5。 老师想要了解全班50位同学的成绩状况，为此随机抽查了10位学生某次考试的数学与物理成绩，结果列表如下：
学生
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
平均
标准差
数学
88
62
物理
75
63
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是( ）
∴ 面 ,又 面 ，即有 ，故B正确
选项C中，点 运动到 中点时，即在△ 中 、 均为中位线
∴Q为中位线的交点
∴根据中位线的性质有： ，故C错误
选项D中,由于 ，直线 与 所成角即为 与 所成角：
结合下图分析知：点 在 上运动时
当 在 或 上时， 最大为45°
当 在 中点上时， 最小为
∴ 不可能是30°，故D正确
故选:B
【点睛】本题主要考查利用棱柱侧面展开图求解距离最值问题,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
8. 在桌面上有一个正四面体 .任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面,称为一次操作.如图，现底面为 ，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面 再度与桌面接触的概率为（ ）
二、多项选择题：
9。 已知复数 的共轭复数为 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A。 B。 虚部为 C。 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先利用题目条件可求得 ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．
【详解】由 可得, ,所以 ， 虚部为 ；
因为 ，所以 ， ．
∴ ，且 ，∴ ,且 ，
∴四边形 为平行四边形，∴
故选：ACD．
【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用,复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．
10。 掷一个均匀的硬币6次,每次掷出正面的概率均为 ，恰好出现 次正面的概率记为 ,则下列说法正确的是（ )
A. B。
C. D. ， ， ， ， 中最大值为
则至少有一个女孩的概率为 。
故答案为: 。
【点睛】本题考查条件概率及其应用，解题关键是列出所有基本事件，属于基础题。
16。 在棱长为6的正方体空盒内，有四个半径为 的小球在盒底四角,分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为 的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切,无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径 的最大值为________;大球半径 的最小值为________。
【答案】（1）选择①： 或 ；选择②： 或 ；选择③： ；（2) .
【解析】
【分析】
(1)选好条件后，根据复数的性质列式子即可求解；
（2)令 实部和虚部都小于0即可。
【详解】选择①，当 为实数时，有 ，
解得 或 ,
选择②，当 为虚数时,有 ,
解得 或 ，
选择③,当 为纯虚数时，有 ,
解得 ，∴ ；
（2）因为 在复平面内对应的点位于第三象限，
（1）根据题目需要作辅助线，得到 ，利用底面 为平行四边形得到 ，进一步四边形 为平行四边形，根据线面平行的判定定理得以证明结论；
（2）根据题目的条件分别求出四棱锥的高和底，根据体积公式得到答案。
【详解】（1）取 的中点 ,连结 ， ,
∵点 为 的中点,∴ ，且 ,
∵底面 为平行四边形， 为 的中点,
【答列出这个家庭有三个小孩且其中有一个是男孩的所有可能，即可计算概率。
【详解】这个家庭有三个小孩且其中有一个是男孩的所有可能如下：
（男，男，男），(男，男，女）,(男，女,男），(男，女,女），（女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男）共7个基本事件,
其中，至少有一个女孩包含了6个基本事件，
故选：A.
【点睛】本题考查了正态曲线的图象性质，属于基础题.
6. 欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献，著名的欧拉公式： ，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，复数 在复平面内对应的点位于（ ）
其中 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
故答案为：(1) ；（2） .
【点睛】本题主要考查几何体的结构特征,还考查了空间想象和逻辑推理能力，属于基础题.
四、解答题:
17. 在① 为实数，② 为虚数,③ 为纯虚数，这三个条件中任选一个,补充在下面问题中。
已知复数：
（1）若________,求实数 的值；
（2）当 在复平面内对应的点位于第三象限时，求 的取值范围。
故不是凸函数.
故选：ABC.
【点睛】本题考查导数的计算，考查获得新知识、应用新知识的能力，比较简单.解答时只要准确求出原函数的二阶导数进行分析即可.
