高三数学《解三角形》题型归纳（含解析）题型一：求某边的值（1）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c .已知25,2,cos 3a c A ===，则b =_______.（2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ， AD ＝10， AB ＝14， ∠BDA ＝60︒， ∠BCD ＝135︒ ，则BC ＝ ．（3）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若a 2－c 2＝3b ，且sin B ＝8cos A sin C ，则边b ＝ ．（4）钝角△ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝ 2 ，则AC ＝ ．（5）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．（6）在ABC △中，已知3,120AB A ==o，且ABC △的面积为1534，则BC 边长为______．（7）在ABC △中，已知5,3,2AB BC B A ===,则边AC 的长为________．答案：（1）3 （2）8 2 （3）4 （4） 5 （5）8 （6）7 （7）26题型二：三角形的角（1）在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝________．（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，已知85,2b c C B ==,则cos C = （3）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=．则A =________. （4）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，且cos sin a cA C=，则A =________. （5）在△ABC 中，若tan :tan :tan 1:2:3A B C =，则A =________.（6）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A B C >>, 320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C =________.答案：（1）－1010（2）725（3）π3A =解析：tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B C B b B A B+=⇒+= 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B +=， ∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=，∴1cos 2A = ∵0πA <<，∴π3A =． （4）4π（5）6π（6） 6:5:4题型三：三角形面积的最值问题（1）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则ABC ∆面积的最大值为_________．（2）已知ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边依次为a b c ，，，外接圆半径为1，且满足，则ABC ∆面积的最大值为___________. （3）在ABC ∆中，若222,8AB AC BC =+=,则ABC ∆面积的最大值为___________.（4）若2,AB AC ==，则ABC ∆面积的最大值为___________.（5）已知ABC ∆面积S 和三边,,a b c 满足：()22,8S a b c b c =--+=则ABC ∆面积的最大值为___________.答案：（1解析 由2a =，(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-得()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-．由正弦定理得222()()(),a b a b c b c b c a bc +-=-+-=，1cos ,23A A π==．因为222b c a bc +-=，所以22224,42,4b c bc b c bc bc bc +-=+=+≥≤，当且仅当b c =时取等号．所以1sin 2ABC S bc A =≤V（2）解析:由可得,即,也即A B A C B A cos sin cos sin 2cos sin -=,故A C B A cos sin 2)sin(=+,也即1cos 2=A ,则060=A ,由正弦定理可得再由余弦定理可得cb b c 3)(32-+=,即cb b c cb 4)(332≥+=+,所以3≤cb ,（3（4） （5）6417题型四：求三角形边的最值或范围（1）已知ABC ∆是锐角三角形，若B A 2=，则_______. （2）在锐角ABC ∆，若2C B =，则cb的取值范围是_______. （3）设A 是ABC ∆的最小角，它所对的边为a ，若，1cos 1a A a -=+，则a 的取值范围是_______.（4）在△ABC 中，若3sin 2sin C B =，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则值范围为 ．（5）在钝角ABC ∆中，已知1,2a b ==，则最大边的取值范围是 .（6）已知顶点在单位圆上的△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos a c B b C =+，若b a ≥，则2b c -的取值范围是 .（7）在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 .答案：（1解析：由题意得，在ABC ∆中，由正弦定理可得为B A 2=，又因为锐角三角形，且（2（3）[)3,+∞ 解析：A B C π++=,所以,A B A C ≤≤，所以3,03A A ππ≤<≤，所以1cos 12A ≤<，所以答案为[)3,+∞ （4）17(,)48（5）()3,5 解析：因为是钝角三角形的最大边,所以C 是最大角.22212+>c 即52>c ,5>∴c 或5-<c （舍）,又1212+<<-c ,35<<∴c ,故应填()3,5.（6）[3,23) 解析：由已知可得：1cos 2A =，得3A π=， 由2sin sin b cB C==，得2sin b B =，2sin c C =， 所以224sin 2sin 4sin 2sin()3sin 3cos 3b c B C B B B B π-=-=--=-23sin()6B π=-．因为b a ≥，所以233B ππ≤<，即662B πππ≤-<， 所以223sin()[3,23)6b c B π-=-∈． （7）（62-，6+2）解析：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B =∠C =75°，∠E =30°，BC =2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE =6+2，题型五：求三角形中角的最值或取值范围（1）ABC∆各角的对应边分别为cba,,，满足1≥+++baccab，则角A的范围是______. （2）在锐角三角形ABC中，若sin2sin sinA B C=，则tan tan tanA B C的最小值是 . （3）已知ABC∆中，角A B C，，的对边依次为a b c，，，若cos2cos22cos2A B C+=,则cos C的最小值是 .（4）在ABC∆中，角A B C，，的对边依次为a b c，，，若222,,a b c成等差数列，则cos B 的最小值是 .（5）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a bc+=，则cos C的最小值是 .答案：（1）]3,0(π解析：（2）8 解析（3）12（4）12解析：2222b a c=+，22222221cos222a cb b bBac ac a c+-==≥=+，当且仅当a c=时等号成立.（5）12解析：因为2a bc+=,所以2222222cos22a ba ba b cCab ab+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b aa b⎛⎫=+-≥⎪⎝⎭，当且仅当a b=时，等号成立.故cos C的最小值为12题型六：判断三角形的形状（1）在三角形ABC 中，三边a 、b 、c 满足::21)a b c =，则三角形的形状为________.（2）在ABC ∆中，设,,,BC a CA b AB c ===u u u r r u u u r r u u u r r 若,a b b c c a ⋅=⋅=⋅r r r r r r则三角形的形状为________.（3）在ABC ∆中，若22tan :tan :,A B a b =则三角形的形状为________.答案：（1）锐角三角行 解析：a b c <<Q 则c 边最大，且24c =+228a b +=， 222c a b ∴<+，则最大角C 为锐角，所以三角形为锐角三角形（2）等边三角形 解析：0a b c ++=r r r rQ ，22,()a b c a b c ∴+=-+=r r r r r r ，2222a b a b c ∴++⋅=r r r r r 同理2222b c b c a ++⋅=r r r r r ，两式相减，得22222()a c a b b c c a -+⋅-⋅=-r r r r r r r r ，Q a b b c ⋅=⋅r r r r，∴2a r =2c r ，a c =r r ，同理a b =r r ，∴a b c ==r r r ，故ABC ∆是等边三角形。

（3）等腰三角形或直角三角形 ：由已知条件及正弦定理可得22sin cos sin cos sin sin A B AA B B=，,A B Q 为三角形的内角，sin 0,sin 0A B ∴≠≠，sin 2sin 2,22A B A B ∴=∴=或22A B π=-，A B ∴=或 2A B π+=，所以ABC ∆为等腰三角形或直角三角形。