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2019中考数学试题分类汇编 考点36 相似三角形(含解析)

学习资料专题2019中考数学试题分类汇编:考点36 相似三角形一.选择题(共28小题)1.(2019•重庆)制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是()A.360元B.720元C.1080元D.2160元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本,根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积,计算即可.【解答】解:3m×2m=6m2,∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2,将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,则面积扩大为原来的9倍,∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2,∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2,故选:C.2.(2019•玉林)两三角形的相似比是2:3,则其面积之比是()A.:B.2:3 C.4:9 D.8:27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.【解答】解:∵两三角形的相似比是2:3,∴其面积之比是4:9,故选:C.3.(2019•重庆)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为()A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得.【解答】解:设另一个三角形的最长边长为xcm,根据题意,得: =,解得:x=4.5,即另一个三角形的最长边长为4.5cm,故选:C.4.(2019•内江)已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1:3,则△ABC与△A1B1C1的面积比为()A.1:1 B.1:3 C.1:6 D.1:9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方,求出即可.【解答】解:已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1:3,则△ABC与△A1B1C1的面积比为1:9,故选:D.5.(2019•铜仁市)已知△ABC∽△DEF,相似比为2,且△ABC的面积为16,则△DEF的面积为()A.32 B.8 C.4 D.16【分析】由△ABC∽△DEF,相似比为2,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,即可得△ABC与△DEF的面积比为4,又由△ABC的面积为16,即可求得△DEF的面积.【解答】解:∵△ABC∽△DEF,相似比为2,∴△ABC与△DEF的面积比为4,∵△ABC的面积为16,∴△DEF的面积为:16×=4.故选:C.6.(2017•重庆)已知△ABC∽△DEF,且相似比为1:2,则△ABC与△DEF的面积比为()A.1:4 B.4:1 C.1:2 D.2:1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.【解答】解:∵△ABC∽△DEF,且相似比为1:2,∴△ABC与△DEF的面积比为1:4,故选:A.7.(2019•临安区)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()A.B.C.D.【分析】根据正方形的性质求出∠ACB,根据相似三角形的判定定理判断即可.【解答】解:由正方形的性质可知,∠ACB=180°﹣45°=135°,A、C、D图形中的钝角都不等于135°,由勾股定理得,BC=,AC=2,对应的图形B中的边长分别为1和,∵=,∴图B中的三角形(阴影部分)与△ABC相似,故选:B.8.(2019•广东)在△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则△ADE与△ABC的面积之比为()A.B.C.D.【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点,可得出DE为△ABC的中位线,进而可得出DE ∥BC及△ADE∽△ABC,再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比.【解答】解:∵点D、E分别为边AB、AC的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=()2=.故选:C .9.(2019•自贡)如图,在△ABC 中,点D 、E 分别是AB 、AC 的中点,若△ADE 的面积为4,则△ABC 的面积为( )A .8B .12C .14D .16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE ∥BC ,DE=BC ,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.【解答】解:∵在△ABC 中,点D 、E 分别是AB 、AC 的中点,∴DE ∥BC ,DE=BC ,∴△ADE ∽△ABC ,∵=,∴=,∵△ADE 的面积为4,∴△ABC 的面积为:16,故选:D .10.(2019•崇明县一模)如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在边DC 上,DE :EC=3:1,连接AE 交BD 于点F ,则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为( )A.3:4 B.9:16 C.9:1 D.3:1【分析】可证明△DFE∽△BFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴DC∥AB,∴△DFE∽△BFA,∵DE:EC=3:1,∴DE:DC=3:4,∴DE:AB=3:4,∴S△DFE:S△BFA=9:16.故选:B.11.