第一章 引论1、当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个 阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?（12分）答：一般会有以下几阶段：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果；建模过程中肯能会产生的误差：模型误差，观测误差；选用数值方法可能会产生的误差：截断误差；计算过程中可能会产生的误差：舍入误差和传播误差。
第二章 多项式插值1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）（2）解(1)：方法一. 由 Lagrange 插值公式)()()()()(332211003x l f x l f x l f x l f x L ⋅+⋅+⋅+⋅=)1)((31)2)()(1()1)(()(2123210---=-----=x x x x x x x l ,))(1(2)1)()(1()(21221211--=--+=x x x x x x l ，2823311222(1)(1)()(1)()x x x l x x x +-==--⋅⋅-, )()1(12)()1()(2121213-+=⋅⋅-+=x x x x x x x l . 可得： )21()(23-=x x x L5、已知)(x f 在4)1(0,=i x i 的函数值如下表i x0 1 2 3 4 )(i x f0 1 8 27 64利用插值公式计算)5.0(f 的值。
（12分）解：函数)(x f 的差分表如下i x i f i f ∆ i f 2∆ i f 3∆ i f 4∆0 011 1 67 62 8 12 019 63 27 18374 645.01/)05.0(5.0=-==t x ，则，由Newton 向前插值公式，可分别求得5.05.010!1)(001=⨯+=∆+=t f f x N 25.0)1(!2!1)(02002-=-∆+∆+=t t f t f f x N125.0)2)(1(!3)()(0323=--∆+=t t t f x N x N125.00125.0)3)(2)(1(!4)()(0434=+=---∆+=t t t t f x N x N第四章、数值积分算法梯形公式：()[()()]2bab af x dx f a f b -≈+⎰中矩形公式：()()()2ba a bf x dx b a f +≈-⎰辛普生公式：()[()4()+()]62bab a a bf x dx f a f f b -+≈+⎰梯形公式和中矩形公式都具有一次代数精度，而辛普生公式具有三次代数精度。
4． 试给出],[b a 上复化辛普森求积公式, 并描述其自适应算法.复化辛普生公式自适应求积算法的具体步骤： 步1：11,,()4()()62a b n h b a s f a f f b +⎡⎤←←-←++⎢⎥⎣⎦； 步2：1113{2[()][()]2[()]}424n k s f a k h f a k h f a k h -=←++-+++++∑，21126hs s s ←+； 步3：判断12?s s ε-<，若是，转步5； 步4：122,,2hn n h s s ←←←转步2；步5：输出s 2；4、利用辛甫生求积公式计算积分：dx x⎰+10112，并估计其误差 。
（10分）(注意与复化辛普生公式的区别) 解：由辛甫生求积公式，)]1()(4)0()[01(216110112f f f dx x++-≈⎰+78333.0]41[6047215461≈=+⋅+=785488.041010112≈==⎰+πarctgx dx x误差：210216.078333.078549.0-⨯=-≤s R1、已知函数)(x f 在],[b a 上的各离散点: b x x x x x a n n =<<<<<=+122321处的函数值 )(i x f , 12,,2,1+=n i . 试构造)(x f 在],[b a 上的分段2次 插值多项式.2.已知函数)(x f 在],[b a 上的各离散点: b x x x x x a n n =<<<<<=-1210处的函数值 )(i x f , n i ,,2,1,0 =.1) 构造)(x f 在],[b a 上的分段线性插值多项式.2) 假定)(x f 在],[b a 上有连续的2阶导数, 试估计以上分段插值的误差.2.设2)(x x f =，求)(x f 在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(x f h ，并估计误差，取等距节点，且10/1=h .解 2)(x x f =，ih x i = ， 10,,1,0 =i ， 101=h设 1+≤≤i i x x x ，则： ii ii i i i i h x x x x x f x x x x x f x f --+--⋅=++++1111)()()( h ihx h i h h i x h i -++-+-⋅=22))1(()1()( 100)1(10)12(+-+=i i x i 误差估计：))1(()(!2|)()(|max)1(h i x ih x f x f x f hi x ix h +--''≤-+≤≤.第五章 线性代数方程组的解法(高斯消去法、迭代法)1、 用Gauss 逐步消去法解方程组123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：消元：第1步：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--230110*********x x x 第2步：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2132121300120121x x x回代：1 ,1 ,1321=-==⇒x x x2、利用Gauss 顺序消元法求解方程组:(要求写出消元过程和回代过程)⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-=++151241252962321321321x x x x x x x x x . （10分） 解：消元过程：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---22001910909621211290191090962115121412529621 ⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=++(3)22 (2) 19109 (1) 962332321x x x x x x回代过程： 由（1）得： 13=x代入（2）⇒ 12=x均回代到（1）⇒ 11=x∴ 11=x ， 12=x ， 13=x3、用Gauss 顺序消元法求解方程组:(要求写出消元过程和回代过程)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+--=+-1242222321321321x x x x x x x x x . （10分） 解：消元过程：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------130023102211763023102211121421122211 ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+--=+-(3)13 (2) 23 (1) 22332321x x x x x x回代过程： 由（1）得： 313=x代入（2）⇒ 32=x均回代到（1） ⇒ 311=x ∴ 311=x ， 32=x ， 313=x 4、 用列主元消去法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡035232011120321x x x . 解： 第1步：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡530120011232321x x x 第2步：1122323200130215x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 第3步：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3501012023232121x x x第4步：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-417321435000120232x x x 回代：17,16 ,7321-==-=⇒x x x 6、已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-+-=-+-34212565321321321x x x x x x x x x 分别写出求解方程组的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式， 并判别两种迭代格式的收敛性 .（12分） 解: 求解方程组的Jacobi 迭代格式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-=+-=+++43)(221)(141)1(351)(352)(151)1(256)(351)(251)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x求解方程组的Seidel Gauss -迭代格式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-=+-=++++++43)1(221)1(141)1(351)(352)1(151)1(256)(351)(251)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 收敛性：由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=421251115A 是严格对角占优矩阵因而，求解方程组的Jacobi 迭代格式收敛。
因 1)(2>B ρ, Gauss-Seidel 迭代方法发散。
7．(P 203)试分别给出求解线性代数方程组B AX =的Jacobi 迭代、Gauss —Seidle 迭代 解：将)(ij a A =分裂为U L D A --= 其中),,,(2211nn a a a diag D =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-00001,121n n n a a aL，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-000,1112n n n a a a U,Jacobi 迭代方法若0≠ii a ，迭代格式g x G x k J k +⋅=+)()1( ①其中Jacobi 迭代矩阵：)(1U L D G J+=-；(若该矩阵的特征值的绝对值的最大的值小于1就是收敛，反之发散)b D g 1-=①式可写为分量形式0][11)()1(≥-=∑≠=+k x a b a xnij j k j ij i ii k i, . （*1） 方法（*1）或①称为Jacobi 迭代方法. Gauss —Seidle 迭代方法若0≠ii a ，迭代格式g x G x k G k +⋅=+)()1( ②其中，Gauss-Seidel 迭代矩阵：U L D G G1)(--=(若该矩阵的特征值的绝对值的最大的值小于1就是收敛，反之发散)b L D g 1)(--=其分量形式][11)(11)1()1(∑∑+=-=++--=ni j k j ij i j k j ij i ii k ix a x a b a x,n i ,,2,1 =. （*2） 即，在计算新分量)1(+k i x 时，利用新值)1(+k jx ，1,,2,1-=i j 。