第三章 回归分析预测法
回归分析预测法就是从各种经济现象之间 的相互关系出发，通过对与预测对象有联 系的现象的变动趋势的回归分析，推算出 预测对象未来状态数量表现的一种预测方 法。
第一节 回归分析概述
一、回归的定义 二、回归模型的分类
一、回归的定义
回归是研究自变量与因变量之间的关系形式的分 析方法，其目的在于根据已知自变量值来估计因 变量的总体平均值。
模型；联立方程模型是指包含两个或两个 以上方程的回归模型。 单一方程的一元线性回归分析是其它回归 分析的基础，本章将主要介绍一元线性回 归预测法。
第二节 一元线性回归预测法
一元线性回归预测法是根据一元线性回归 模型中单一自变量的变动来预测因变量平 均发展趋势的方法。
一、一元线性回归模型
若用X代表自变量，Y代表因变量。则给定 一个自变量的值Xi时，对于一元线性回归模 型就有一个因变量的总体平均值E(Yi)与它 对应，其函数关系可写成E(Yi)=f(Xi)，它表 明Y的总体平均值是随着X的变化而变化的。 该函数亦称为总体回归函数。
一元线性回归样本函数17页(3-3)
Y ˆ i ˆ 0 ˆ 1X i
式中 , Y ˆ i为E（Yi）的估计式；
ˆ
0为
的估计式；
0
ˆ 1为1的估计式。
回归模型
对于样本中每一个与Xi相对的观测值Yi与由样本 回归函数得到的估计值有一随机偏差，这个偏差 称为样本剩余，记为ei。
样本回归函数
Yi Yˆ i ei ˆ 0 ˆ 1Xi ei
回归模型
回归分析就是要根据样本回归函数来估计总体回 归函数。
在这里需要解决的问题主要有两个： 其一是估计参数; 其二是“接近”的程度有多大。
二、最小二乘估计
建立样本回归函数的方法有许多，其中最 流行的是最小二乘法（OLS）。
1.最小二乘准则 2.最小二乘估计式
1.最小二乘准则
．当给定样本X和Y的N对观测值时，我们 希望据此建立的样本回归函数值应尽可能 接近观测值Yi，使其样本剩余的平方和尽可 能地小，即ei2min。这一准则就是最小 二乘准则。
在研究某一社会经济现象的发展变化规律时，经 过分析可以找到影响这一现象变化的原因。在回 归分析中，把某一现象称为因变量，它是预测的 对象，把引起这一现象变化的因素称为自变量， 它是引起这一现象变化的原因。而因变量则反映 了自变量变化的结果。
回归
自变量与因变量之间的因果关系可以通过 函数形式来表现，用数学模型来体现两者 之间的数量关系。自变量的值是确定的， 而因变量的值是随机的。
经济预测与决策
之三 回归分析预测法
本章学习目的与要求
通过本章的学习，了解回 归分析预测法的概念；掌握回 归分析中各系数的计算方法及 回归预测方法。
本章学习重点和难点
重点是一元线性回归预 测法。
难点是区间估计。
本章内容提示
第一节 回归分析概述 一、回归的定义 二、回归模型的分类 第二节 一元线性回归预测法 一、一元线性回归模型 二、最小二乘估计 三、拟合优度的度量 四、相关系数检验法 五、最小二乘估计式的标准误差 六、回归预测
一元线性回归模型的基本形式为：
E(Yi)=β0+1Xi
（3-1）
或 Yi=E (Yi)+ui=β0+1Xi+ui （3-2）
其中β0、1是未知而固定的参数，称为回 归系数，ui称为随机扰动项。
在回归分析中，我们要根据Y和X的观测
值来估计未知的β0和1的值，进而建立回 归模型。
回归模型
通常我们是通过Y和X的样本观测值建立样本回归 函数来估计参数的。
回归函数中，确定的自变量值所对应的是 随机的因变量值的总体平均值。
二、回归模型的分类
1.按模型中自变量的多少，分为一元回归模 型和多元回归模型。
一元回归模型是指只包含一个自变量的回 归模型；
多元回归模型是指包含两个或两个以上自 变量的回归模型。
1.按模型中自变量的多少
分为一元回归模型和多元回归模型。 一元回归模型是指只包含一个自变量的回
图3-1
Y Yi
.
0
.e
.
.
.
Xi
X
2.最小二乘估计式
根据最小二乘准则建立样本回归函数的过 程为最小二乘估计，简记OLS估计。
由此得到的估计值得计算式称为最小二乘 估计式。
双变量线性回归模型的最小二乘估计
Yˆ i ˆ 0 ˆ 1Xi Yi Yˆ i ei ei Yi Yˆ i Yi ˆ 0 ˆ 1Xi
ei 0 eiXi 0
双变量线性回归模型的最小二乘估计式
ˆ 1
NXi Yi XiYi
NX
2 i
(X i
)2
ˆ 0
Yi N
ˆ 1
X i N
(3 - 5) (3 - 6)
双变量线性回归模型的最小二乘估计式
ˆ 1
(Xi X)(Yi (Xi X)2
Y)
ˆ 0 Y ˆ 1X
(3 - 7) (3 - 8)
2．可决系数பைடு நூலகம்
拟合优度通常用可决系数来度量。可决系 数是样本回归直线对数据拟合程度的综合 度量。在双变量的情况下，通常用r2表示可 决系数。
最小二乘估计式
ˆ 1
x i yi
x
2 i
ˆ 0 Y ˆ 1X
三、拟合优度的度量
1．拟合优度 2．可决系数
1．拟合优度
拟合优度是指样本回归直线对观测数据拟 合的优劣程度。
如果全部观测值都在回归直线上，我们就 获得“完全的”拟合，但这是罕见的情况， 通常都存在一些正ei或负ei。我们所希望的 就是围绕回归直线的剩余尽可能的小。
归模型； 多元回归模型是指包含两个或两个以上自
变量的回归模型。
2.按模型中自变量与因变量之间 是否线性
分为线性回归模型和非线性回归模型。线 性回归模型是指自变量与因变量之间呈线 性关系；
非线性回归模型是指自变量与因变量之间 呈非线性关系。
3.按模型中方程数目的多少
分为单一方程模型和联立方程模型。 单一方程模型是指只包含一个方程的回归
ei 2 (Yi ˆ 0 ˆ 1Xi ) 2
双变量线性回归模型的最小二乘估计
由最小二乘准则：ei2min 有：
e
2 i
ˆ 0
(Yi
ˆ 0 ˆ 1X i ) 2 ˆ 0
0
e
2 i
ˆ 1
(Yi
ˆ 0 ˆ 1X i ) 2 ˆ 1
0
2 (Yi ˆ 0 ˆ 1Xi ) 0 2 (Yi ˆ 0 ˆ 1Xi )Xi 0