2019-2020山东潍坊市高二上学期期末考试数学试题及答案一、单选题1．若0a b >>，则下列不等式中正确的是（）A ．ac bc>B ．11a b>C ．1b a>D ．33a b >2．已知双曲线22194x y -=，则其渐近线方程是（）A ．23y x =±B ．59y x =±C ．53y x =±D ．52y x =±3．如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，点M 为OA 的中点，点N 在线段BC 上，且2CN NB =，则MN =（）A ．121233a b c--B ．112323a b c-++C ．211323a b c-+ D ．121233a b c-++ 4．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（）A ．75斤B ．70斤C ．65斤D ．60斤5．已知在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，5AB =，3AC =，4BD =，CD =面角的度数为（）A ．30°B ．45︒C ．90︒D ．150︒6．为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C （单位：/mg L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2249tC t =+，则一段时间后池塘水中A ．4/mg LB ．6/mg LC ．8/mg LD ．12/mg L7．已知抛物线24y x =，F 为其焦点，抛物线上两点A 、B 满足||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离等于（）A ．2B ．3C ．4D ．68．已知数列{}n a 满足13nn n a a +=，且11a =，则数列{}n a 的前9项和9S =（）A ．160B ．241C ．243D ．484二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B ．命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D ．“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件10．设数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（）A ．0d >B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >11．已知P 是椭圆22:184x y E +=上一点，1F ，2F 为其左右焦点，且12F PF ∆的面积为3，则下列说法正确的是（）A ．P 点纵坐标为3B ．122F PF π∠>C ．12F PF ∆的周长为)41+D ．12F PF ∆的内切圆半径为)312-12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1BB ，CD 的中点，则（）A ．直线1AD 与BD 的夹角为60︒B ．平面AED ⊥平面11A FDC ．点1C 到平面11ABD 的距离为32D ．若正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形三、填空题13．已知向量(,,2)x y 与向量(1,2,4)共线，则x y +=_______________.14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，2a ，3a 是方程2430x x -+=的两个根，则4S =__________.15．汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40/km h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，突然发现有危险情况，同时紧急刹车，但还是发生了交通事故.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m ，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲、乙两种车型的刹车距离sm 与车速/vkm h 之间的关系分别为：21110010s v v =-甲，21120020s v v =-乙.根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主要责任的可能是_______________车，理由是__________________________.16．已知F 为双曲线2222:1x y E a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向双曲线E 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，且交另一条渐近线于点B ，若||||OF FB =，则双曲线E 的离心率是_____________.四、解答题17．已知p ：“实数x 满足不等式906x x -<-”；q ：“实数x 满足不等式22320x kx k -+≤，其中实数0k >”.若p 是q 的充分不必要条件，求实数k 的取值范围.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC AB AA ==，90CAB ∠=︒，M 是11B C 的中点，N 是AC 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）求直线1A B 与平面11BCC B 所成的角的大小..19．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭是首项为1，公差为32的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <..20．给出下列条件：①焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上；③抛物线上横坐标为1的点A 到其焦点F 的距离等于2；④抛物线的准线方程是2x =-.（1）对于顶点在原点O 的抛物线C ：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C 的方程是24y x =，并说明理由；（2）过点()4,0的任意一条直线l 与2:4C y x =交于A ，B 不同两点，试探究是否总有OA OB ⊥？请说明理由.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD PD ⊥，//AD BC ，1AD CD ==，2BC =，二面角P CD A --为45︒，E 为PD 的中点，点F 在PC上，且3PC PF=（1）求证：四边形ABCD 为直角梯形；（2）求二面角F AE D --的余弦值.22．已知椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>，O 为坐标原点，P 为椭圆上任意一点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，且a ，b ，1依次成等比数列，其离心率为22.过点(0,1)M 的动直线l 与椭圆相交于A 、B 两点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）当45||3AB =时，求直线l 的方程；（3）在平面直角坐标系xOy 中，若存在与点M 不同的点G ，使得||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立，求点G 的坐标.