12。 已知直三棱柱 中, ， , 是 的中点， 为 的中点。点 是 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A。 当点 运动到 中点时,直线 与平面 所成的角的正切值为
【详解】因为 的展开式的通项公式为 ，
令 ,解得 ．
所以 的展开式的常数项是 ．
故答案为：240．
【点睛】本题主要考查利用二项式的展开式的通项公式求指定项，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
14. 若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导数,问题转化为 在区间 恒成立,求出 的范围即可．
B。 无论点 在 上怎么运动,都有
C. 当点 运动到 中点时，才有 与 相交于一点，记为 ,且
D. 无论点 在 上怎么运动，直线 与 所成角都不可能是30°
【答案】ABD
【解析】
【分析】
构造线面角 ,由已知线段的等量关系求 的值即可判断A的正误;利用线面垂直的性质，可证明 即可知B的正误；由中位线的性质有 可知C的正误；由直线的平行关系构造线线角为 ，结合动点P分析角度范围即可知D的正误
A. 8B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出直四棱柱和它的侧面展开图，设直四棱柱的底面的矩形的两边分别为 ，求出 ，再利用基本不等式求解.
【详解】
如图，设直四棱柱的底面的矩形的两边分别为 ，上面右图为棱柱的侧面展开图，
所以 ，
由题得 （当且仅当 时 取等号）
所以 的最小值为4，
所以 .
所以小虫爬行的最短路程为 。
【详解】直三棱柱 中， ,
选项A中,当点 运动到 中点时，有E为 的中点，连接 、 ，如下图示
即有 面
∴直线 与平面 所成的角的正切值：
∵ ，
∴ ，故A正确
选项B中，连接 ，与 交于E,并连接 ,如下图示
由题意知， 为正方形,即有
而 且 为直三棱柱，有 面 , 面
∴ ，又
∴ 面 ， 面 ，故
同理可证： ，又
所以 ,
解得 ，
所以 的取值范围为 。
【点睛】本题主要考查对复数概念的理解,以及几何意义的理解，属于基础题。
18。 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形, ， 分别为 , 的中点。
（1）求证： 平面 ;
（2）若平面 平面 ， ， ,求四棱锥 的体积。
【答案】（1）证明见解析；（2) 。
【解析】
【分析】
对于B，根据面面平行 判定定理可知B正确；
对于C，若平面 ， 平行于同一条直线，则平面 既可能平行,也可能相交，C错误；
对于D，若平面 ， 垂直于同一平面,则平面 既可能平行，也可能相交，D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查面面平行 判定定理的理解和应用，以及充分条件的定义的理解,属于容易题．
4. 已知 时，函数 取得极大值,则 （ ）
山东省潍坊市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析)
一、单项选择题:
1. 已知复数 满足 ，则 （ )
A. B。 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求模，后化简，利用复数的运算直接得到答案。
【详解】因为 ，
所以 。
故选:A.
【点睛】本题考查复数的运算和模的相关知识点，考查计算能力，属于比较简单题型.
2。 下列求导运算正确的是（ ）
A。 B。
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
针对各选项分别进行求导，从而判断正确与否,最终得到答案。
【详解】A选项, ，故A错误;
B选项， ，故B错误；
C选项, ，故C正确;
D选项， ，故D错误.
故选：C。
【点睛】本题考查导数的运算，属于比较简单的知识点，注意的地方就是要细心.
A。 B。 C。 D。
【答案】C
【解析】
【分析】
基本事件总数为27个，满足条件的事件有6个,求出概率即可
【详解】正四面体每个面都是三角形，每次翻转有3种选择,操作3次，
故基本事件有 个,
若操作3次后平面 再度与桌面接触,
第一次有3种选择，第二次有2种选择，第三次有1种选择,
故
故选：C
【点睛】本题考查古典概型,属于基础题。
A。 B。
C。 D。
【答案】ABC
【解析】
【分析】
求出每一个函数的二阶导数,判断是否 在 上恒成立，从而得到答案。
【详解】对于A选项， ，
则 ,
当 时,恒有 ，是凸函数；
对于B选项, ，
则 ，当 上，恒有 ，是凸函数;
对于C选项，若 ,