1.1) 在边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在两个点，其距离不大于1/3证：如图所示：在三角形的边上加两个点等分每条边，把大三角形分别9个边长为1/3的小三角形。

由鸽巣原理：10个点中一定存在两个点落于同一个小三角形，其距离不大于1/3。

2)在边长为1的三角形内放mn个点，则把三角形分割成n-1 个小三角形。

由鸽巣原理可知：mn个点必有两点落于同一个小三角形内，则其距离不大于1/n.2.证：a，a2 ..............................a m m 个数，i=1,2 …..m.设a^ m i q r i 0<o仝m-1当r i=0时，存在一个整数可以被m整除。

当「从1…..m-1这m-1个中取值，那么m个°中只有m-1种可能，则鸽巣原理可知：必存在j和k，使得rr rk,j>k,即有a^a^m(q<q k)3证：•. •有理数可由整数和分数组成。

二当为整数时，存在以0为循环的循环小数。

•••当为分数时，若分数是有限的循环小数，则存在以0为循环的循环小数。

二若分数是无限循环的循环小数，则肯定存在某一位后以某一位为循环的循环小数。

4.证:设全部由7组成的N+1个数，7, 77, 777,……,7777。

77（N+1 个7）存在整数N，由7组成的数除以N，以ai代表N+1中的数。

即a i=Nq+「i0< ri< N-1则存在0….N-1这n个数，则鸽巣原理可知：必定存在两个数a i,a k使得a^a^N(q r q k)是N的倍数组合数学第2次作业2. 5⑴证明在任意选取的n+1个正整数中存在着两个正整数，其差能被n整除。

解：设任意n+i正整数a1, a2， ....... a n七，任意取两个整数的差为s = a^ a j，i>j.差除以n的余数为。

••• 0w w n-1I i I i如果存在i，使得|i=0.则a^a j可以被n整除，对所有i，i=1,2。

n都有| i丰0则这n个i中只能取1,2. oooon-1。

这n-1种情况。

由鸽巢原理可知，必存在i和j使得r=r，I j r | ‘i>j，则有s k=a i_a j可以被n整除。

⑵证明在任意选取的n+2个正整数中存在着两个正整数，其差能被2n整除或者其和能被2n整除。

解：设任意n+2正整数g i,g2, ................... a*半，任意取两个整数的差为s=a”a j‘>j.差除以2n的余数为r i。

0W「三2n-1如果存在i，使得「=0.则a^a j可以被n整除，对所有i, i=1,2。

2n都有「丰0 则这2nr j - r i, i>j，则有个i中只能取1,2.ooo o n-1。

这2n-1种情况。

由鸽巢原理可知，必存在i和j使得s=a i- a j可以被2n整除。

2.6某学生有37天的时间准备时间考试，根据她过去的经验至多需要复习60个小时，但每天至少要复习1小时。

证明无论怎样安排都存在连续的若干天，使得她在这些天里恰好复习了13小时。

设a是从第1天到第i天复习的总小时，i=1,2,。

37.至多复习60个小时。

••• 1< a i 勺2 成°。

<a37 三6°。

做序列：a 13£2 13……a37 13这个序列也是严格单调上升的，且有a37+13w 60+13。

考察下面的序列：a i，a2，.….a37, a i 13,a2 13,……a37 13该序列有84个数，每个数都是小于等于73的正整数，由鸽巢原理可知，必存在i和j使得a j二a j 13(i>j)•令n=i-j,该学生在第j+1,j+2,…..j+n=i的连续n天中复习了13个小时。

(P34)3.7把q个负号和p个正号排在一条直线上，使得没有两个负号相邻，证明不同的排法有C (p+1, q)种。

证：先把p个正号排在一条直线上，那么就有p+1个间隔，那就可以把q个负号插进这p+1个位置，则就知道其不同的排法有C(p+1,q) 种。

3.8（1）从整数1,2，、、、、、、，100 中选出两个数，使得他们的差正好是7，有多少种不同的选法。

解：从整数1,2，、、、、、、，100 中选出两个数，使得他们的差正好是7 的两个数有 1 和8, 2和9, 3 和10, 4 和11，、、、、、、、、93和100，，则一共有93 种选法。