(2019•随州)如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则的值为()A.1 B.C. 1 D.【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED,可得出=,结合BD=AB﹣AD即可求出的值,此题得解.【解答】解:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC,∴()2=.∵S△ADE=S四边形BCED,∴=,∴===﹣1.故选:C.12.(2019•哈尔滨)如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE ∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是()A. = B. = C. = D. =【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA,根据相似三角形的性质即可找出==,此题得解.【解答】解:∵GE∥BD,GF∥AC,∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,∴=, =,∴==.故选:D.13.(2019•遵义)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为()A.5 B.4 C.3 D.2【分析】先求出AC,进而判断出△ADF∽△CAB,即可设DF=x,AD=x,利用勾股定理求出BD,再判断出△DEF∽△DBA,得出比例式建立方程即可得出结论.【解答】解:如图,在Rt△ABC中,AB=5,BC=10,∴AC=5过点D作DF⊥AC于F,∴∠AFD=∠CBA,∵AD∥BC,∴∠DAF=∠ACB,∴△ADF∽△CAB,∴,∴,设DF=x,则AD=x,在Rt△ABD中,BD==,∵∠DEF=∠DBA,∠DFE=∠DAB=90°,∴△DEF∽△DBA,∴,∴,∴x=2,∴AD=x=2,故选:D.14.(2019•扬州)如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论:①△BAE∽△CAD;②MP•MD=MA•ME;③2CB2=CP•CM.其中正确的是()A.①②③B.①C.①② D.②③【分析】(1)由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证;(2)通过等积式倒推可知,证明△PAM∽△EMD即可;(3)2CB2转化为AC2,证明△ACP∽△MCA,问题可证.【解答】解:由已知:AC=AB,AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CA E=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选:A.15.(2019•贵港)如图,在△ABC中,EF∥BC,AB=3AE,若S四边形BCFE=16,则S△ABC=()A.16 B.18 C.20 D.24【分析】由EF∥BC,可证明△AEF∽△ABC,利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值.【解答】解:∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∵AB=3AE,∴AE:AB=1:3,∴S△AEF:S△ABC=1:9,设S△AEF=x,∵S四边形BCFE=16,∴=,解得:x=2,∴S△ABC=18,故选:B.16.(2019•孝感)如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE ⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论:①∠ADC=15°;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△CBG;⑤AF=(﹣1)EF.其中正确结论的个数为()A.5 B.4 C.3 D.2【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°,据此可判断;②求出∠AFP和∠FAG度数,从而得出∠AGF度数,据此可判断;③证△ADF≌△BAH即可判断;④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证;⑤设PF=x,则AF=2x、AP==x,设EF=a,由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x,根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x,据此得出EH=a,证△PAF∽△EAH得=,从而得出a与x的关系即可判断.【解答】解:∵△ABC为等边三角形,△ABD为等腰直角三角形,∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,∴△CAD是等腰三角形,且顶角∠CAD=150°,∴∠ADC=15°,故①正确;∵AE⊥BD,即∠AED=90°,∴∠DAE=45°,∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°,∠FAG=45°,∴∠AGF=75°,由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG,故②错误;记AH与CD的交点为P,由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°,则∠BAH=∠ADC=15°,在△ADF和△BAH中,∵,∴△ADF≌△BAH(ASA),∴DF=AH,故③正确;∵∠AFG=∠CBG=60°,∠AGF=∠CGB,∴△AFG∽△CBG,故④正确;在Rt△APF中,设PF=x,则AF=2x、AP==x,设EF=a,∵△ADF≌△BAH,∴BH=AF=2x,△ABE中,∵∠AEB=90°、∠ABE=45°,∴BE=AE=AF+EF=a+2x,∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a,∵∠APF=∠AEH=90°,∠FAP=∠HAE,∴△PAF∽△EAH,∴=,即=,整理,得:2x2=(﹣1)ax,由x≠0得2x=(﹣1)a,即AF=(﹣1)EF,故⑤正确;故选:B.17.