中考相似三角形经典综合题解析1、（2013哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。

设运动时间为t秒．(1)求线段BC的长；(2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。

设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：(3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF=33QG?(1)解：如图l∵△AOB为等边三角形∴∠BAC=∠AOB=60。

∵BC⊥AB ∴∠ABC=900∴∠ACB=300∠OBC=300∴∠ACB=∠OBC ∴CO=OB=AB=OA=3∴AC=6 ∴333(2)解：如图l过点Q作QN∥0B交x轴于点N ∴∠QNA=∠BOA=600=∠QAN ∴QN=QA∴△AQN为等边三角形∴NQ=NA=AQ=3-t∴NON=3- (3-t)=t∴PN=t+t=2t∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ∴OE PO QN PN=∴132OEt=-∴3122OE t=-∵EF∥x轴∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=300∴EF=BE∴m=BE=OB-OE13 22t=+(0<t<3)(3)解：如图211180120BE F BEF EBF EFB ∠=∠=-∠-∠=∴∠AEG=600=∠EAG∴GE 1=GA ∴△AE’G 为等边三角形1113312222QE BE BQ m t t t t =-=-=+-=- 11113122QE GA AE AB BE BQ t QE ∴===--=-= ∴∠l=∠2 ∠3=∠4∵∠l+∠2+∠3+∠4=1800∴∠2+∠3=900即∠QGA=900∵EF ∥OCBF BE BC BO ∴=333332233BF m BF m t ∴=∴==+313322BC CF -=- 3CP CO OP t =-=-3133322633t CF t CP CB CA --∴===∵∠FCP=∠BCA ∴△FCP∽△BCA．32PF CP t PF AB CA -∴=∴=∵2BQ —PF=33QG ∴33312(33)2322t t t --=⨯-∴t=1∴当t=1 时，2BQ —PF=33QG2、（2013•天津）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，0），点B （0，4），点E 在OB 上，且∠OAE=∠0BA ．（Ⅰ）如图①，求点E 的坐标；（Ⅱ）如图②，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连接A ′B 、BE ′．①设AA ′=m ，其中0＜m ＜2，试用含m 的式子表示A ′B 2+BE ′2，并求出使A ′B 2+BE ′2取得最小值时点E ′的坐标；②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．解：（Ⅰ）如图①，∵点A（﹣2，0），点B（0，4），∴OA=2，OB=4．∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，∴△OAE∽△OBA，∴=，即=，解得，OE=1，∴点E的坐标为（0，1）；（Ⅱ）①如图②，连接EE′．由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2﹣m．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20．∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=m．又BE=OB﹣OE=3，∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）．②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴==，∴AA′=×2=，∴EE′=AA′=，∴点E′的坐标是（，1）．3、（2013•淮安压轴题）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．（1）当ι=7时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．①求s与ι之间的函数关系式；②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．：解：（1）在直角△ABC中，AC==4，则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P 和Q之间的距离是：3+4+5﹣4.5=7.5．根据题意得：（t﹣4.5）+2（t﹣4.5）=7.5，解得：t=7．（2）Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒．则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1．当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=PC．△AQH∽△ABC，在直角△AQH中，AQ=2t﹣4，则QH=AQ=．∵PC=BC﹣BP=3﹣t，∴×（2t﹣4）=3﹣t，解得：t=；（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t﹣3，BQ=2t ﹣9，即AQ=5﹣（2t﹣9）=14﹣2t．同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：（14﹣2t），故s=（2t﹣9）×（14﹣2t）=（﹣t2+10t﹣2）．故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．（如图2）．∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，∴PD一定是AC的中垂线．则AP=AC=2，PD=BC=，则S△APD=AP•PD=×2×=．AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4．则PC边上的高是：AQ=×4=．则S△PCQ=PC•=×2×=．故答案是：7．4、如图，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC＝k·AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．（1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明．（2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并证明变化后∠ANB与∠BAE的关系．解：（1）∠ANB+∠BAE=180°．证明：（法一）如图，延长AN到F，使MF=AM，连接DF、EF．