使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,
交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,
A
∴△A′DE∽△A′B′C′.
又A′D=AB,
AB AC BC .B A' B' A'C' B'C'
A'B' B'C ' A'C ', AB BC AC
A’
D
E
C B’
C’
∴A′E=AC , DE = BC. ∴△A′DE∽△ABC, ∴△A′B′C′∽△ABC.
C
∴ ∠ADC= ∠CDB=90°.
AD CD . CD BD
∴△ADC∽△CDB.
AD
B
∴ ∠ACD= ∠B.
∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.
当堂练习
1. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使 △ABC
∽ △DBA的条件是
（D ）
A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CD·BC D. AB2=BD·BC
二 相似三角形的判定定理1的运用
例1：如图，D,E分别是△ABC的边AB,ACDE∥BC,
AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
DE∥BC,
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC D
(两角分别相等的两个三角形相似).
∴ AD DE .
AB BC
B
∴BC=14.
A E C
例2：如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，
A
E
D
O
C
课堂小结
利用两边及夹 角判定三角形
相似
定理2：两边对应成比例且夹角 相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理2的运用
讲授新课
一 相似三角形的判定定理3
我们来证明一下前面得出的结论： △A′B′C′∽△ABC.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知
在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,
A
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC. B
即 ∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=20°. ∴∠CAE=20°.
C
D E
例2:如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中， ∠C =∠C ′= 90°，且 A' B' A'C' 1 AB AC 2 求证：△ A′B′C′∽△ABC.
由此得到三角形的判定定理3：
三边成比例的两个三角形相似．
二 相似三角形的判定定理3的运用
例1:如图所示，在△ABC和△ADE中，AB BC AC .∠BAD=20°,
求∠CAE的度数.
AD DE AE
解：∵ AB BC AC , AD DE AE
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
3.△ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .
求证：△ ADE∽ △ ABC.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD+∠A=90°，
∠ACE+∠A= 90°.
∴ ∠ABD= ∠ACE.
又∵ ∠A= ∠A，
∴△ ABD ∽ △ ACE.
∴
AADE =AB AC.源自B∵ ∠A= ∠A，
∴ △ ADE ∽ △ ABC.
解：∵四边形EFCD是正方形，
∴ED∥BC,ED=DC=FC=EF.
∵∠ADE=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ABC.
AD ED . AC BC
AC DC ED , 7.5 DC DC .
AC BC 7.5
5
∴DE=3,即正方形的边长为3.
课堂小结
定理：两角分别相等的两个三角形相似 利用两角判定三
角形相似 相似三角形的判定定理1的运用
讲授新课
一 相似三角形的判定定理2
我们来证明一下前面得出的结论： △A′B′C′∽△ABC.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′
AB AC . A'B' A'C '
在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,
使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,
B
A C
D
2.已知在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠ A=∠A′= 90°，
AB=6cm，AC=4.8cm，A′B′=5cm，A′C′=3cm. 求证：△A′B′C′∽△ABC.
证明：Q AB 6 , AC 4.8 6 , A'B' 5 A'C ' 3 5
∠A=∠A′= 90°， ∴△ABC∽△ A′B′C′.
AB 4
AB AC
B
又∵∠EAD=∠CAB,
A
D C
∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
∴ DE AD 3 ∴BC=3.
BC AB 4
∴DE= 3 BC 9 .
4
4
例2:如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 AD CD
CD BD
求证：∠ACB=90°．
解： ∵ CD是边AB上的高,
BC 2 AB AC
因此△ A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似)
求证：△ADE∽△EFC.
A
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB.
∴∠AED＝∠C，
D
E
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
B
C F
（两角分别相等的两个三角形相似．）
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD的三个顶 点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5， 求正方形的边长.
交A′C′于点E.
A
∵DE∥B′C′,
∴△A′DE∽△A′B′C′.
D
A' D A' E .
B
A' B' A'C'
C B’
A’
E C’
∵A′D=AB， AB AC .
A' B' A'C'
A' D A' E AC . A' B' A'C' A'C'
∴A′E=AC. 又∠A′=∠A. ∴△A′DE∽△ABC， ∴△A′B′C′∽△ABC.
由此得到三角形的判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似．
二 相似三角形的判定定理2的运用
例1:如图所示，D，E分别是△ABC的边AC,AB上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3,且 AD 3 ，求DE的长.
AB 4
解：∵AE=1.5，AC=2，
∴
AE AC
3. 4
E
∵ AD 3 , ∴ AD AE .
证明：由已知条件得AB=2A′B′,AC=2A′C′ 从而 BC2 = AB2-AC2 =(2A′B′)2-(2A′C′)2
= 4A′B′ 2 – 4A′C′2 =4(A′B′2-A′C′ 2) = 4B′C′2 =(2B′C′)2.
由此得出，BC=2B′C′
从而 B 'C ' 1 A' B ' A'C ' .