的许用应力[]=196MPa.按强度条件计算得
钢板尺所能承受的轴向压力为 [F] = A[] = 3.92 kN
实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而
是与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板