(2019•泸州)如图,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则的值是()A.B.C.D.【分析】如图作,FN∥AD,交AB于N,交BE于M.设DE=a,则AE=3a,利用平行线分线段成比例定理解决问题即可;【解答】解:如图作,FN∥AD,交AB于N,交BE于M.∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∵FN∥AD,∴四边形ANFD是平行四边形,∵∠D=90°,∴四边形ANFD是解析式,∵AE=3DE,设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,∵AN=BN,MN∥AE,∴BM=ME,∴MN=a,∴FM=a,∵AE∥FM,∴===,故选:C.18.(2019•临安区)如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE:BC的值为()A.B.C.D.【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所截得的三角形与原三角形相似,再根据相似三角形的对应边成比例解则可.【解答】解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴===.故选:A.19.(2019•恩施州)如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC 边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为()A.6 B.8 C.10 D.12【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD,进而可得出△ABF∽△GDF,根据相似三角形的性质可得出==2,结合FG=2可求出AF、AG的长度,由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度,此题得解.【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,∴△ABF∽△GDF,∴==2,∴AF=2GF=4,∴AG=6.∵CG∥AB,AB=2CG,∴CG为△EAB的中位线,∴AE=2AG=12.故选:D.20.(2019•杭州)如图,在△ABC中,点D在AB边上,DE∥BC,与边AC交于点E,连结BE.记△ADE,△BCE的面积分别为S1,S2()A.若2AD>AB,则3S1>2S2B.若2AD>AB,则3S1<2S2C.若2AD<AB,则3S1>2S2D.若2AD<AB,则3S1<2S2【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC,由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答.【解答】解:∵如图,在△ABC中,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=()2,∴若2AD>AB,即>时,>,此时3S1>S2+S△BDE,而S2+S△BDE<2S2.但是不能确定3S1与2S2的大小,故选项A不符合题意,选项B不符合题意.若2AD<AB,即<时,<,此时3S1<S2+S△BDE<2S2,故选项C不符合题意,选项D符合题意.故选:D.21.(2019•永州)如图,在△ABC中,点D是边AB上的一点,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为()A.2 B.4 C.6 D.8【分析】只要证明△ADC∽△ACB,可得=,即AC2=AD•AB,由此即可解决问题;【解答】解:∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ADC∽△ACB,∴=,∴AC2=AD•AB=2×8=16,∵AC>0,∴AC=4,故选:B.22.(2019•香坊区)如图,点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点,若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式一定成立的是()A. = B. = C. = D. =【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论.【解答】解:∵DE∥BC,∴,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,∵EF∥AB,∴,∵EF∥AB,∴△CEF∽△CAB,∴,∵DE∥BC,EF∥AB,∴四边形BDEF是平行四边形,∴DE=BF,EF=BD,∴,,,,∴正确,故选:C.23.(2019•荆门)如图,四边形ABCD为平行四边形,E、F为CD边的两个三等分点,连接AF、BE交于点G,则S△EFG:S△ABG=()A.1:3 B.3:1 C.1:9 D.9:1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题;【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,CD∥AB,∵DE=EF=FC,∴EF:AB=1:3,∴△EFG∽△BAG,∴=()2=,故选:C.24.(2019•达州)如图,E,F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,AE=CF=AC.连接DE,DF并延长,分别交AB,BC于点G,H,连接GH,则的值为()A.B.C.D.1【分析】首先证明AG:AB=CH:BC=1:3,推出GH∥AC,推出△BGH∽△BAC,可得==()2=()2=, =,由此即可解决问题.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC,DC=AB,∵AC=CA,∴△ADC≌△CBA,∴S△ADC=S△ABC,∵AE=CF=AC,AG∥CD,CH∥AD,∴AG:DC=AE:CE=1:3,CH:AD=CF:AF=1:3,∴AG:AB=CH:BC=1:3,∴GH∥AC,∴△BGH∽△BAC,∴==()2=()2=,∵=,∴=×=,故选:C.25.