∵点M是DE的中点，∴DM=ME，∴四边形ADFE是平行四边形∴AD∥EF，AD=EF∴∠DAE+∠AEF=180°∵∠BAC+∠DAE=180°∴∠BAC=∠AEF∵AB=kAE，AC=kAD∴AB AE =AC AD∴AB AE =AC EF∴△ABC∽△EAF∴∠B=∠EAF ABCEMDN∵∠ANB+∠B+∠BAF=180°∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180°即∠ANB+∠BAE=180°（法二）如图，延长DA到F，使AF=AD，连接EF．∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°∴∠BAC=∠EAF∵AB=kAE，AC=kAD∴AB AE =AC AD∴AB AE =AC AF∴△ABC∽△AEF∴∠B=∠AEF∵点M是DE的中点∴DM=ME，又∵AF=AD∴AM是△DEF的中位线∴AM∥EF∴∠NAE=∠AEF∴∠B=∠NAE∵∠ANB+∠B+∠BAN=180°∴∠ANB+∠NAE+∠BAN=180°即∠ANB+∠BAE=180°．（2）变化．如图，∠ANB=∠BAE．选取（ⅰ），如图．证明：延长AM到F，使MF=AM，连接DF、EF．∵点M是DE的中点∴DM=ME∴四边形ADFE是平行四边形∴AD∥FE，AD=EF∴∠DAE+∠AEF=180°∵∠BAC+∠DAE=180°∴∠BAC=∠AEF∵AB=kAE，AC=kAD，k=1∴AB=AE，AC=AD∴AC=EF∴△ABC≌△EAF∴∠B=∠EAF∵∠ANB+∠B+∠BAF=180°∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180°即∠ANB+∠BAE=180°选取（ⅱ），如图．证明：∵AB=AC∴∠B=1/ 2 （180°-∠BAC）∵∠BAC+∠DAE=180°∴∠DAE=180°-∠BAC∴∠B=1/ 2 ∠DAE∵AB=kAE，AC=kAD∴AE=AD∵AM 是△ADE 的中线，AB=AC∴∠EAM=1 /2 ∠DAE∴∠B=∠EAM∵∠ANB+∠B+∠BAM=180°∴∠ANB+∠EAM+∠BAM=180°即∠ANB+∠BAE=180°点评：本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，三角形5.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MN BC ∥AMN ABC ∴△∽△68h x ∴= 34x h ∴= （2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则132662h h x =-=-11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△1216A EFS h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC 168242ABC S =⨯⨯=△ 22363224122462EF x S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△ 所以 291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2912248y x x =-+-， 取163x =，8y =最大 86>∴当163x =时，y 最大，8y =最大6.已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． M NC B EF AA 1（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？解：（1）证明：在Rt △FCD 中，∵G 为DF 的中点， ∴ CG= FD ．………………1分 同理，在Rt △DEF 中， EG= FD ． ………………2分 ∴ CG=EG ．…………………3分 （2）解：（1）证明：在Rt △FCD 中，∵G 为DF 的中点，∴ CG= FD ．同理，在Rt △DEF 中， EG= FD ．∴ CG=EG ．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG ．证法一：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点．在△DAG 与△DCG 中，∵ AD=CD ，∠ADG=∠CDG ，DG=DG ，∴ △DAG ≌△DCG ．∴ AG=CG ．在△DMG 与△FNG 中，∵ ∠DGM=∠FGN ，FG=DG ，∠MDG=∠NFG ，∴ △DMG ≌△FNG ．∴ MG=NG在矩形AENM 中，AM=EN ．在Rt △AMG 与Rt △ENG 中，∵ AM=EN ， MG=NG ，∴ △AMG ≌△ENG ．∴ AG=EG ．∴ EG=CG ．证法二：延长CG 至M,使MG=CG ， 连接MF ，ME ，EC ，在△DCG 与△FMG 中，∵FG=DG ，∠MGF=∠CGD ，MG=CG ，∴△DCG ≌△FMG ．∴MF=CD ，∠FMG ＝∠DCG ．∴MF‖CD‖AB ．∴ ． 在Rt △MFE 与Rt △CBE 中，∵ MF=CB ，EF=BE ，∴△MFE ≌△CBE ．∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°．图③ D 图① D 图②∴△MEC为直角三角形．∵MG = CG，∴EG= MC．（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．7．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C-，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x⊥轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】解：（1）该抛物线过点(02)C-，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx=+-．将(40)A，，(10)B，代入，得1642020a ba b.+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252ab.⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x=-+-．（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ， 则P 点的纵坐标为215222m m -+-， 当14m <<时，4AM m =-，215222PM m m =-+-．又90COA PMA ∠=∠=°，∴①当21AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，．类似地可求出当4m >时，(52)P -，． 当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． 8.如图，在Rt ABC ∆中，∠ACB= 090 ,AC=6,BC=8,点D 在边AB 上运动，DE 平分∠CDB 交边BC 于点E ，EM BD ⊥垂足为M ，EN CD ⊥垂足为N 。