.WORD 格式整理 ..高中数学《立体几何》大题及答案解析( 理)1.（ 2009 全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD底面ABCD，AD 2 ，DC SD 2 ，点 M 在侧棱 SC 上，∠ABM=60。

（I ）证明：M是侧棱SC的中点；求二面角 S AM B 的大小。

2.（ 2009 全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A 1B1C1中， AB ⊥ AC,D 、E 分别为 AA 1、 B1C 的中点，DE ⊥平面 BCC 1（Ⅰ）证明： AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为 60°,求 B 1C 与平面 BCD 所成的角的大小A 1C1 B1D EAC B3. （ 2009浙江卷）如图， DC平面 ABC， EB//DC ， AC BC EB 2DC 2，ACB120 ， P,Q 分别为 AE , AB 的中点．（I）证明： PQ / / 平面ACD；（II）求AD与平面 ABE 所成角的正弦值．.WORD 格式整理 ..4.（ 2009 北京卷）如图，四棱锥P ABCD 的底面是正方形，PD 底面ABCD ，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC平面PD B；（Ⅱ）当 PD2AB 且E为PB的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.5.（ 2009 江西卷）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面ABCD，PA AD 4 ， AB 2 ．以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交PD于点 M ．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离．PMA DOBC6（. 2009 四川卷）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ ABE是等腰直角三角形，AB AE, FA FE, AEF45 （I）求证： EF平面 BCE ；（ II）设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M ，求证： PM ∥平面BCE （ III）求二面角 F BD A 的大小。

.WORD 格式整理 ..7.（ 2009 湖北卷文）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面 ABCD,SD＝ AD＝ a, 点 E 是SD上的点，且DE＝a(0<≦ 1).( Ⅰ ) 求证：对任意的（0、1），都有AC⊥ BE:( Ⅱ ) 若二面角C-AE-D 的大小为600C，求的值。

8（. 2009 湖南卷）如图 3，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB =4,AA17 ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DE A1E.（Ⅰ）证明：平面A1 DE平面ACC1A1;（Ⅱ）求直线AD和平面 A1 DE 所成角的正弦值。

9（. 2009 四川卷）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ ABE 是等腰直角三角形，AB AE, FA FE , AEF 45（ I ）求证：EF平面BCE；（II ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证： PM ∥平面BCE（III ）求二面角F BD A的大小。

10. （ 2009 重庆卷文）如题（18 ）图，在五面体ABCDEF 中， AB ∥ DC ，BAD，2 CD AD 2 ，四边形 ABFE 为平行四边形，FA平面ABCD，FC3, ED7 ．求：（Ⅰ）直线AB 到平面 EFCD 的距离；（Ⅱ）二面角 F AD E 的平面角的正切值．11．如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠ DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD⊥底面ABCD ．(1)证明： PA⊥ BD；(2)设 PD ＝ AD，求二面角 A－ PB－ C 的余弦值．12（本小题满分12 分）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC BD ，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明： PE BC（ 2）若APB=ADB=60 °，求直线PA 与平面 PEH 所成角的正弦值参考答案1、【解析】（ I ）解法一：作MN ∥ SD 交 CD 于N，作 NE AB 交 AB 于E，连 ME、NB，则MN面ABCD，ME AB,NE AD2设 MN x ，则 NC EB x ,在 RT MEB 中，MBE 60ME3x 。

在 RT MNE 中由ME2NE 2MN 23x2x221 SD M 为侧棱SC的中点 M.解得 x 1 ，从而 MN2解法二 :过M作CD的平行线 .（II ）分析一:利用三垂线定理求解。

在新教材中弱化了三垂线定理。

这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过M作MJ∥CD交SD于J,作SH AJ交AJ于H,作HK AM 交AM 于K,则JM ∥CD,JM面 SAD,面 SAD 面 MBA , SH 面 AMB SKH 即为所求二面角的补角 .法二：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点 B 作 BF AM交AM于点F，则点 F 为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证 GF AM ，则GFB 即为所求二面角.解法二、分别以 DA 、 DC 、 DS 为 x 、 y 、 z 轴如图建立空间直角坐标系D— xyz ，则A( 2,0,0), B(2,2,0), C( 0,0,2), S( 0,0,2) 。

zSMCyDABx（Ⅰ）设 M (0, a, b)( a0,b 0) ，则BA (0, 2,0), BM ( 2, a 2,b), SM (0,a,b2) ，.WORD 格式整理 ..SC (0,2, 2) ，由题得1cos BA, BM2，即SM // SC2(a2)12(a2)2b222解之个方程组得 a 1,b1即 M (0,1,1)2a2(b2)所以 M 是侧棱 SC 的中点。

法 2：设SM MC ，则M(0,2,2), MB(2,2, 2 )1111又 AB(0,2,0),MB , AB 60o故 MB AB| MB | | AB | cos60o，即42(2) 2(2)2，解得1，111所以 M 是侧棱 SC 的中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得M (0,1,1), MA( 2 ,1,1) ，又 AS(2,0,2)， AB(0,2,0) ，设 n1( x1 , y1 , z1 ), n2( x2 , y2 ,z2 ) 分别是平面 SAM 、 MAB 的法向量，则n1MA 0n2MA 0，即2 x1y1z10 2 x2y2 z20n1AS 0且n1AB 0 2 x1 2z10且2 y20分别令x1 x2 2 得 z11, y11, y20, z2 2 ，即n1 (2,1,1), n2(2,0,2) ，∴ cos n1 , n22026 263二面角 S AM B 的大小arccos6。

