平方根算术平方根立方根三说
一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要
1.平方根、算术平方根的概念与性质
如果一个数 x 的平方等于 a（即x2 a ），那么这个数x 就叫做 a 的平方根（或二次方根），记作：
x a ，这里a是x的平方数，故 a 必是一个非负数即 a 0；例如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0 的平方根只有一个0，即为它本身。

正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，表示为 a a 0 ，例如 16 的算术平方根是16 4 ，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：① a 0 ；② a 0 。

2.平方根、算术平方根的区别与联系区别：①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④
取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。

联
系：①它们之间具有包含关系；
②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；
③ 0 的平方根以及算术平方根均为0。

3. 立方根的定义与性质
如果一个数x 的立方等于a（即x3 a ），那么这个数x 就叫做 a 的立方根（或三次方根），记作：x 3 a 。

立方根的性质：正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。

二、解题中常见的错误剖析
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例 1. 求 3 2的平方根。

2
错解：39
3 2的平方根是 3
剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而2
是一个正数，故它的平方根应有39
两个即± 3。

例 2. 求9 的算术平方根。

错解：329
9 的算术平方根是 3
剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9 的算术平方根，因而导致误解，事实上本题9 就是表示的9 的算术平方根，而整个题目的意义是让求9 的算术平方根的算术平方根。

9 3 ，而3的算术平方根为 3 ，故9 的算术平方根应为 3 。

仿此你能给出64 的平方
根的结果吗？
三、典型例题的探索与解析
例 3. 已知：M a b 2 a8 是a8 算数平方根，N 2 a b 4 b 3 是b 3 立方根，求M N 的平方根。

分析：由算术平方根及立方根的意义可知 a 80
a b 2 2 1
2a b 4 3 2
联立 <1><2> 解方程组，得： a 1， b 3
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代入已知条件得： M 9， N 3 0
所以 M N9 3 0 3 0 3
故 M ＋N 的平方根是± 3 。

例 4. 已知x 2 y 3，3 4x 3y 2 ，求 x y 的算术平方根与立方根。

分析：由已知得 x 2 y 32 9 1
4 x 3y 2 3
2
8
联立 <1><2> 解方程组，得：x 1， y 4
所以 x y 5
因而 x y 的算术平方根与立方根分别为5、3 5 。

例 5. 若一个正数 a 的两个平方根分别为x 1 和 x 3 ，求 a 2005的值。

分析：由平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，因而可构造方程x 1 x 3 0，解得 x 2
从而 a x 1 2 2
2 1 1
a 2005 1
评注：本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出a，解法可谓简捷明了，令人耳目一新。

事实上方程思想是初中阶段一种重要的数学思想方法，应引起同学们
高度重视。

例 6. 比较a、1
、a 的大小。

a
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分析：要比较 a、1
、 a 的大小，必须搞清 a 的取值范围，由
1
知 a 0 ，由 a 知a 0 ，
综合得 a 0 a a
，此时仍无法比较，为此可将 a 的取值分别为① 0 a 1；② a 1；③ a 1
三种情况进行讨论，各个击破。

当
0 a 时，取
a 001. 1
则1
100、 a 01. ，显然有 1 a a a a
当 a 1 时， a 1
a a
当 a 1 时，仿①取特殊值可得 a
1 a
a
评注：本题的解答用到了分类讨论的思想，所谓分类思想就是根据问题的需要将涉及的对象按一定的标准分成若干类，然后再逐类讨论求解的思维方法。

分类要遵循三条原则：
①标准统一；
②任何两种情况不重复；
③每一种情况都不能遗漏。

例 7. 已知有理数 a 满足2004a a 2005 a ，求 a20042的值。

分析：观察表达式 a 2005 中的隐含条件，被开方数应为非负数即 a 20050 ，亦即a2005，故原已知式可化为：
2004 a a 2005 a
a 20052004
2
a 20052004
2
a 20042005
例 8. 若 x、 y、 m 适合关系式
3x 5y 3 m2x 3y m x 2005 y2005 x y ，试求m的值。

分析：观察等式的右边的两个表达式的被开方数互为相反数，再结合只有非负数才有算术平方根，第 4 页共7 页
因而必有 x 2005 y0
所以 x y2005 。

原已知式可化为：
3x 5y 3 m 2 x 3y m0
3 x y 2 y 3 m 2 x y y m 0⋯ (* )
再变形得：
将x y 2005代入（*）得：
6015 2 y 3 m4010 y m0
由算术平方根的非负性，再根据“若干个非负数的和为零，则其中每一个非负数均为零”，可得
6015 2y 3 m0
4010 y m0
解这个方程组得：m2008
评注：抓住题目中隐含的——算术平方根具有双重非负性：① a 0；②a0 是解决此类问题的关键。

例 9. 有理数 a、 b、 c 在数轴对应点如下图所示，化简 b a 2 b c a c 2。

分析：根据数轴上的点表示的数，右边的总比左边的数大可知：
b a 0， b
c 0， a c0
再结合算术平方根应为非负数，因而
原式 b a b c a c2b 2c 2a
评注：本例借助以形（数轴）辅数（确定 b a， b c， a c 的符号）的方法解题的，是数形结合思想的具体体现。

所谓数形结合思想——就是在已知条件下建立数和形之间的关系，以形辅数，以数定形，利用数、形的相互关系来解题的思维方法。

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例10. 借助计算器计算下列各题：
（ 1）11 2
（2）1111 22
（3）111111 222
（4）11111111 2222
仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？
分析：利用计算器计算得：
（1）11 2 3
（2）1111 22 33
（3）111111 222 333
（4）11111111 2222 3333
观察上述各式的结果，容易猜想其中的规律为：2n 个1与n个2组成的数的差的算术平方根等于 n 个 3 组成的数。

即11⋯ 1 22 ⋯ 2 33⋯ 3
2n个 1n个 2n个 3
解释理由如下：
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11⋯ 1 22⋯ 2
2 n个 1 n个 2
11⋯ 1 10 n 11⋯ 1 22⋯ 2
n个 1 n 个1 n个 2
11⋯ 1 10 n 11⋯ 1
n个 1 n 个1
11⋯ 1 10n 1
n个 1
9 11⋯ 12
n个 1
33⋯ 3
n个 3
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