(2019•南充)如图,正方形ABCD的边长为2,P为CD的中点,连结AP,过点B作BE ⊥AP于点E,延长CE交AD于点F,过点C作CH⊥BE于点G,交AB于点H,连接HF.下列结论正确的是()A.CE=B.EF=C.cos∠CEP=D.HF2=EF•CF【分析】首先证明BH=AH,推出EG=BG,推出CE=CB,再证明△CEH≌△CBH,Rt△HFE≌Rt△HFA,利用全等三角形的性质即可一一判断.【解答】解:连接EH.∵四边形ABCD是正方形,∴CD=AB═BC=AD=2,CD∥AB,∵BE⊥AP,CH⊥BE,∴CH∥PA,∴四边形CPAH是平行四边形,∴CP=AH,∵CP=PD=1,∴AH=PC=1,∴AH=BH,在Rt△ABE中,∵AH=HB,∴EH=HB,∵HC⊥BE,∴BG=EG,∴CB=CE=2,故选项A错误,∵CH=CH,CB=CE,HB=HE,∴△ABC≌△CEH,∴∠CBH=∠CEH=90°,∵HF=HF,HE=HA,∴Rt△HFE≌Rt△HFA,∴AF=EF,设EF=AF=x,在Rt△CDF中,有22+(2﹣x)2=(2+x)2,∴x=,∴EF=,故B错误,∵PA∥CH,∴∠CEP=∠ECH=∠BCH,∴cos∠CEP=cos∠BCH==,故C错误.∵HF=,EF=,FC=∴HF2=EF•FC,故D正确,故选:D.26.(2019•临沂)如图.利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高 1.2m,测得AB=1.6m.BC=12.4m.则建筑物CD的高是()A.9.3m B.10.5m C.12.4m D.14m【分析】先证明∴△ABE∽△ACD,则利用相似三角形的性质得=,然后利用比例性质求出CD即可.【解答】解:∵EB∥CD,∴△ABE∽△ACD,∴=,即=,∴CD=10.5(米).故选:B.27.(2019•长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为()A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.【解答】解:设竹竿的长度为x尺,∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=1.5尺,影长五寸=0.5尺,∴,解得x=45(尺).故选:B.28.(2019•绍兴)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为()A.0.2m B.0.3m C.0.4m D.0.5m【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO,据此得=,将已知数据代入即可得.【解答】解:∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABO=∠CDO=90°,又∵∠AOB=∠COD,∴△ABO∽△CDO,则=,∵AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,∴=,解得:CD=0.4,故选:C.二.填空题(共7小题)29.(2019•邵阳)如图所示,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形:△ADF∽△ECF .【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE,则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF.【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥CE,∴△ADF∽△ECF.故答案为△ADF∽△ECF.30.(2019•北京)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为.【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD,进而可得出∠FAE=∠FCD,结合∠AFE=∠CFD(对顶角相等)可得出△AFE∽△CFD,利用相似三角形的性质可得出==2,利用勾股定理可求出AC的长度,再结合CF=•AC,即可求出CF的长.【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,∴∠FAE=∠FCD,又∵∠AFE=∠CFD,∴△AFE∽△CFD,∴==2.∵AC==5,∴CF=•AC=×5=.故答案为:.31.(2019•包头)如图,在▱ABCD中,AC是一条对角线,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若S△AEF=1,则S△ADF的值为.【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a,根据EF∥BC得=()2=,结合S△AEF=1知S△ADC=S△ABC=,再由==知=,继而根据S△ADF=S△ADC可得答案.【解答】解:∵3AE=2EB,∴可设AE=2a、BE=3a,∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴=()2=()2=,∵S△AEF=1,∴S△ABC=,∵四边形ABCD是平行四边形,∴S△ADC=S△ABC=,∵EF∥BC,∴===,∴==,∴S△ADF=S△ADC=×=,故答案为:.32.(2019•资阳)已知:如图,△ABC的面积为12,点D、E分别是边AB、AC的中点,则四边形BCED的面积为9 .【分析】设四边形BCED的面积为x,则S△ADE=12﹣x,由题意知DE∥BC且DE=BC,从而得=()2,据此建立关于x的方程,解之可得.【解答】解:设四边形BCED的面积为x,则S△ADE=12﹣x,∵点D、E分别是边AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,且DE=BC,∴△ADE∽△ABC,则=()2,即=,解得:x=9,即四边形BCED的面积为9,故答案为:9.33.(2019•泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步面见木?”用今天的话说,大意是:如图,DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)?请你计算KC的长为步.【分析】证明△CDK∽△DAH,利用相似三角形的性质得=,然后利用比例性质可求出CK的长.