第七章空间解析几何与向量代数§7.1向量及其线性运算必作题：P300---301：1，3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19. 必交题：1、求点(a,b,c)分别关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原点的对称点的坐标.解：（1）xoy面（a,b,-c）,yoz面（-a,b,c）,xoz面（a,-b,c）;(2）ox轴（a,-b,-c）,oy轴（-a,b,-c）,oz轴（-a,-b,c）;(2）关于原点（-a,-b,-c）。
2、坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征,指出下列各点的位置A(3,4,0),B(0,4,3),C(3,0,0),D(0,1,0).解：xoy面：z=0，yoz面：x=0，xoz面：y=0.ox轴：y=0,z=0，oy轴：x=0,z=0，oz轴：x=0,y=0，A在xoy面上，B在yoz面上，C在x轴上，D在y轴上。
3、在z轴上求与点A(4,1,7)和点B(3,5,2)等距离的点的坐标.解：设C（0，0，z），有|AC|=|BC|，解得：z=149 ，所求点为(0,0,149).4、设uab2c,va3bc,试用a,b,c表示2u3v.解：2u3v5a11b7c.5、已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2),求向量M1M2的模，方向余弦和方向角.解：M1M21,2,1，M1M22，方向余弦为c o s 12，cos22，cos12，方向角23，34，3.16、设向量a的模a2,方向余弦13cos0,cos,cos,22求a.x 解：设ax,y,z，则02 ，y122，y322，所以x0，y1，z3，a0,1,37、设有向量P1P2,P1P22,它与x轴、y轴的夹角分别为和，如果已34知P1(1,0,3),求P2的坐标.解：设P的坐标为(x,y,z)，P1P2x1,y,z3，2 x11cos232，所以x2；y2cos242，所以y2，又P P，所以122,212(z3)2，解得z2或z4，所以P2的坐标为(2,2,2)或者(2,2,4).8、求平行于向量a6,7,6的单位向量.解：a36493611，与a平行的单位向量为16,7,611 ，即为676,,111111，或者676,,111111.§7.2数量积向量积混合积必作题：P309--310：1，2，3，4，6，7，8，9. 必交题：1、已知向量a1,2,2与b2,3,垂直，向量c1,1,2与d2,2,平行，求和的值.解：ab，ab2620，22ab，11222u，u4.2、已知向量a2i3jk,b ij3k,ci2j,分别计算以下各式.⑴(ab）c(a c）b；⑵(ab)(bc)；⑶(a b)c.解：⑴(ab）c(ac）b8c8b8j24k⑵(a b)(bc)(3i4j4k)(2i3j3k)jk231(a b)c1132.⑶1203、已知OAi3k,OBj3k，求ABO的面积.解：OAOB3i3j kABO的面积119SOAOB.22§7.3曲面及其方程必作题：P318--319：1、2、5、6、7、8、9、10.必交题：1、一动点与两定点A2,3,1和B4,5,6等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设动点P(x,y,z)，因为PAPB，所以222222(x2)(y3)(z1)(x4)(y5)(z6)，解得动点的轨迹方程为632x2y5z. 22、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形.⑴yx1；⑵224xy；⑶221 xy；⑷22xy；⑸220 xy.解：⑴直线；平面⑵圆；援助面⑶双曲线；双曲柱面3⑷抛物线；抛物柱面⑸原点；Oz坐标轴3、说明下列旋转曲面是怎样形成的.⑴222xyz4991；⑵222(za)xy.解：⑴xOy坐标面上椭圆22xy491绕Ox轴旋转形成，或者xOz坐标面上椭圆22xz491绕Ox轴旋转形成。
（2）xOz坐标面上zax绕Oz轴旋转形成，或者yOz坐标面上zay绕Oz轴旋转形成.4、指出下列方程表示什么曲面⑴22xy9421z；⑵22zxy349；⑶222xyz；⑷2224xyz.解：⑴椭球面⑵椭圆抛物面⑶圆锥面⑷旋转双叶双曲面.5、建立单叶双曲面222xyz16451 与平面x2z30的交线关于xoy面的投影柱面与投影曲线方程. 解：将曲面与平面方程联立，消去变量z得到投影柱面22(3)2xyx164201，22(3)2xyx164201投影曲线为.z06、画出下列各曲面所围立体图形.⑴22zxy，z1；⑵22z6xy，z0；4⑶22z2xy，22zxy.解：略§7.4空间曲线及其方程必作题：P324--325：3，4，5，6，7，8. 必交题：1、下列方程组各表示什么曲线？