直角三角形
与三角形有关的定理
1. 三角形内角和 ____________
2. 三角形的一个外角等于_____________
3. 三角形的一个外角大于_________________________
4. 根据已学的公理和已证明的定理，可以证明下面的推论和定理：
（1）___________________ 对应相等的两个三角形全等（AAS
（2）等腰三角形__________________________________ 互相重合。
（简称“三线合一”）（3）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于______________ 。
（4）有一个角等于60°的____________ 是等边三角形。
（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于 ____________ （6 ）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于
（7）三个角都相等的三角形是___________ 三角形。
（8）等腰三角形的__________ 相等（简称为“等边对等角”）
（9）有__________ 相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）
（10）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的______________ 。
（11）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是___________
（12） ____________________ 对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）
例题1.已知△ ABC中，/ ABC=90 , CD± AB于D点，AD=?AC,且AD=2
厘米，求AB的长.
例题2.如图，D为直角三角形ABC斜边上一点，DE I BC于E点,
1
BE=AC若BD=±厘米，DE+ BC=1厘米，试求/ B的大小.
2
例题3.已知：如图，在△ 与BC的延长线交于D点.
ABC中，/ ACB=2/ B,过点
求证：AC=?BD.
例题4•.已知：如图，/
FM L AC.求证：FM=FD
练习
1. 如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5, —只蚂蚁如果要沿
着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）
2.如图，CD是Rt△ ABC斜边AB上的高，将△ BC［沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E 处,
则A= ______
3. . （2011?泰安）已知：在厶ABC中，AC=B（C Z ACB=90，点D是AB的中点，点E 是AB 边上一点.
（1）直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G （如图1）,求证：AE=CG
（2）直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M （如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明.
4. （2010?深圳）如图所示、△ AOB和厶COD均为等腰直角三角形，/ AOB M COD=90 , D 在AB上.
（1）求证：△ AOC^A BOD
（2 ）若AD=1, BD=2 求CD的长.
5. （2010?内江）如图，△ACD ffiA BCE都是等腰直角三角形，/ ACD2 BCE=90 , AE交CD 于点F, BD分别交CE AE于点G H.试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由.
6. （2002?崇文区）已知：如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90 , AC=B（C D是AB的中点，E、F分别在AC BC上，且ED丄FD.求证：S 四边形EDF= 1/2S △ABC.
7. 已知：沿折痕AC折叠长方形ABCD勺一边，使点D落在BC边上一点F,若AB=8且&ABF=24,求EG
线段垂直平分线与角平分线
知识点汇总：
（1）线段垂直平分线上的点到___________ 的距离相等。
（2）到一条线段_________ 距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（3 ）三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到_______________ 的距离相等。
（这个交点也叫三角形的__________________ 。
不同的三角形， __________________ 的位置不同：
_______________________ ）
（4）角平分线上的点到这个角的___________ 的距离相等。
（5）一个角的内部，且到角的两边___________ 相等的点，在这个角的平分线上。
（6）三角形三条角平分线相交于一点，交且这一点到______________ 的距离相等。
（这个点也叫三角形的___________ ，都在三角形的_____________ ）
例1.如图，已知△ ABC中，AB=AC / BAC=120 , DE垂直平分AC于E点，DE=2厘米，求BC的长.
A
例2.正方形ABCD 中, M 是BC 上一点，N 是CD 中点，且 AM=DC+CM 求证：AN 平分/ DAM
例 3.已知：如图，△ ABC / C=90 ° , CM!于BM AT 平分/ BA （交 CM 于 D,交 BC 于 T , 过D 作DE// AB 交BC 于E ,求证：CT=BE .
2. 如图，已知△ ABC 中，/ C=90°,Z B=15°, AB 的垂直平分线交 BC 于D 点，交 AB 于E 点，且BD=16厘米，求 AC 的长. r E A
3. △ ABC 中，AB=AC=9cm / BAC=120 , AD 是厶 ABC 的中线，AE 是/ BAD 的平分线，DF / AB 交AE 的延长线于F ,求DF
4. 如图，△ ABC 中，/ ABC,/ CAB 的平分线交于点 P,过点P 作DE// AB,分别交BC AC 于点
D E 求证：
DE=BD+AE
例4.如图，已知 AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的中线, 厘
米，AC=3厘米，/ C=60°,求BD 和DE 的长. BC=8
练习
1.已知：DE 是AB 的垂直平分线，FG 是AC 的垂直平分线，点 E 、G 在BC 上, BC=10cm 求 △ AEG 的周长。
F
5. (2011?日照)如图，已知点D为等腰直角△ ABC内一点CAD/ CBD=1°，£为AD 延长线上的一点，且CE=CA
(1)求证：DE平分/ BDC
(2)若点M在DE上，且DC=DM求证：ME=BD
6. (2011?綦江县)如图，等边△ ABC中，AO是/ BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD 为一边且在CD下方作等边△ CDE连接BE
(1)求证：△ ACD^A BCE
(2)延长BE至Q P为BQ上一点，连接CP CQ使CP=CQ=5若BC=8时，求PQ的长.。