导数知识要点一、导数与积分1. 导数设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy ∆∆有极限（即xy∆∆无限趋近于某个常数），我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim)(00000/ 注：当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x0000/)()(lim )()(lim)(0x x x f x f x x f x x f x f x x ox --=∆-∆+=→→∆ 2. 导函数如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。

称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作)(/x f 或/y即 )(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00 注：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。

它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值。

3. 导数的几何意义函数)(x f 在0x x =处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率，因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。

例. 求曲线)2ln(+=x y 在点P ）0,1-（处的切线方程例. 经过原点）0,0（作函数233)(x xx f +=的图像的切线，则切线方程为4. 几种常见函数的导数 0'=C （C 为常数）1')(-=n n nx x （R n ∈） x x cos )(sin '=x x sin )(cos '-= x x 1)(ln '=x x e e =')(aa a x x ln )('= ax x a ln 1)(log '=5. 运算法则（1）导数的运算法则''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u （2）复合函数的求导法则)]([x u f y =的导数'''x u xu y y =例. 31292)(23-+-=x x x x f6. 定积分 （1） 概念如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，用分点b x x x x x x a n i i ==-πΛπππΛπππ1210将区间[]b a ,等分成n 个小区间，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点),,2,1(n i i Λ=ξ，作和式)()(11i ni ni i f n ab x f ξξ∑∑==-=∆，当∞→n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分，记作dx x f ba⎰)(，即)(lim )(1i ni n baf nab dx x f ξ∑⎰=∞→-= 这里a 和b 分别叫做积分的下限和上限，区间[]b a ,叫做积分区间，函数)(x f 叫做被积函数，x 叫做积分变量，dx x f )(叫做被积式.注 ：定积分数值只与被积函数及积分区间[]b a ,有关, 与积分变量记号无关⎰⎰⎰==ba babadu u f dt t f dx x f )()()(（2）性质 ① dx x f k dx x kf baba⎰⎰=)()( （k 为常数）② []⎰⎰⎰±=±baba b adx x f dx x f dx x f x f )()()()(2121③dx x f x f dx x f ba bca⎰⎰⎰=+)()()(c（b c a ππ）（3）微积分基本定理一般的，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()('x f x F =，那么)()()(a F b F dx x f ba -=⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式，为了方便，常常把)()(a F b F -记作b a x F )(，即)()()()(a F b F x F dx x f ba b a -==⎰. 例．计算下列定积分的值① ⎰-215)1(dx x② dx x ⎰-222cos ππ（4）常见定积分的公式 ①ban ba n x n dx x 111++=⎰ （1-≠n ）②ba baCx dx C =⎰ （C 为常数）③ ba ba x dx x cos sin -=⎰ ④ba bax dx x sin cos =⎰⑤ba bax dx xln 1=⎰⑥b ax ba xedxe =⎰（5）利用定积分求平面图形的面积 ① 画图象：在直角坐标系内画出大致图象② 确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定被积函数与积分的上下限 ③ 用牛顿-莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分 例. 如图，阴影部分的面积是A ．32B ．329-C ．332 D ．335二、导数的应用1. 函数的单调性设函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，导函数)(’x f 在区间),(b a 内满足0)('φx f ，则)(x f y =为增函数； 0)('πx f ，则)(x f y =为减函数设函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，导函数)(’x f 在区间),(b a 的任意子区间内都不恒等于0，则0)('≥x f ，则)(x f y =为增函数；0)('≤x f ，则)(x f y =为减函数注：①0)('φx f 是)(x f 递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)('φx f ，有一个点例外即x =0时0)0('=f ，同样0)('πx f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果)(x f 在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例1、判断下列函数的单调性及单调区间（1）x x x f ln 23)(2-= （2）1ln )(-=xxx f （3）2)1(2)(x e x x f x--= （4）2)(-=x e x f x（5）)20)(cos 1(sin )(π≤≤+=x x x x f例2、已知函数）常数（R a x xax x f ∈≠+=,0)(2.若函数)(x f 在[)∞+，2上单调递增，求a的取值范围.变式训练： 已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围例3、设函数)1ln()1()(++-=x a ax x f ，其中1-≥a ，求)(x f 的单调区间变式训练：已知函数1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f ，试判断函数单调性例4、当0>x 时，证明不等式 xe x 221<+变式训练：当1>x 时，证明不等式 )1ln(x x +>2. 函数的极值 （1）定义设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f π，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0极大值x f y =；如果对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f φ，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0极小值x f y =. 极大值与极小值统称为极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念。

由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。

并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（ⅱ）函数的极值不是唯一的。

即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。

即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。

而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有)(='xf。

但反过来不一定。

如函数3xy=，在0=x处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。

假设x使0)(='xf，那么x在什么情况下是的极值点呢？如上左图所示，若x是)(xf的极大值点，则x两侧附近点的函数值必须小于)(xf。

因此，x的左侧附近)(xf只能是增函数，即0)(>'xf。

x的右侧附近)(xf只能是减函数，即0)(<'xf，同理，如上右图所示，若x是极小值点，则在x的左侧附近)(xf只能是减函数，即0)(<'xf，在x的右侧附近)(xf只能是增函数，即0)(>'xf，从而我们得出结论：若x满足0)(='xf，且在x的两侧)(xf的导数异号，则x是)(xf的极值点，)(xf是极值，并且如果)(xf'在x两侧满足“左正右负”，则x是)(xf的极大值点，)(xf是极大值；如果)(xf'在x两侧满足“左负右正”，则x是)(xf的极小值点，)(xf是极小值。

例. 求函数44313+-=xxy的极值。

（2）判断)(xf是极值的方法当函数)(xf在点x处连续时，①如果在x附近的左侧0)(’φxf，右侧0)(’πxf，那么)(xf是极大值；②如果在x附近的左侧0)(’πxf，右侧0)(’φxf，那么)(xf是极小值.注：①若点x是可导函数)(xf的极值点，则)('xf=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数3)(xxfy==，0=x使)('xf=0，但0=x不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是极小值点 （3）求极值步骤： ① 确定函数的定义域； ② 求导数；③ 求方程/y =0的根，这些根也称为可能极值点；④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。