y5x1 y2x3 ；⑵22xy49z13⑴；⑶2426xyzz1；⑷22480yzxy4；⑸222xyz36.222(x1)(y2)(z1)25解：⑴直线⑵椭圆⑶双曲线（4）抛物线⑸圆2、求由上半球面222zaxy，柱面220xyax及平面z0所围立体在xoy坐标面和xoz坐标面的投影.解：在xOy平面投影2 aa22(x)y，z024在xOz平面投影22 zax，y0，x01、将曲线的一般方程2229xyz化为参数方程.yx3 xcost2解：3ycost2z3sint，0t2§7.5平面及其方程5必作题：P329---330：2，4，6，7，8.必交题：1、求满足下面条件的平面方程⑴过点3,0,1且与向量a3,7,5垂直;⑵过点1,0,1且与二向量a2,1,1，b1,1,0平行;⑶过点5,7,4且在三坐标轴上的截距相等且不为零;⑷过z轴，且与平面2xy5z0的夹角为.3解：⑴3(x3)7y5(z1)0，即3x7y5z4ijk⑵ab211ij3k，所以(x1)y3(z1)0，即110xy3z4⑶设平面方程为xyza，过点5,7,4，所以a2，即xyz2⑷设平面方程为AxBy0，cos2A B32210AB，解得A3B或B3A，所以方程为3BxBy0，即3xy0，或者Ax3Ay0，即x3y0.2、求两平行平面1:xyz10与2:2x2y2z30之间的距离.解：在1上任取一点(0,0,1)，距离2353d.6444§7.6空间直线及其方程必作题：P335---336：1、2、3、4、7、8、11、13、15、16.6必交题1、求过点(0,2,4)且与两平面1:x2z1和2:y3z2平行的直线方程.解：方向向量s1,0,20,1,32,3,1以直线方程为x y2z42312、求直线L : x y3z0xyz0和平面:xyz10间的夹角.解：s1,1,31,1,12,4,2，n1,1,1242sin04164111，所以03、求点P(3,1,2)到直线xyz102xyz40的距离. 解：s1,1,12,1,10,3,3在直线上任取一点M(1,0,2)，PM2,1,0，PMs3,6,6距离d P Mss322第七章总复习必作题:P337---338:总习题七.必交题:第七章模拟检测题1、填空题(1)设2a5b与ab垂直，2a3b与a5b垂直，则(a,b)=.2或33(2)已知a(2,2,1),b(8,4,1)，则a在b的投影为；7与a同方向的单位向量为；b的方向余弦为.1；221,,333；cos89，cos49，cos19(3)空间曲线22zxy22z2(x y)在xOy面上的投影曲线的方程为.221xyz0 x1y1tz2t及x1y2z1121(4)与两直线都平行且过原点的平面方程为.xyz0(5)点P(3,5,7)关于平面2x6y3z420的对称点的坐为.9713109(,,)4949491、选择题(1)设ab3，ab(1,1,1)，则向量a与b的夹角为（D）;A．B．C．D．2346(2)设两直线L1：x1yz1112 ，L2：x y1z2134，则此两条直线（A）;A．异面B．相交C．平行D．重合(3)通过x轴且垂直于平面5x4y2z30的平面方程为（B）;A．z2y0B.y2z0C．x2z0D．z2x0(4)平面2x4y3z30与平面xy2z90的夹角为（D）;A．B．C．D．64328(5)点M(1,1,0)到直线L :2y3z30xy0的距离为（B）.A．34011 B．34111C．34211D．343113、计算题(1)求点A（-1，2，0）在平面x2y z10上的投影.解：垂涎方程为x1y2z121 ，令x1y2z121t代入平面方程解得522(,,)3332t，所以35x，32y，32z，即投影为3(2)设平面过点（0，1，3），且平行于直线x1y2z1211，又垂直于已知平面xy2z10，求此平面方程.解：法线向量n2,1,11,1,21,5,3，所求平面方程为(x0)5(y1)3(z3)0，即x5y3z14(3)求直线x1y3z231绕z轴旋转一周所成曲面方程.解：s2,3,1，cot11 4913曲面方程为22z(x1)(y3)cot，即22213z(x1)(y3)(4)求以点A（3，2，1）为球心，且与平面x2y3z18相切的球面方程.9解：点A到平面的距离34318 dr14，149球面方程为222(x3)(y2)(z1)14.(5)求空间曲线xz22xy1在三个坐标面上的投影曲线方程.1解：在xOy平面的投影221xy，在y O z平面的投影z022(z1)y1x0在xOz平面的投影x zy 01.4、证明题(1)证明向量ai3j2k,b2i3j4k,c3i12j6共k 面.132(ab)c2340，所以三个向量共面.证明：3126或者c5ab，三个向量线性相关，所以共面.(2)已知两直线方程为x2y2z3 L:，1112x1y1z1L:，证明直线L1与L2相交. 2121证明：直线x1y1z1L:过点(1,1,1)，而该点满足2121x2y2z3 L:的方程：1112 121213112，且1,1,21,2,10，所以两直线不平行，也就不重合，故两直线相交.10。