马鞍山市第二中学2009年理科实验班招生数学素质测试题一、选择题 (每小题5分，满分30分。

以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分)1．若0<x<1，则x 2，x 1x这四个数中 （ ）A 、1x 最大，x 2最小 B 、x 最大，1x最小 C 、x 2 D 、x 最大，x 2最小 2．小明和小亮的口袋里面都放有五张不同的2008年北京奥运会福娃纪念卡，他们分别从自己口袋里摸．出一张福娃纪念卡，则摸．出的福娃都是贝贝的概率是 （ ） A 、125B 、25C 、15D 、183．方程(x 2+x-1)x+3=1的所有整数解的个数是 （ ）A 、5B 、4C 、3D 、24．钟表上12点15分时，时针与分针的夹角为（ ）A 、90ºB 、82.5ºC 、67.5ºD 、60º5．使方程2x 2-5mx+2m 2=5的二根为整数的整数m 的值共有 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图09-1所示，记p ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，则 （） A 、p>q B 、p=qC 、p<qD 、p 、q 的大小关系不能确定二、填空题 (每小题5分，满分30分)1．分解因式：x 4-x 2y 2+y 4= 2．已知x满足不等式| a x -1| > a x -1 (其中a ≠0)，那么x 的取值范围是 3．已知a 是整数，一次函数y=10x+a 的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数，则这个质数等于 4．如图09-2，已知正方形ABCD ，其边长为1，以AB 为边在形内作正三角形ABE ，则⊿ACE 的面积为5．在⊿ABC 中，AB=25，AC=17，高AD=15，设能完全覆盖⊿ABC 的圆的半径为R ，则R 的最小值是图09-26．已知：a 2+4a+1=0，且am a a m a a 2212324++++=3，则m 的值为三、解答题（本大题共7小题，1～5小题各12分；6、7小题各10分，共80分） 1．(本题12分) 解关于x 的不等式：x 2+3<4|x|。

2．(本题12分)如图09-3，直线y = -x +2与x ，y 轴分别交于A 、B 点，另一条直线y =kx+b (k ≠0)过点C (1,0)且把⊿AOB 分成两部分。

（1）若⊿AOB 被分成的两部分面积相等，求k ，b 的值； （2）若⊿AOB 被分成的两部分面积之比为1:5，求k ，b 的值。

3．(本题12分)如图09-4，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PD切⊙O于C点，BC和AD的延长线相交于E，且AD⊥PD。

（1）求证：AB=AE；（2）问：当AB:BP为何值时，⊿ABE为等边三角形？请说明理由。

4．(本题12分)已知19x2+123xy+19y2=1985。

试求正整数n。

5．(本题12分) 已知二次函数y1= ax2+4ax+4a-1的图象是M。

（1）求M关于点R(1,0)中心对称的图象N的解析式y2；（2）当2≤ x ≤5时，y2a的值。

6．(本题10分)对a>b>c>0，作二次方程x2– (a+b+c)x+ab+bc+ca=0。

（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；（2）若方程有实根x0，求证：a>x0>b+c；（3）当方程有实根6，9时，求正整数a，b，c。

7．(本题10分)证明：只存在唯一一个三角形，它的三边长为三个连续的正整数，并且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍。

参考答案（本卷满分140分，答题时间120分钟）一、选择题 AABBDC 二、填空题1．(x 22)( x 22)2．若a<0，则x>1/a ，若a>0，则x<1/a3．5 45．2585或 6．19三、解答题 1．解：法一、原不等式化为 ①20430x x x ≥⎧⎨-+<⎩ 或 ②20430x x x <⎧⎨++<⎩……6分由①得，1<x<3由②得，-3<x<-1 ……10分 所以，原不等式的解为：1<x<3或-3<x<-1……12分法二、原不等式化为：|x|2+3<4|x|，即 (|x|-1)(|x|-3)<0 ∴1<|x|<3，从而可知原不等式的解为 -3<x<-1或1<x<3 2． 解：（1）依题有A(2,0)、B(0,2)，所以点C 为线段OA 的中点，故直线y=kx+b 过点B ，从而可得：k=-2，b=2； ……4分（2）k=-23，b=23或k=2，b=-2。

