导数专题四、零点问题【知识结构】【知识点】一、零点的定义：定义：一般地，如果函数)(x f y =在x α=处有实数根，即()0f α=，则α叫做这个函数()f x 的零点.1.函数值为零时x 的值；2.函数为零时，方程的解；3.函数的图象与x 轴交点；4.两个函数的交点；二、零点问题主要包括的题型包括： 1.是否有零点； 2.判断零点个数； 3.已知零点求参数 三、函数零点的判定：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点【考点分类】考点一、分类讨论求零点个数；【例1-1】（2014-2015年朝阳一模理18）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅱ） 当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.【答案】（Ⅱ）(1)()()x x a f x x--'=,0x >. （1）当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数;(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数. 所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. （ⅰ）当0a =时，2()2x f x x =-，由于0x >，令()0f x =，2x =，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；（ⅱ）当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；（ⅲ）当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.（ⅳ）当102a -<<时，即(1)0f <时，由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两个零点.不等式放缩：，0)1(2ln 2>+-+x a xx a 即可。

取a x a x x x x a x x a a x x -=>--∈>+-+-∴<<--≤,02)1,0(,0)1(2)1(,021,1ln 22，02)1231()123)(ln()1(2)ln()(22>=++-->++-=+++-=-a aa a aa a a a a a a a f)22(ln )2(1>-=>a f x 时，）内各有一个零点。

，和（在21)1,(a x -∈∴由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两个零点.(2)当01a <<时，(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数;(,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，()f x 在1x =处取极小值.21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞， 所以此时()f x 有一个零点.上有一个零点。

在)4,1(.0884ln )4(,22ln 2ln 2)(ln )(1,10222∈∴>-+>∴-+=-+->-+-=><<x f x x x xx x x xx x x a x f x a且x →+∞时，()f x →+∞， 所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数.）只有一个零点。

，在（）上单调递增，，在（为增函数。

所以）上恒成立，，在（时，∞+=∴∞+=>=<-+=∞+≥-==0)(0)(04ln )4(,0)1(,22ln )()(00)1()(122'x f y x f y f f x x x x f x f xx x f a2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，且0x →（从右侧趋近0）时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞.所以()f x 有一个零点.综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；102a -<<()f x 有两个零点.【例1-2】（2012-2013石景山期末理18）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数． （Ⅲ）讨论函数=()y f x 零点的个数．【答案】令()=ln +1=0f x x ax -，ln +1=x a x. 令 ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x-''-， 则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g .所以若>1a ，则()f x 无零点；若()f x 有零点，则1a ≤．若=1a ，()=ln +1=0f x x ax -，由（Ⅰ）知()f x 有且仅有一个零点=1x . 若0a ≤，()=ln +1f x x ax -单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较， 知()f x 有且仅有一个零点（或：直线=1y ax -与曲线=ln y x 有一个交点）.。

在定义域上有一个零点，即要使得时，显然时，在定义域上单增，时，显然只有一个零点，为)(,1ln ,1ln ,01-ln )(011)(1001-ln )(11-ln )(0.,1ln )(,0111111x f y a eax x e x xx a ax x x f ae ae e f x ax x x f x ax x x f a e x x x f a a a =∴<=+=+><+=>-=+--=<<>+=>+=<=+==------若0<<1a ，解1()==0f x a x '-得1=x a ，由函数的单调性得知()f x 在1=x a处取最大值，11()=ln >0f a a，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x 充分大时()<0f x ，即()f x 在单调递减区间1(,+)a∞有且仅有一个零点；又因为1()=<0a f e e -，所以()f x 在单调递增区间1(0)a，有且仅有一个零点.切线方法：。

没有交点，即没有零点与直线个零点；个交点，即有与直线点；有两个交点，即两个零与直线，得），，代入（切线方程为为切线斜率）切于（与设直线当x y ax y a x y ax y a x y ax y a k x x x x x y x k x x x y ax y a ln 1,111ln 1,1ln 1,10.111-0),(1ln ,1,ln ,ln 1,00000000=-=>=-===-=<<∴==-=-∴==-=>综上所述，当>1a 时，()f x 无零点； 当=1a 或0a ≤时，()f x 有且仅有一个零点； 当0<<1a 时，()f x 有两个零点. 【练1-1】（2015-2016朝阳期末文19）已知函数()(21)ln 2kf x k x x x=-++，k ∈R . （Ⅰ）当1k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当e k =时，试判断函数()f x 是否存在零点,并说明理由； （Ⅲ）求函数()f x 的单调区间.【答案】函数()f x 的定义域：),0(+∞∈x .2222)12)(()12(2212)(x x k x x k x k x x k x k x f -+=--+=+--='. （Ⅰ）当1k =时，x xx x f 21ln )(++=. 2)12)(1()(xx x x f -+='. 有3211ln )1(=++=f ，即切点（1,3），21)12)(11()1(2=-+='=f k . 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线方程是)1(23-=-x y ，即12+=x y .（Ⅱ）若e k =，e()(2e 1)ln 2f x x x x=-++. 2(e)(21)()x x f x x+-'=. 令0)(='x f ，得1e x =-（舍），212=x .则min 11e 1()()(2e 1)ln 22(1ln 2)e ln 21012222f x f ==-++⋅=-++>.所以函数()f x 不存在零点.（Ⅲ） 2)12)(()(xx k x x f -+='. 当0≤-k ，即0≥k 时，当10<-<k ，即01<<-k 时，当2=-k ，即2-=k 时，当21>-k ，即21-<k 时，综上0≥k 时，)(x f 的单调增区间是),21(+∞;减区间是)21,0(.当021<<-k 时，)(x f 的单调增区间是),0(k -,),21(+∞;减区间是)21,(k -.当21-=k 时，)(x f 的单调增区间是),0(+∞; 当21-<k 时，)(x f 的单调增区间是)21,0(，),(+∞-k ;减区间是),21(k -.【练1-2】（2015-2016西城期末文20）已知函数212f x x x =+（） ，直线l ：1y kx =- . （1）求函数f x （）的极值； （2）求证：对于任意k R ∈ ，直线l 都不是曲线f x （）的切线； （3）试确定曲线y f x =（）与直线l 的交点个数，并说明理由。

【答案】（1）212f x x x=+（）（x≠0） ∴ ()3442122x x x f x x x -'=-=（） 令f x '（）=0，得x=1，列表，得：∴在x=1处，f x （）有极小值为1f （）=3。

（2）假设1y kx =-是y f x =（）一条切线，设切点为()()00x f x ， 。

∴ 有()0000020312122k f f x x x x k x x +=-'⎧=⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩①（）②将②代入①中，得00002311222x x x x +=-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 即0231x =- 不成立 ∴ 对于任意k R ∈ ，直线l 都不是曲线f x （）的切线。