i
C
U
i C dU dt
(3)Electrical Inductance
L i
U
U L di dt
Differential Equations for Ideal mechanical Elements
(4) Mass block
F
v M
F M dv
dt
11
(5) Spring
x1 F
k x2
uo
(t)
ui
(t)
力-电压相似
机械
电阻
电阻
弹性系数 弹性系数
R1
R2
K1
K2
电气
阻尼
阻尼
B1
B2
1/C1
1/C2
• 机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理 系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络）
广义上是指表达自然界或社会现象某些特 征本质的数学表达式，也称为数学方程。
实际上,对于任何一个确定的系统，都可以用 微分方程、差分方程、传递函数、状态方程、频率 特性等数学表达式来描述。而微分方程是最基本的。
微分方程的几个简单实例
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较 为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为 容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
输出（已知）
• 已知知识和辨识目的
• 实验设计--选择实验条件 • 模型阶次--适合于应用的适当的阶次 • 参数估计--最小二乘法 • 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模
型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。
本章讲怎样建立控制系统的数学模型 数学工具：微分方程
微分方程数学模型
利用达伦贝尔动力平衡原理建模
• 请建立如图系统的微分方程模型
Example :mass-spring-damper
ky
cy
k
y
c
M
y
M
f(t)
f(t)
达伦贝尔力平衡原理
M d 2 y(t) c dy ky(t) f (t)
dt 2
dt
古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫
•
基尔霍夫在柯尼斯堡大学读物理，1847年毕业后去柏林大学任教，
3年后去布雷斯劳作临时教授。1854年由R.W.E.本生 推荐任海德堡大学教授。
1875年到柏林大学作理论物理教授，直到逝世。
•
1845年，21岁时他发表了第一篇论文，提出了稳恒电路网络中电
流、电压、电阻关系的两条电路定律,即著名的基尔霍夫第一电路定律和基
尔霍夫第二电路定律，解决了电器设计中电路方面的难题。后来又研究了
ui
uo
1 c
idt
LC
d 2uo dt 2
uo
ui
example
Example1 :RLC circuit
R
i(t)
Ui(t)
L C Uo(t)
基尔霍夫电压定律
ui
(t
)
Ri(t)
L
di(t dt
)
uo
(t
)
i(t) C duo (t) dt
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
本课程将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模 的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分 常用的数学工具之一。
Differential Equations for Ideal electric Elements (1) Electrical Resistance
R i
U
iU R
9
(2) Electrical Capacitance
电路中电的流动和分布，从而阐明了电路中两点间的电势差和静电学的电
势这两个物理量在量纲和单位上的一致。
•
1859年，基尔霍夫做了用灯焰烧灼食盐的实验。在对这一实验现
Kirchhoff，Gustav Robert
象的研究过程中，得出了关于热辐射的定律，后被称为基尔霍夫定律：基 （1824～1887）
尔霍夫根据热平衡理论导出，任何物体对电磁辐射的发射本领和吸收本领
(6) Damper
v1 F
v2 c
F
k ( x2
x1 )
k
dx dt
F
c(v1
v2 )
c
dv dt
从元器件到简单系统
• 利用机械动力学基础知识，也即达伦贝尔动 力平衡原理建模（机械控制系统）。
• 利用基尔霍夫定律建模（电子控制系统）。
达伦贝尔原理
• 在物理学历史上，关于如何量度机械运动， 用动量还是动能？曾经有过长达半个多世纪 的激烈争论。1743年，达伦贝尔在《动力学 论》中指出：“力既可以表示为在单位时间 内的运动改变（即动量）；又可以表示为单 位距离内的运动改变（即动能）” ，才使之 趋于平息。这次争论的直接后果是功能概念 的形成和分析力学的建立。
的比值与物体特性无关，是波长和温度的普适函数，即与吸收系数成正比。
并由此判断：太阳光谱的暗线是太阳大气中元素吸收的结果。这给太阳和
恒星成分分析提供了一种重要的方法，天体物理由于应用光谱分析方法而
进入了新阶段。1862年他又进一步得出绝对黑体的概念。
•
在海德堡大学期间，他与化学家本生合作创立了光谱化学分析法。
第2章
控制系统的数学模型 ------从物理实在到数学模型
2012.9.24
数学模型的几种表示方式
数学模型
时域模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
建立控制系统数学模型的方法
• 分析法－对系统各部分的运动机理进行分析， 物理规律、化学规律。
• 实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输 出响应。
Ri
1 c
Hale Waihona Puke idtuiu0
1 c
idt
du0 i dt c
c du0 i dt
RC du0 dt
u0
ui
解（b）题，依照基尔霍夫定律得
1
c idt Ri ui
u0 Ri
1
RC
u0dt u0 ui
RC du0 dt
u0
ui
解（c）题，依照基尔霍夫定律得
L
di dt
1 c
idt
把各种元素放在本生灯上烧灼，发出波长一定的一些明线光谱，由此可以
极灵敏地判断这种元素的存在。利用这一新方法，他发现了元素铯和铷。
利用基尔霍夫定律建模
基尔霍夫电压定律：电网络闭合回路中电势的代数和等于回路中电压降的 代数和。 基尔霍夫电流定律：某节点的流出电流之和等于所有流进电流之和。
例题
解（a）题：依基尔霍夫电压定律得电路方程
分析法建立系统数学模型的步骤
• 建立物理模型。 • 列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛
顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守 恒定律等）
• 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅 在建立状态模型时要求），消去中间变量， 建立适当的输入输出模型或状态空间模型。
实验法－基于系统辨识的建模方法
输入（已知） 黑匣子