设y=kx+b 与OB 交于M(0,h)，且S ⊿OMC =16S ⊿OAB ，可以解得h=23，所以有M(0,23)。

……7分过M 作直线MN ∥OA ，交AB 于N(a,23)，则S ⊿OMC =S ⊿CAN 。

因为N(a,23)在直线y=-x+2上，所以a=43，N(43,23)……10分所以直线y=kx+b 过M(0,23)，C(1,0)或N(43,23)，C(1,0)。

代入求解即可。

……12分3．解：（1）方法一：连结AC ，∵AB 是直径， ∴∠ACB=∠ACE =90º， 又∵AD ⊥PD ， ∴⊿ACD ∽⊿AEC ，∴∠E=∠1， ∵PD 切⊙O 于C 点，∴∠1=∠2， ∴∠E=∠2，∴AB=AE 。

……6分方法二：连结OC，∵PD切⊙O于C点，∴OC⊥PD，又∵AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠E=∠3，而∵∠3=∠2，∴∠E=∠2，∴AB=AE。

（2）当AB:BP=2:1时，⊿ABE为等边三角形。

设BP=1，AB=k，∵PD切⊙O于C点，∴PC2=PB•PA=k+1，∴∴∠PCB=∠PAC，又∵∠P=∠P，∴⊿PBC∽⊿PCA，∴，……10分而⊿ABE为等边三角形，∴在Rt⊿ABC中，∵CA:BC = tan∠k=2，即AB:BP=2:1。

……12分4．解：∵xy=1，代入方程，得x2+y2=98。

于是(x+y)2=100，∴x+y=10。

……6分又∵x=2，y= 2，故x+y=4n+2由4n+2=10，解得n=2。

……12分5．解：（1）y2=-ax2+8ax-16a+1；（2）a=14。

（1）依题，a≠0，且y1= ax2+4ax+4a-1= a (x+2)2-1，故图象M的顶点为A(-2,-1)，由对称性可知，图象N的顶点为B(4,1)，且其开口方向与M的相反，∴y2= -a (x-4)2 +1即y2= -ax2+8ax-16a+1 ……6分（2）当a<0时，抛物线N的开口向上，对称轴为x=4，若2≤ x ≤5，则当x=2时，y2取得最大值1-4a，由……12分6．解：（1）由方程有实根得，△= (a+b+c)2-4(ab+bc+ca)≥0即0≤a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca= a(a-b-c)-b(a+c-b)-c(a+b-c)<a(a-b-c)，由a>0，得a-b-c>0，即a>b+c。

所以，a，b，c不能成为一个三角形的三边。

……4分（2）设f (x)= x2– (a+b+c)x+ab+bc+ca，则f (b+c)=bc>0，f (b+c)= bc>0，且f (2a b c++)=2()4()4a b c ab bc ca-+++++<0 由（1）知b+c<2a b c++<a，所以二次方程的实根x0都在b+c与a之间，即a>x0>b+c ……7分（3）由根与系数关系有a+b+c=15，ab+bc+ca=54，得a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab-bc-ca)=225-108=117<112。

由（2）知a>9，故得92< a2< 112，∴a=10。

∴b+c=5，bc=4，由b>c，解得b=4，c=1，∴a=10，b=4，c=1。

……10分7．解：（1）如图，在⊿ABC 中，设∠A=2∠B ，且三边长分别为a ，b ，c延长CA 到点D ，使AD=AB=c ，则CD=b+c ，由∠A=2∠B ，知∠ABC=∠D 。

从而，⊿ABC ∽⊿BDC ，故BC AC =，即a b=于是，a 2=b(b+c)①……4分（2）依题a>b ，当a>c>b 时，设a=n+1，c=n ，b=n-1，代入①式，解得，n=5。

此时，a=6，b=5，c=4；……6分当c>a>b 时，设c=n+1，a=n ，b=n-1， 解得，n=2。

此时，a=2，b=1，c=3，不能构成三角形； ……8分同理，当a>b>c 时，可得，n 2-3n-1=0，无解。

综上所述，满足条件的三角形只有一个，其三边长为4，5，6。

……10分ABCDacb。