导数之一：导数求导与切线方程
本章节知识提要
微积分战施定瑚
曲边梯形的ifti枳卜―|定积分|——q变連直线运动的胳程
1!
玉硕分在几何、物理中的简单应用］
考试要求1•导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.
2•导数的运算
（1）能根据导数定义，求函数y= c（c为常数）,y= x, y= x2, y= x3, y= £, y=vx 的导数；
（2）能利用基本初等函数的导数公式和导
数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax + b）的复合函数）的导数•
3•导数在研究函数中的应用
⑴了解函数单调性和导数的关系，能利用导
数研究函数的单调性，会求函数的单调区间
(其中多项式函数一般不超过三次);
(2) 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
4•生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题•
5.定积分与微积分基本定理
⑴了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；
(2) 了解微积分基本定理的含义
导数(1)：求导与切线
【知识点梳理】
1.求导公式与求导法则：
C' 0 ；(x n)' nx n 1；(sin x)' cosx ；(cosx)' sinx・
2. 法则 1
(cf(x))' c.f(x)
法则2 [f(x) g(x)]' f '
(x) g '
(x)・
法贝V 3 [f(x)g(x)] f'(x)g(x)
f(x)g'(x) ,
[cf(x)] cf'(x).
法则 4：
5化(〔(恥)(g(x) 0)
g(x)
g (x)
3•利用导数求曲线的切线方程：函数y f(x)在点 x o
的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点P (x 0
,y o
)处 的切线
的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点p(x °,y °
)处 的切线斜
率是f(x o
),切线的方程为y y o
f(G(x x o
) 曲线f(x)在
A ( m,n )处的切线方程求法：
① 求函数f(x)的导数f ' (x).
② 求值：f ' (m)得过A 点的切线的斜率 ③ 由点斜式写出切线方程： y -n = f '
(m)(x-m)
【精选例题】
例1 .求下列函数的导函数 1. f (x) x 2. f (x) e 2
3. y=2x+3
(In x)'
x x
(e )' e
(a x )' a x l na
4. f(x) x
5.y=x2+3x-3
6. y
7. f (x) 2x1 nx 8. f(x) sin(x) 2x‘9. f(x)也2x
x
例2：.求函数y x2 1在—1,0, 1处导数
例3：已知曲线y〕x3上一点P ( 2, ?),求点P
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处的切线的斜率及切线方程？例4：已知曲线y (1) 求曲线在点P(2, 4)处的切线方程；⑵
求曲线过点P(2, 4)的切线方程。
分析：“该曲线过点P(2, 4)的切线”与“该曲线在点P(2,4)处的切线方程”是有区别的：过点P(2,4)的切线中，点P(2, 4)不一定是切点；在点P(2, 4)处的切线中，点P(2,4)是切点。
例5：曲线y 5.x上与直线y 2x 4平行的切线方程分析：首先对y 5 ｛求导，因为与直线平行所以切线的斜率为2,再根据斜率等于2求出切点，再用直线的点斜式方程写出就得，
『基础训练A组〗
1 •已知函数f(x) xlnx,则 f (x)()
A、x2 i
B、x In x +1
C、In x + 1
D、x +1 2. y=ln丄，则y'等于()
x
B.-x
C.
D.
3•.函数y ax2 1的图象与直线y x相切，则a等于
()
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
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4.曲线y 2x2 1在P（-1,3）处的切线方程为（
）
A. y 4x 1
B. y 4x 7
C. y 4x 1
D. y 4x 7
5.已知直线y kx 1 ^与曲^线y x3 ax b切于点（1,
3）
则b的值为（)
A. 3
B. -3
C. 5
D. -5
6.若曲线y x4的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直，
则1的方程为（)
A ・4x y 3 0
B . x 4y 5 0
C . 4x y 3 0
D. x 4y 3 0
7 .若函数y mx2mn的导数为
y 4x3,则
m=,n=
4
&若曲线y=[+x过点P的切线垂直于直线y= 4x，求这条切线的方程
9 •已知曲线y 1x3上一点P （2, 8）,求点P处的
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切线的斜率及切线方程?
〖提高训练B组〗
10.曲线y |x2上哪一点的切线与直线y 3x 1平行
11 ・已知曲线C: y=ax4+bx3+cx2+dx+e过点A (0, —1)且关于y轴对称，若C在x=1处的切线方程2x+y —2=0,求曲线C的方程。
12•若函数y= x3—3x + 4的切线经过点(—2,2), 求此切线方程.
【解析】设切点为P(x o, y o)，则由
y'= 3x2—3得切线的斜率为k = 3x6 — 3.
所以函数y= x3—3x + 4在P(x o, y o)处的切线方程为
y—y o= (3x2o—3)(x—x o).
又切线经过点(—2,2)，得
2 —y o= (3x0 —3)( —2 —x o)，① 而切点
在曲线上，得y o= x3o—3x o＋4，②
由①②解得x o= 1 或x o=— 2.
则切线方程为y= 2 或9x—y＋2o= o
13.设曲线y=x3—3x在点P处的切线i过点(0,
16)，试求l 的方程.。