3. WORD 格式整理 ..2、解法一：（Ⅰ）取 BC 中点 F ，连接 EF ，则 EF1 B 1B ，从而 EF DA 。

2连接 AF ，则 ADEF 为平行四边形，从而AF//DE 。

又 DE ⊥平面 BCC 1 ，故 AF ⊥平面 BCC 1 ，从而 AF ⊥ BC ，即 AF 为 BC 的垂直平分线，所以 AB=AC 。

（Ⅱ）作 AG ⊥ BD ，垂足为 G ，连接 CG 。

由三垂线定理知CG ⊥ BD ，故∠ AGC 为二面角 A-BD-C 的平面角。

由题设知，∠ 0.AGC=60 .设 AC=2，则 AG=2。

又 AB=2， BC=2 ，故 AF= 2 。

3由 AB AD AG BD 得2AD=2. AD 2 22 ，解得 AD= 2 。

3故 AD=AF 。

又 AD ⊥ AF ，所以四边形 ADEF 为正方形。

因为 BC ⊥ AF ， BC ⊥ AD ， AF ∩AD=A ，故 BC ⊥平面 DEF ，因此平面 BCD ⊥平面 DEF 。

连接 AE 、 DF ，设 AE ∩ DF=H ，则 EH ⊥ DF ， EH ⊥平面 BCD 。

连接 CH ，则∠ ECH 为 B 1C 与平面 BCD 所成的角。

因 ADEF 为正方形， AD= 2 ，故 EH=1，又 EC=1B 1C =2，2所以∠ ECH=30，即 B 1C 与平面 BCD 所成的角为 30 . 解法二：（Ⅰ）以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 A — xyz 。

设 B （ 1，0，0），C （ 0，b ，0），D （ 0，0，c ），则 B 1（ 1，0，2c ）,E（ 1 ， b， c ） ..WORD 格式整理 ..于是 DE =（1，b，0）， BC =（-1，b,0）.由D E⊥平面BCC1知DE⊥BC， DE BC =0，求得22b=1 ，所以AB=AC 。

（Ⅱ）设平面BCD 的法向量AN (x, y, z), 则 AN BC 0, AN BD0.又 BC =（-1，1，0），x y0BD =（-1，0，c）,故x cz0令 x=1, 则 y=1, z= 1, AN =(1,1,1).c c又平面 ABD 的法向量AC=（0，1，0）由二面角 A BD C 为60°知，AN ，AC =60°，故 AN AC AN AC1 cos60 °，求得 c2于是 AN （1，1， 2），CB1(1， 1，2）cos AN，CB1AN CB11，AN CB12AN，CB160 °所以 B1 C 与平面BCD所成的角为30°3、（Ⅰ）证明：连接DP ,CQ，在 ABE 中，P,Q分别是AE, AB的中点，所以PQ //1BE，2又DC//1BE ，所以PQ // DC，又 PQ平面 ACD ，DC平面 ACD ，所以PQ //平面 ACD 2（Ⅱ）在ABC 中，AC BC2, AQ BQ ，所以 CQ AB而 DC平面 ABC ，EB // DC，所以EB平面 ABC而 EB平面 ABE ，所以平面 ABE平面 ABC ，所以CQ平面 ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以DP // CQ.WORD 格式整理 ..所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是DAP在 Rt APD 中， AD AC2DC 22212 5 ，DP CQ 2sin CAQ 1 DP15所以sin DAP55AD4、【解法 1】（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥ BD ，∵ PD底面ABCD，∴PD⊥AC ，∴ AC ⊥平面 PDB，∴平面 AEC平面 PDB .（Ⅱ）设 AC∩BD=O ，连接 OE，由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PDB 于 O，∴∠ AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，∴ O， E 分别为 DB 、 PB 的中点，∴ OE//PD ，OE 1底面 ABCD ，PD ，又∵ PD2∴OE⊥底面 ABCD ， OE⊥ AO ，12在 Rt△ AOE 中，OE PD AB AO ，2 2∴AOE 45 ，即AE与平面PDB所成的角的大小为 45 .【解法 2】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系D xyz ，设 AB a, PD h,则 A a,0,0, B a, a,0 , C 0,a,0, D0,0,0 , P0,0, h ，（Ⅰ）∵ AC a, a,0 , DP0,0, h , DB a, a,0 ，∴AC DP0, AC DB0 ，∴AC ⊥ DP， AC ⊥DB ，∴ AC ⊥平面 PDB ，∴平面 AEC平面 PDB .（Ⅱ）当 PD 2 AB 且E为PB的中点时， P 0,0, 2a , E 1a,1a,2a ，222.WORD 格式整理 ..由（Ⅰ）知 AC ⊥平面 PDB 于 O ，∴∠ AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，∵ EA1a,1a,2a , EO0,0,2 a ，2222∴ cosAEOEA EO2 ，EA EO2∴ AOE 45 ，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45 .多面体 ABCDEF 的体积为 V E — ABC D ＋ V E — BCF= 2 25、解：方法（一） ：（ 1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ .因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ， 则ＡＢ⊥ＰＤ， 因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ .z（２） 设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ， 因为ＡＢ∥ＣＤ， 所以ＡPＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，M由（ 1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则 MN 是 PN 在平面ABM 上的射影，AN Dy所以 P N MPC与平面 ABM所成的角，就是且PNMPCDtan PNMtanPD 2 2PCDDC所求角为 arctan22OBxC（ 3）因为 O 是 BD 的中点，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半，由（ 1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M ，则 |DM| 就是 D 点到平面 ABM 距离 .因为在 Rt △PAD 中， PA AD 4 ， PD AM ，所以 M 为 PD 中点， DM2 2 ，则 O 点到平面 ABM 的距离等于2 。