（2）如果选出的两个数之差小于等于7，又有多少种选法？解：如果选一个数为 1 的话，那另一个数就可以是2,3,4,5,6,7,8 有7 种如果选一个数为 2 的话，那另一个数就可以是3,4,5,6,7,8,9 有7 种、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、如果选一个数是93的话，有94,95,96,97,98,99,100，也是7 种选94，那就有95,96,97,98,99,100 6 种选95，那就有96,97,98,99,100 5 种选96，那就有97,98,99,100 4 种选97，那就有98,99,100 3 种选98，那就有99,100 2 种选99，那就有100 1 种那把上面所有的选法加起来得：93X 7+6+5+4+3+2+仁672则从整数1,2，、、、、、、，100中选出的两个数之差小于等于7有672 种选法。

3.20从整数1,2、、、、，1000中选取三个数使得它们的和正好被4 整除，问有多少种选法。

解：将1,2、、、、1000 都除以4，A、余数为0 的有4,8,12,16,、、、、、1000, 250个B、余数为1 的有1, 5,9,13,、、、、997, 250 个C、余数为2 的有2,6,10,14,、、、、、998, 250 个D、余数为3 的有3,7,11,15,、、、、、9999, 250个然后再从A,B,C,D 中选取三个数可被4整除：在 A 中取三个数,则有C(250, 3)在A,B,D 中各取一个数,则有【C(250,1)】3在 A 中取一个,在 C 中取两个；在 B 中取两个和在 C 中取一个；在 C 中取一个,再在 D 中取两个,则有3C(250, 2)C(250, 1) 所以总选法是 C (250,3) +【C (250,1)1 3+3C (250,2) -C (250,1)3.32设S={n1 - a1, n? ................... •a?, , n k •比}，问S的大小不同的各种组合的总数是多少？解：当K=1 时，S1={n1 - a1}, S1 的组合为?, {a1}, {2 - a1},……, {n1 -印}，有m+1 个.当k=2时，S2={n 1 - a1, n2 • a：}，显然S的组合都是S：的组合，如果对S1的组合加入a：,就可以构成S2的含a2的组合。

S1的组合有小+1个，对其中的每一个组合加入a2的方法有匕种，由乘法法则，S2中含a2的组合有(n1+1) g个。

所以S2的组合有(n什1) + ( n什1)化二(E+1)仏+1)个。

由归纳法不难证明S={n1 • a1, n2 - a2, ... , m - a k}的各种组合的总数是(n 1+1) - (n2+1) .... (n k+1).n __ k k(2)、对任意的实数r 求和瓦C n 「k =0 nk k用任意的实数r 求和瓦cn rk =04.7、、丄 ・ kk 4万法一 ：I kC n =nCn41 小2 小 3n」nC n2Cn3。

厂……(T)12n _1 n=nC n 厂 n C n4 n C n4 -……(T)"612n 4 n=n[C n4_C n4G 厂……(- 1) Cn ]knd 乂P62 4.3 解: (1 )、 18 18 k 18 _k k(3x-2y) ；S(3x)(-2y)513•.•要取x y 的系数，贝U k=13.13x y 的系数为： 8913513S3 (-2)kn k 1(2)T 要取X y 的系数，且C n 二[C n 」181818 k 」_,17 1••• (3x -2y)」匸S(3x)「2y)k 占％4.4 解: 则只能取 8k=10,取x 9y 的系数为:18989亦63 (-2)由二项式定理得: n门)、3 =(1 + 2)n=11kT k kC n 2实数r 的和(1 r)「C nrk =0解:又••• C n 厂C nV0 1 2 二:[Cm CmC ：J -=0：： k k ： kk k万法一:;(1-x)八 C ：(—x)八 C ：(—1) xk =0k =0由两边同时微分得：n -1 : k k kAn(1-x)弋C ：(—1)X令x=1时：左边=0，右边=辽C ：(—1)kk =1 乂由二项式定理得：”、：；k k(1+x)=乞 C ：x两边同时积分得：2n 1 n 1 ，： 1右边=7 C k—— (-1)o C ：k 1( 1可证!-1:八 k =1k1C ：k -1k 1(T )一1:=11k Tk1k 1CRT)(1)C ：]123而又一 C^2C ： 3C ：1 n _ k (- 1) : C ：= k C ：C 1)1 23••• c _23C :C:C:4.16：」:(一1) :C ：=0可证!1：卫x):八k =0k1 k 1C：k 1 x令x=-1时：左边=k ・11) -144.22用多项式定理展开(X 1 • X 2 • X 3)4n门 门 门解：(x 「X 2 X 3)八(亠 J x iX 22n33，n in2 n••• n 1, n 2，n 3的取法有：004的3种，112的3种，220的3种和130的6种。