【解答】解:DH=100,DK=100,AH=15,∵AH∥DK,∴∠CDK=∠A,而∠CKD=∠AHD,∴△CDK∽△DAH,∴=,即=,∴CK=.答:KC的长为步.故答案为.34.(2019•岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是步.【分析】如图1,根据正方形的性质得:DE∥BC,则△ADE∽△ACB,列比例式可得结论;如图2,同理可得正方形的边长,比较可得最大值.【解答】解:如图1,∵四边形CDEF是正方形,∴CD=ED,DE∥CF,设ED=x,则CD=x,AD=12﹣x,∵DE∥CF,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB,∴,∴,x=,如图2,四边形DGFE是正方形,过C作CP⊥AB于P,交DG于Q,设ED=x,S△ABC=AC•BC=AB•CP,12×5=13CP,CP=,同理得:△CDG∽△CAB,∴,∴,x=,∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是(步),故答案为:.35.(2019•吉林)如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,∠B=∠C=90°,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽AB= 100 m.【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED,利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB.【解答】解:∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD∽△ECD,∴,,解得:AB=(米).故答案为:100.三.解答题(共15小题)36.(2019•张家界)如图,点P是⊙O的直径AB延长线上一点,且AB=4,点M为上一个动点(不与A,B重合),射线PM与⊙O交于点N(不与M重合)(1)当M在什么位置时,△MAB的面积最大,并求岀这个最大值;(2)求证:△PAN∽△PMB.【分析】(1)当M在弧AB中点时,三角形MAB面积最大,此时OM与AB垂直,求出此时三角形面积最大值即可;(2)由同弧所对的圆周角相等及公共角,利用两对角相等的三角形相似即可得证.【解答】解:(1)当点M在的中点处时,△MAB面积最大,此时OM⊥AB,∵OM=AB=×4=2,∴S△ABM=AB•OM=×4×2=4;(2)∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,∴△PAN∽△PMB.37.(2019•株洲)如图,在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM=AN.(1)求证:Rt△ABM≌Rt△AND;(2)线段MN与线段AD相交于T,若AT=,求tan∠ABM的值.【分析】(1)利用HL证明即可;(2)想办法证明△DNT∽△AMT,可得由AT=,推出,在Rt△ABM中,tan∠ABM=.【解答】解:(1)∵AD=AB,AM=AN,∠AMB=∠AND=90°∴Rt△ABM≌Rt△AND(HL).(2)由Rt△ABM≌Rt△AND易得:∠DAN=∠BAM,DN=BM∵∠BAM+∠DAM=90°;∠DAN+∠ADN=90°∴∠DAM=∠AND∴ND∥AM∴△DNT∽△AMT∴∵AT=,∴∵Rt△ABM∴tan∠ABM=.38.(2019•大庆)如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O,B重合),作EC⊥OB,交⊙O于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.(1)求证:AC平分∠FAB;(2)求证:BC2=CE•CP;(3)当AB=4且=时,求劣弧的长度.【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可;(2)只要证明△CBE ∽△CPB ,可得=解决问题;(3)作BM ⊥PF 于M .则CE=CM=CF ,设CE=CM=CF=3a ,PC=4a ,PM=a ,利用相似三角形的性质求出BM ,求出tan ∠BCM 的值即可解决问题;【解答】(1)证明:∵AB 是直径,∴∠ACB=90°,∴∠BCP+∠ACF=90°,∠ACE+∠BCE=90°,∵∠BCP=∠BCE ,∴∠ACF=∠ACE ,即AC 平分∠FAB .(2)证明:∵OC=OB ,∴∠OCB=∠OBC ,∵PF 是⊙O 的切线,CE ⊥AB ,∴∠OCP=∠CEB=90°,∴∠PCB+∠OCB=90°,∠BCE+∠OBC=90°,∴∠BCE=∠BCP ,∵CD 是直径,∴∠CBD=∠CBP=90°,∴△CBE ∽△CPB ,∴=,∴BC 2=CE•CP;(3)解:作BM ⊥PF 于M .则CE=CM=CF ,设CE=CM=CF=3a ,PC=4a ,PM=a ,∵∠MCB+∠P=90°,∠P+∠PBM=90°,∴∠MCB=∠PBM,∵CD是直径,BM⊥PC,∴∠CMB=∠BMP=90°,∴△BMC∽△PMB,∴=,∴BM2=CM•PM=3a2,∴BM=a,∴tan∠BCM==,∴∠BCM=30°,∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°,∠BOD=120°∴的长==π.39.(2019•江西)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长.【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD,求出BC=CD=4,证△AEB∽△CED,得出比例式,求出AE=2CE,即可得出答案.【解答】解:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD,∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠D=∠CBD,∴BC=CD,∵BC=4,∴CD=4,∵AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,∴=,∴=,∴AE=2CE,∵AC=6=AE+CE,∴AE=4.40.(2019•上海)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.