2005年中国大学生数学建模竞赛的A题：“长江水质的 评价和预测”问题的第一部份给出了17个观测站（城市）的 最近28个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的 最主要的四项指标：溶解氧（DO）、高锰酸盐指数（CODMn） 、氨氮(NH3-N) 和PH值，要求综合这四种污染指标的28个月 的检测数据对17个城市的水质情况做出综合评价。
由
wi ( a ) 0.9(1 i m )
(i ) K
，
确定。
2.2 动态加权函数的设定
（3）S 型分布函数 如果某项指标xi 对于综合评价效果的影响大约是随着类别
pk ( k 1, 2,
, K ) 的增加而增加的过程，呈一条“S”曲线，那么，
此时对指标xi 的变权函数可以设定为 S 型分布函数。即
2.2 动态加权函数的设定
（2）偏大型正态分布函数 如 果 某 项 指 标xi 对 于 综 合 评 价 效 果 的 影 响 大 约 是 随 着 类 别
pk ( k 1, 2,
, K ) 的增加，先是缓慢增加，中间有一个快速增长的过程，
随后平缓增加趋于最大，相应的图形呈正态分布曲线（左侧）形状。那么， 此时对指标xi 的变权函数可以设定为偏大型正态分布函数。即
2. 动态加权综合评价的一般方法
2.3 综合评价模型的构建
xi 根据标准化后的各评价指标值，不妨仍用
权函数 wi ( x )(i 1, 2,
表示，以及相应的动态 个被评价对象做
n , m) ， 建立综合评价模型来对
出综合评价。在此，取综合评价模型为各评价指标的动态加权和，即
属性 属于第 类 。也就是对于每一个属性而言，既有不
同类别的差异，同类别的又有不同量值的差异。对于这种既有“质差” ， 又有“量差”的问题，如果用通常的定常权综合评价法做综合评价显然是 不合理的，然而合理有效的方法是动态加权综合评价方法。
四、动态加权综合评价方法
2. 动态加权综合评价的一般方法
根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则， 解决问题的主要过程分三步完成： •将各评价指标作标准化处理； •根据各属性的特性构造动态加权函数； •构建问题的综合评价模型，并做出评价。 实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型 的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同 的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理， 即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准 化指标。
综合评价方法及其应用
四、动态加权综合评价方法
1. 动态加权综合评价问题的提法
在以上综合加权评价方法中，关于权值w j ( j 1, 2,
, m)
都是属于定常权，即权值均为常数。虽然这种方法简单易行， 对某些较简单的实际问题也是可行的，但是主观性强、科学性 差，有些时候不能很好地为决策提供有效的依据。
其中参数
当 x i时, 0 , 2 x i wi ( x) i , 当 x i时, 1 e i [a1( i ) , b1( i ) )
可取
定值，在此不妨取
i
i (b a1( i ) ) / 2
(i ) 1
中的某
2.2 动态加权函数的设定
（1） 分段变幂函数 xi 对于综合评价效果的影响大约是 如果某项评价指标 随着类别 pk ( k 1, 2,
, K ) 的增加而按正幂次增加，同时
在某一类中随着指标值的增加按相应的一个幂函数增加， 则对指标xi 可以设定分段 幂函数为变权函数。即
(i ) wi ( x) x , x [ ak , bk( i ) ] ， (k 1, 2, , K ) 其中1 i m 。 1 k
动态加权综合评价问题的一般提法：
n 个被评价对象（或系统） 现设有 ，分别记为S1 , S2 ,
个系统都有m 属性（或评价指标） ，分别记为x1 , x2 ,
, Sn (n 1) ，每 , xm ( m 1) ，对于
K 个等级，记为 p1 , p2 , 每一个属性xi 都可以分为
, p K ( K 1) 。而对 (i ) (i ) p [ a , b 于每一个等级 k 都包含一个区间范围，记为 k k ) ，且 ak( i ) bk( i ) (i 1, 2, , m; k 1, 2, , K ) ，即当属性 xi [ ak( i ) , bk( i ) ) 时，则 xi pk (1 k K ) k
四、动态加权综合评价方法
1. 动态加权综合评价问题的提法 根据国标（GB 3838—2002）的规定，关于地表水的水 质可分为Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类共六个类 别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间）， 只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所 以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水 在污染物的含量上也有一定的差别。 在对17个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指 标值不同类别水的“质的差异”和同类别水的“量的差异 ”,在此简称为“质差”和“量差”。因此，这是一个较复 杂的多因素多属性的综合评价问题。
四、动态加权综合评价方法
2. 动态ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ权综合评价的一般方法
2.2 动态加权函数的设定
考虑到评价指标的“质差”与“量差”的关系， 在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标 之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。 根据实际问题具体取什么样的动态加权函数， 主要是从实际问题出发分析确定。 对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以 取不同的权函数。
x a (i ) 2 2 ( i ) 1 ( i ) , a1( i ) x c , b a1 wi ( x ) K 2 (i ) 1 2 x bK , c x b ( i ) , (i ) K (i ) b a K 1 1 (i ) (i ) c (a1 bK ), 且wi (c) 0.5 。 其中参数 2 (1 i m)