2012-2013年下学期期中模拟试题（高二数学理科选修2-2部分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、曲线2x y =在(1,1)处的切线方程是（）A 230x y ++=B 032=--y xC 210x y ++= D.012=--y x2、定义运算a b ad bc c d=- ，则符合条件1142i iz z -=+ 的复数z 为（ ）Ａ．3i - Ｂ．13i + Ｃ．3i + Ｄ．13i -3、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（） A ． 假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 4.观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431⨯+=，…，猜想第*()n n ∈N 个等式应为（ ） Ａ．9(1)109n n n ++=+Ｂ．9(1)109n n n -+=- Ｃ．9(1)101n n n +-=-Ｄ．9(1)(1)1010n n n -+-=-5、曲线3πcos 02y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为（ ）Ａ．4Ｂ．2 Ｃ．52Ｄ．36、平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值2a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）Ａ．3aa7、若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h →+--=（）A ．3-B ．12-C ．9-D ．6- 8、复数z=534+i,则z 是（） A ．25 B ．5 C ．1 D ．7考号姓名班级学校线封密9、一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）．令()P n 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记(0)0P =，则下列结论中错误的是（ ）Ａ．(3)3P =Ｂ．(5)1P =Ｃ．(2007)(2006)P P >Ｄ．(2003)(2006)P P < 10、如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数13(,)x x 24(,)x x 46(,)x x 56(,)x x 、设*211111()()123S n n n n n n n=+++++∈+++N ，当2n =时，(2)S =（ ）Ａ．12Ｂ．1123+Ｃ．111234++ Ｄ．11112345+++12、如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为（） (A)(B)(C)(D)13.曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为（）（A ）38（B ）37（C ）35（D ）3414.已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（）（A ）e 1（B ）e 1-（C ）e 2（D ）e2-15.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确16.在复平面内,复数1+i 与31+i 分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,AB =（）22104某个命题与正整数有关，若当)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得()(A)当6=n 时，该命题不成立(B)当6=n 时，该命题成立 (C)当4=n 时，该命题成立(D)当4=n 时，该命题不成立18.若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－)x ＋上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．[0，)B ．[0，)∪[，π)C ．[，π)D ．[0，)∪(，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 19、=---⎰dx x x )2)1(1(10220、设1Z =i 4+i 5+i 6+…+i 12,2Z =i 4·i 5·i 6·…·i 12，则Z 1，2Z 关系为21．已知32()3f x x x a =++（a 为常数），在[33]-，上有最小值3，那么在[33]-，上()f x 的最大值是22．函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax 在区间内单调递减，则a 的取值范围是________． 三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23、（本小题10分）20()(28)(0)xF x t t dt x =+->⎰．（1）求()F x 的单调区间；（2）求函数()F x 在[13]，上的最值．24．（本小题10分）设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．（1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值． 25、（本小题10分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。

房间定价多少时，宾馆利润最大？ 26、（本小题10分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1） 计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2） 猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．答题卷（满分：150分；时间：120分钟） 一、选择题（每题5分，共60分）13、14、 15、 16、三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）13、14-14、1Z =2Z 15、5716、91 17、（本小题10分）已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标原点，OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z ． 解：设i()z x y x y =+∈R ，．由OA BC ∥，OC AB =，得OA BC k k =，C B A z z z =-，即2612y x -⎧=⎪+=， OA BC ≠，3x ∴=-，4y =舍去． 5z ∴=-．18、（本小题12分）20()(28)(0)xF x t t dt x =+->⎰．（1）求()F x 的单调区间；（2）求函数()F x 在[13]，上的最值．解：依题意得，232320011()(28)8833xx F x t t dt t t t x x x ⎛⎫=+-=+-=+- ⎪⎝⎭⎰，定义域是(0)+∞，．（1）2()28F x x x '=+-, 令()0F x '>，得2x >或4x <-， 令()0F x '<，得42x -<<， 由于定义域是(0)+∞，，∴函数的单调增区间是(2)+∞，，单调递减区间是(02)，．（2）令()0F x '=，得2(4)x x ==-舍， 由于20(1)3F =-，28(2)3F =-，(3)6F =-， ()F x ∴在[13]，上的最大值是(3)6F =-，最小值是28(2)3F =-． 19．（本小题12分）设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．（1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 则()2f x ax b '=+．由已知()22f x x '=+，得1a =，2b =．2()2f x x x c ∴=++．又方程220x x c ++=有两个相等的实数根，440c ∴∆=-=，即1c =． 故2()21f x x x =++；（2）依题意，得0221(21)(21)ttx x dx x x dx ---++=++⎰⎰，3232011133ttx x x x x x ---⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得3226610t t t -+-=，即32(1)10t -+=，1t ∴= 20、（本小题12分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。

房间定价多少时，宾馆利润最大？ 解：设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润)(x L =)20)(1018050(---x x =.680180,1360701012<<-+-x x x 令,07051)('=+-=x x L 解得350=x .当)350,180(∈x 时，,0)('>x L 当)680,180(∈x 时0)('<x L因此,350=x 时是函数)(x L 的极大值点,也是最大值点.所以,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大 21、（本小题满分12分） 证明：要证b a ab b a +≥+，只需证)(b a ab b b a a +≥+ 即证)())((b a ab b a ab b a +≥+-+ 即证ab ab b a ≥-+即证ab b a 2≥+，即0)(2≥-b a 该式显然成立，所以b a ab b a +≥+22、（本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解：（1）依题设可得111212a ==⨯，211623a ==⨯，3111234a ==⨯，4112045a ==⨯；（2）猜想：1(1)n a n n =+．证明：①当1n =时，猜想显然成立． ②假设*()n k k =∈N 时，猜想成立， 即1(1)k a k k =+．那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+， 即111(1)k k k S a k a +++=-+． 又11k k kS ka k =-=+， 所以111(1)1k k ka k a k +++=-++， 从而111(1)(2)(1)[(1)1]k a k k k k +==+++++．即1n k =+时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．。