1 二模真题汇编-三角比与三角函数一、填空题1、（金山区2019年二模2题）函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是 .【答案】π【解析】()2sin cos 12sin cos 1sin 2y x x x x x =+=+=+则22T ππ== 2、（宝山区2019年二模9题）如图，扇形OAB 的半径为1，圆心角为2π，若P 为弧AB 上异于,A B 的点，且PQ OB ⊥交OB 于点Q ，当POQ ∆时，POQ ∠的大小范围为_________【答案】,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】()111sin 11cos sin sin 2224S OP OQ θθθθ===>,63ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭3、（崇明区2019年二模2题）函数sin cos y x x =的最小正周期=T _______________.【答案】π2 【解析】x x x y 2sin 21cos sin ==，则ππωπ===222T4、（徐汇区2019年二模5题）函数cos2sin ()cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为【答案】【解析】23)(34,3)32(2,0),32sin()(cos sin 2cos 23)(min -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=+=x f x x x x f x x x x f πππππ5、（杨浦区2019年二模1题）函数2()12sin f x x =-的最小正周期是 【答案】π【解析】()212sin cos2f x x x =-=22T ππ⇒==．6、（杨浦区2019年二模7题）函数arcsin 211xx y =-的值域是【答案】14[,]22ππ-+【解析】由题意()arcsin 211x y x x =+-≤≤，在[]1,1-上单调递增，当1x =-时，12y π-=，当1x =时，42y π+=，故该函数的值域是14,22ππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦3 7、（杨浦区2019年二模11题） 若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且0GA GB ⋅=，则cos C 的 最小值为【答案】45【解析】0GA GB ⋅=90AGB ⇒∠=︒，如图，CD 为AB 边上中线，设GD k =，则AD BD k ==，3CD k =，设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据平行四边形的性质（四条边的平方和等于两条对角线的平方和），可得()()222222CA CB AB CD +=+，即()222221436202a b k k k +=+=， 所以222220ab a b k ≤+=， 在ABC ∆中由余弦定理得2222222044cos 2205a b c k k C ab k +--==≥，所以()min 4cos 5C =．8、（闵行区2019年二模6题）在ABC D 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积()22213S a c b =+-，则 tanB = ． 【答案】43． 【解析】1sinB 2S ac =，222cos 2a b c B ab +-=，sin tan cos B B B =由上述三个公式可得4tan 3B =．4 9、（闵行区2019年二模9题）若函数()2x sin xcos x x f w w w =的图像关于直线3x p=对称， 则正数w 的最小值为 ． 【答案】14． 【解析】化简可得()sin(2)3f x x p w =+3x p =对称，所以3x p=的时候，()f x 取得最值，所以2sin 133p w 骣???琪桫，即2332k p p w p +=+（k Z ∈），所以1342k w =+（k Z ∈），即最小的正数w 为14． 10、（浦东新区2019年二模6题）已知函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>是偶函数，则ϕ的最小值是______.【答案】4π【解析】()()0sin 21,=024k f k Z ππϕϕ==±+∈>得,min 4πϕ∴=11、（青浦区2019年二模7题）函数|sin arcsin |y x x =+的最大值为________ 【答案】sin12π+【解析】|sin arcsin |y x x =+在[]1,1-上为偶函数，且在[]0,1上为单调递增，所以最大值为sin12π+ 二、选择题1.（长宁、嘉定区2019年二模16题）对于ABC ∆,若存在111C B A ∆，满足1cos cos sin cos sin cos 111===C C B B A A ，则称ABC ∆为类三角形”“V .类三角形”“V 一定满足 （ ）5 【A 】有一个内角为︒30 【B 】有一个内角为︒45 【C 】有一个内角为︒60 【D 】有一个内角为︒75 【答案】B【解析】由题意可得等腰三角形ABC ∆的三个内角C B A ,,均为锐角，且1,11sin cos sin cos ,sin cos C C B B A A ===，απα2,-===A C B 则设，由于111C B A ∆中，111,,C B A 不会全是锐角，否则，有2,2,2111πππ=+=+=+C C B B A A ，与三角形内角和矛盾，所以111,,C B A 必有一个钝角，只能是顶角1A 为钝角，11B C 和为锐角.所以απαπ-2-211==C B ，，所以α21=A ，再根据1sin cos A A =,可得ααπ2sin )2cos(=-，即02cos 2sin =+αα，432πα=，顶角为4π.2.（普陀区2019年二模16题）设函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin πx x f ，若对于任意,2,65⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈ππα在区间[]m ,0上总存在唯一确定的β，使得()(),0=+βαf f 则m 的最小值为（ ） A 、6π B 、2π C 、67πD 、π 【参考答案】B【解析】画出()x f 图像，()()βαππαf f ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈23,00,232,65，所以m 的最小值为2π，选B3.（青浦区2019年二模14题）已知△ABC 是斜三角形，则“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ）6 【A 】充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】充要条件 【D 】 既不充分又不必要条件 【答案】C【解析】A B >可得B 为锐角；充分性：当A 为锐角时，tan y x =在(0,)2π上单调递增，tan tan A B >成立；当A 为钝角时，A B π+<，则B A π<-，tan()tan A B π->；|tan ||tan |A B >成立。

