得证
对于一维方势场，可证明下列定理：
定理5
对于阶梯方位势
V1 , V ( x) V2 ,
xa
xa (V2 V1 ) 有限，则能量本征函数 ( x) 及其导数必定
是连续的（但如果 (V2 V1 ) ，则定理不成立）。 证明
d2 2m ( x) 2 [ E V ( x)] ( x) 2 dx
[ E V ( x)] ( x)有限， lim
0

a
a
dx[ E V ( x)] ( x) 0
(a 0 ) (a 0 )

( x) ( x)
连续 得证
定理6 对于一维粒子，设 1 ( x) 和 2 ( x) 均为 方程（3）的属于同一能量本征值E的解，则 2 1 常数(与x无关) 1 2
(r 0)
x=0是一个孤立奇点，虽然在x=0点 (不连 x) (0) 0 续，但其基态波函数 ，所以也不是简并的。
2 2 i ( x, t ) [ V ( x)] ( x, t ) 2 t 2m x
（1）
对于定态，即具有一定能量E的状态，波函 i Et 数形式为 （2） ( x, t ) ( x)e
2 d 2 [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
( x)
( x)
f ( x) ( x ) ( x )
g ( x) ( x) ( x)
f ( x) f ( x) g ( x) g ( x)
1 ( x) ( f ( x) g ( x)), 2
1 ( x) ( f ( x) g ( x)) 2
证明
2m 1 2 [ E V ( x)] 1 0 2
1 (15) 2 (14)
(14) (15)
2m [ E V ( x)] 2 0 2
2 1 0 1 2
2 1 ) 0 ( 1 2
本征值E的解，则
3）的对应于能量 (是方程（ x)
3）的对应于 ( 也是方程（ x)
能量本征值E的解。
证明
d2 d2 d2 x x, 2 2 , V ( x) V ( x) 2 dx d ( x) dx
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
在V（x）连续的 区域，
（11）
( x) ( x)
Hale Waihona Puke 连续在V（x）发生阶梯形跳跃处，V ( x) ( x) 有限跃变
在x~a邻域对方程（11）积分
0
lim
a
a
dx, 得

a 2m (a 0 ) (a 0 ) 2 lim dx[ E V ( x)] ( x) 0 a
得证
空间反射算符P定义为 P (r ) (r )
r r
按定理3，如V（－x）＝V(x)，则 ( x)与 ( x) 都是对应于同一能量E的量子态。如果对应于某能 量E，方程（3）的解无简并，则解必有确定的宇称。 P ( x) ( x) C ( x) P 2 ( x) CP ( x) C 2 ( x) ( x)
1
1 2
1 1 2 2
(ln 1 2 ) 0 ln 1 2 ln C
1 C 2
得证
精品课件！
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常碰到的两种奇异势场
（1）
0, V ( x)
0 xa x a, x 0
0 a
（2） δ势阱
V ( x) r ( x)
2 1 常数(与x无关) 1 2
得证
对束缚态
2 1 1 2
定理7 设粒子在规则势场V（x）（势场中无奇 点）中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。 证明 设 1 和 2 是方程（3）的属于能量E的两 个束缚态解
2 1 1 2
取复共扼 得证
，则称 ( x)
2 d 2 * * [ V ( x )] ( x ) E ( x) 2 2m dx
若对应于能量E，只有一个能量本证函数 函数。
能量E无简并，此时相应的能量本征函数总可以取为实
定理2 对应于能量的某个本征值E，总可以找到 方程（3）的一组实解，凡是属于E的任何解，均 可表示为这一组实解的线性叠加。
C 2 1 C 1
C 1, P ( x) ( x) ( x) C 1, P ( x) ( x) ( x)
偶宇称 奇宇称
(r , t ) (r , t ) 则称波函数没有确定的宇称。
定理4 设V（－x）＝V（x），则对应于任何一 个能量本征值E，总可以找到方程（3）的一组解 （每一个解都有确定的宇称），而属于能量本征 值E的任何解，都可用它们来展开。 证明
本章内容主要包括： §3.1 一维定态的一般性质 §3.2 方位势 §3.3 一维散射问题
§3.4 δ 势
§3.5 一维谐振子
§3.1 一维定态的一般性质 一、教学目标
1. 掌握一维运动波函数的共同特点。
2.了解奇点的概念
3. 了解常碰到的两种势场。
二、教学内容
下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些 共同的特点。设粒子质量为m，沿x方向运动，势 能为V（x），则Schrodinger方程表示为：
（3） （4）
V ( x) V ( x)
*
定理1 设 ( x) 是方程（3）的一个解，对应的 能量本征值为E，则 * ( x) 也是方程（3）的一个 解，对应的能量也是E。
证明
V * ( x) V ( x)
2 d 2 [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
证明
实解
实解集合
( x) ( x) * ( x)
( x)
复解
* ( x)
( x) i( ( x) * ( x))
1 ( i ) 2
*
1 ( x) ( i ), 2
得证
定理3
设V（x）具有空间反射不变性，V（－x）
＝V（x）。如