、[/ '^44，Z4 X； 4'^ 44 4 4 4当nv n 2,n 3为 004 时：有X *I + !X 2 +X 3 = X 〔* X 2 * X 3【I 1 II 2II 3i400,X l(040丿X 2i004,X3入1 入2 入3当n i，n 2，n 3为112时：有= 12X 1X 2X ； 12X 1X 2X3 12X 1X 2X 3经计算得:4(X 1 X 2 X 3)44 44“ 2 2222222 =X 1X 2X 3+12(X 1X 2X 3+X 1X 2X 3+ 为 X 2X 3) +6 (X ?X 3为 X ?为3 3 3 33 3+4(X 2X 3X 1X 2X 1X 3X 2X1X 3X 1X 3X 2)5.1在1和10000之间不能被4，5，6整除的数有多少个？ 解：令P i, P2, P 3,分别表示一个整数能被 4,5,6整除的性质.设S={x|x 是整数?1令W 0000} Ai ={x|x € S?x 具有性质 P i }, i=1,2,3.则：|A i|=【10000 / 4] =2500|A 2|=【10000 / 5] =2000 |A 3|=【10000 / 6] =1666 |A1P A 2|=【10000 /(4, 5)】= =【10000 / 20] =500J122 (X 1X 2X3)+J212(X 1X 2X3)+012(X 1X 2X 3)3|= 【10000 / ((4, 6)】= =【10000/12]=833 |知“吐“3| = 【10000 / ((5, 6)】= =【10000/30]=333內“2“3|=【10000 / (4, 5, 6)】=【10000 / 60] =166 由定理得：| A i Q A2 Q A3|=10000 - (2500+2000+1666) + (500+833+333) -166 =5334 5.4 确定S={ a a, 3 b, 5 c,7 d }的10 -组合数.解：令T={ a a, a b, a c, a d }, T的所有10-组合构成集合W.则由定理3.7得F 4+10/ i 门3 \ / 13 x|W|= 10 - 10 - 3 =286任取T的一个10-组合，如果其中b多于3个则称它具有性质P1，如果其中c多于5个则称它具有性质P2，如果其中d多于7个则称它具有性质P3.不难看出所求的10-组合数就是W中不具性质P1，P2，P3的元素个数.令A i={x|x € W?x 具有性质P i }, i=1,2,3.|A1|= 4"T = 6 = 3 =84|A2|= 4 "T = 4 = 3 = 35；2T = 5 =10|A3|=f4^0T \|A1 Q A2|= o =1|A1 Q A3|=0 |A2 Q A3|=0 |A b Q A c Q A d|=0由定理得：| A i A A 2 n A 31=286-(84+35+10)=1585.5 1)确定方程X I+X2+X3=14的不超过8的非负整数解的个数.解：方程不超过8的非负整数解，则0函詬，0$2电0$3詬.|S|= 3严=14 二26M20|A1|= 3“ = 5 = 2 =21|A2|=21 |A3|=21|A1 n A2|=0 |A1 n A3|=0 |A2n A3|=0|A1 n A2n A3|=0由定理得：| A 1n A 2n A 3|=120 -21*3=572)确定方程X1+X2+X3=14的不超过8的正整数解的个数.解：方程不超过8的正整数解，则1$1詬，1$2詣，1$3詬.相当于取值为001筍，002勺,0 $3詔,x1+x2+x3=11|S|= 3严=11 = =78|A1|= 33T = 3 = 2 =10|A2|=10 |A3|=10|A1 n A2|=0 |A1 n A3|=0 |A2n A3|=0|A1 n A2n A3|=0由定理得：| A b n A c n A d|=78-10*3=48P865.7求集合｛1,2,…，n｝的排列数，使得在排列中正好有k个整数在它们的自然位置上(所谓自然位置就是整数 i 排在第i 位上)解：由题意可知，从 n 个数中取n-k 个数后，再将n-k 个数 错位排列，贝U 所求的排列数是：11 1 D — (n- k)!(^ --(-旷-)1! 2!(n - k)!5.8定义D o =1，用组合分析的方法证明 证：n !是对｛ 1,2…….,n ｝进行全排列，n D 「； D 「2 D 2 111 n D。