必要性：当A ，B 为锐角时，显然成立；A 为钝角，B 为锐角时，也成立；A 为锐角，B 为钝角时，tan tan A B >-， A B π>-，显然不成立，故必要性也成立。

三、解答题1.（金山区2019年二模17题）已知ABC ∆中，1tan 4A =,3tan 5B =，AB （1） 角C 的大小；（2） ABC ∆中最小边的边长. 【答案】（1）3=4C π；（2【解析】（1）()()tan tan tan tan tan 1tan tan A BC A B A B A Bπ+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦-1345-113145+=-=-⋅ 所以3=4C π7 （2）22sin 1cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩所以sin A =sin B =； 因为sin sin sin a b c A B C ==，所以sin sin sin BC AC ABA B C==所以BC =5AC =2.（宝山区2019年二模18题）已知()21cos cos 2f x x x x =-+. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围；（2）设ABC ∆的三边分别是,,a b c ，周长为1，若()12f B =-，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）34-. 【解析】（1）()1cos 212sin 22226x f x x x π+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, 则50,2,2666x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈⇒-∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()1,12f x ⎡⎤⇒∈-⎢⎥⎣⎦.（2）()112sin 2,2623f B B B ππ⎛⎫=-⇒-=-⇒=⎪⎝⎭由余弦定理：222222cos 2a c b B a c b ac ac+-=⇒+-=-，又有11a b c b a c ++=⇒=--，代入可得：()222112210a c ac a c ac a c ac ++=--⇒+=+≥-≥127sin 324ac S ac B ⇒≤⇒≤-⇒=≤-，即ABC ∆面积的最大值为34-.8 3.（崇明区2019年二模19题）某公园内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A 、B 分别在圆周上，观众席为等腰梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中BQ AB AP ==,32π=∠=∠QBA PAB ，且AB 、PQ 在点O 的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台中心O 处的距离不超过60米（即要求60≤PO ），设α=∠OAB ,⎝⎛⎪⎭⎫∈3,0πα。

（1）当6πα=时，求舞台表演区域的面积；（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？ 【答案】（1）π3400（2）3600)32sin(38001600<++πα，均能符合要求 【解析】（1）当6πα=时，23AOB π∠=所以舞台表演区域的面积2140023OAB S r απ==扇形平方米.................................................5分（2）作OH AB ⊥于H ，则22cos 40cos AB AH OA αα==⋅= 在OAP 中，22222cos()3OP OA AP OA AP πα=+-⋅+................................................2分92400(6cos cos 1)ααα=++400(3cos 224)αα=+................................................4分)16003πα=++................................................6分因为(0,)3πα∈，所以当12πα=时，max 60OP =<................................................8分所以对于任意α，上述设计方案均能符合要求................................................9分4.（奉贤区2019年二模17题） 已知sin θ、sin α、cos θ成等差数列，sin θ、sin β、cos θ成等比数列. （1）若6πα=，求θ；（2）求1cos2cos22αβ-的值. 【答案】（1）空集；（2）0。