数学试题参考答案一、单项选择题答案1-8DADCC ABB 二、多项选择题部分9-12BD BC CD ABD 三、非选择题部分13、3214、40315、乙乙车超过了限定速度16、23317、解：因为906x x -<-，所以(6)(9)0x x --<，解得69<<x ，22320x kx k -+≤可化为()(2)0x k x k --≤，因为0k >，所以2k x k ≤≤，设||69}A x x =<<，||2}B x k x k =≤≤，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，此时有629k k ≤⎧⎨≥⎩所以962k ≤≤.18、（1）证明：取AB 的中点H ，连结HN 、1B H ，因为HN 是ABC ∆的中位线，所以//HN BC ，且12HN BC =，又因为1//B M BC ，且112B M BC =，分所以1//HN B M 且1HN B M =所以四边形1HNMB 是平行四边形，所以1//MN B H ，又因为MN ⊄面11ABB A ，1B H ⊂面11ABB A ，所以//MN 面11ABB A ，（2）解：连结1A M ，BM ，因为1111A B A C =，M 是11B C 中点，所以111A M B C ⊥，又因为面111A B C ⊥面11BCC B ，1A M ⊂面111A B C ，面111A B C Ç面1111BCC B B C =所以1A M ⊥面11BCC B ，所以直线BM 为1A B 在面11BCC B 内的射影，所以1A BM ∠为直线1BA 与平面11BCC B 所成的角，设2AB =，则在1A MB ∆中，190A MB ∠=︒，1A M =，1A B =所以1111sin 2A M A BM AB ∠==，所以130A BM ∠=︒，所以直线1BA 与平面11BCC B 所成的角为30°.19、解：（1）由题意3311(1)222n S n n n =+-=-，所以23122n S n n =-，当1n =时，1131122a S ==-=；当2n ≥时，2213131(1)(1)322222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=-----=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为11a =适合上式，所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-()*n ∈N ；（2）由（1）得32n a n =-，可得111111(32)(31)33231+⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭n n n b a a n n n n ，所以12111111134473231n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，因为1031n >+，所以13n T <.18、解：（1）因为抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F 在x 轴上，所以条件①适合，条件②不适合.又因为抛物线2:4C y x =的准线方程为：1x =-，所以条件④不适合题意，当选择条件③时，1112A AF x =+=+=，此时适合题意，故选择条件①③时，可得抛物线C 的方程是24y x =；（2）假设总有OA OB ⊥，由题意得直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为4x ty =+，由244y xx ty ⎧=⎨=+⎩得24160y ty --=设()11,A x y ，()22,B x y 所以>0∆恒成立，124y y t +=，1216y y =-，则()()121244x x ty ty =++()21212416t y y t y y =+++2216161616t t =-++=，所以121216160OA OB x x y y ⋅=+=-=，所以OA OB ⊥ ，综上所述，无论l 如何变化，总有OA OB ⊥.21、（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD PD ⊥，所以CD AD⊥因为//AD BC ，且AD BC ≠，所以四边形ABCD 为直角梯形；（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ，则PA AM ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AM ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,1,0B -，()1,1,0C ，()0,1,0D，由（1）知CD AD ⊥，又CD PD ⊥，则PDA ∠为二面角P CD A --的平面角，则45PDA ∠=︒，1PA =，所以()0,0,1P ，110,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以110,,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，(1,1,1)PC =- ，(0,0,1)AP = ，所以1111,,3333PF PC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，112,,333AF AP PF ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，设平面AEF 的法向量1(,,)n x y z = ，则110n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩令：1z =，则1y =-，1x =-，所以()11,1,1n =--，又平面PAD 的法向量()21,0,0n =，所以1212123cos ,3n n n n n n ⋅<>===-⋅，由题意知二面角F AE D --为钝角，所以二面角F AE D --的余弦值为33-.22、解（1）由题意知，222222b a c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，22b =，所以椭圆的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l的斜率不存在时，||AB =当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2221420k x kx ++-=，其判别式()()222(4)8218410k k k ∆=++=+>，设A 、B 坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则122421k x x k +=-+，122221x x k =-+()*，所以2||213k AB k ===+，整理得424510k k -+=，解得21k =或214k =，所以1k =±或12k =±，综上，直线l 的方程为1y x =±+或112y x =±+；（3）因为存在点G ，使||||||||GA MB MA GB ⋅=⋅，即||||||||GA MA GB MB =，①当直线l 与x 轴平行时，此时||||1||||MA GA MB GB ==，所以点G 在y 轴上，可设G 点坐标为()00,y ；当直线l 与x 轴垂直时，则A ，B 的坐标分别为(，(0,，由||||||||GA MA GB MB =，得=01y =或02y =，因为G 不同于点M ，则G 点坐标只能为()0,2；②下面证明，对任意直线l ，均有()0,2G 点，使||||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立，当直线l6斜率不存在时，由上知，结论成立；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，由（2）中()*式得，122421kx x k +=-+，122221x x k ⋅=-+，所以121212112x x k x x x x ++==⋅，易知，点B 关于y 轴对称的点B '的坐标为()22,x y -，又因为11111211GA y kx k k x x x --===-，2222212111GB y kx k k k x x x x '--===-+=---，所以GA GB k k '=，即G ，A ，B '三点共线，所以12||||||||||x GA GA MA GB GB x MB ==='，即||||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立，所以G 点坐标为()0,2.。