(1)求证:EF=AE﹣BE;(2)联结BF,如课=.求证:EF=EP.【分析】(1)利用正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90°,根据等角的余角相等得到∠1=∠3,则可判断△ABE≌△DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论;(2)利用=和AF=BE得到=,则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠4=∠3,再证明∠4=∠5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP.【解答】证明:(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠BEA=∠AFD=90°,∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,在△ABE和△DAF中,∴△ABE≌△DAF,∴BE=AF,∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE;(2)如图,∵=,而AF=BE,∴=,∴=,∴Rt△BEF∽Rt△DFA,∴∠4=∠3,而∠1=∠3,∴∠4=∠1,∵∠5=∠1,∴∠4=∠5,即BE平分∠FBP,而BE⊥EP,∴EF=EP.41.(2019•东营)如图,CD是⊙O的切线,点C在直径AB的延长线上.(1)求证:∠CAD=∠BDC;(2)若BD=AD,AC=3,求CD的长.【分析】(1)连接OD,由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB,根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°,利用等角的余角相等,即可证出∠CAD=∠BDC;(2)由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD,根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3,即可求出CD的长.【解答】(1)证明:连接OD,如图所示.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∵CD是⊙O的切线,OD是⊙O的半径,∴∠ODB+∠BDC=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠OBD+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠BDC.(2)解:∵∠C=∠C,∠CAD=∠CDB,∴△CDB∽△CAD,∴=.∵BD=AD,∴=,∴=,又∵AC=3,∴CD=2.42.(2019•南京)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AF⊥DE,垂足为F,⊙O经过点C、D、F,与AD相交于点G.(1)求证:△AFG∽△DFC;(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求⊙O的半径.【分析】(1)欲证明△AFG∽△DFC,只要证明∠FAG=∠FDC,∠AGF=∠FCD;(2)首先证明CG是直径,求出CG即可解决问题;【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,∠ADC=90°,∴∠CDF+∠ADF=90°,∵AF⊥DE,∴∠AFD=90°,∴∠DAF+∠ADF=90°,∴∠DAF=∠CDF,∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形,∴∠FCD+∠DGF=180°,∵∠FGA+∠DGF=180°,∴∠FGA=∠FCD,∴△AFG∽△DFC.(2)解:如图,连接CG.∵∠EAD=∠AFD=90°,∠EDA=∠ADF,∴△EDA∽△ADF,∴=,即=,∵△AFG∽△DFC,∴=,∴=,在正方形ABCD中,DA=DC,∴AG=EA=1,DG=DA﹣AG=4﹣1=3,∴CG==5,∵∠CDG=90°,∴CG是⊙O的直径,∴⊙O的半径为.43.(2019•滨州)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD⊥CD于点D,且AC平分∠DAB,求证:(1)直线DC是⊙O的切线;(2)AC2=2AD•AO.【分析】(1)连接OC,由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC,据此知OC∥AD,根据AD⊥DC即可得证;(2)连接BC,证△DAC∽△CAB即可得.【解答】解:(1)如图,连接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵AC平分∠DAB,∴∠OAC=∠DAC,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,又∵AD⊥CD,∴OC⊥DC,∴DC是⊙O的切线;(2)连接BC,∵AB为⊙O的直径,∴AB=2AO,∠ACB=90°,∵AD⊥DC,∴∠ADC=∠ACB=90°,又∵∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB,∴=,即AC2=AB•AD,∵AB=2AO,∴AC2=2AD•AO.44.(2019•十堰)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,过点D作FG⊥AC于点F,交AB的延长线于点G.(1)求证:FG是⊙O的切线;(2)若tanC=2,求的值.【分析】(1)欲证明FG是⊙O的切线,只要证明OD⊥FG;(2)由△GDB∽△GAD,设BG=a.可得===,推出DG=2a,AG=4a,由此即可解决问题;【解答】(1)证明:连接AD、OD.∵AB是直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∵AC=AB,∴CD=BD,∵OA=OB,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴FG是⊙O的切线.(2)解:∵tanC==2,BD=CD,∴BD:AD=1:2,∵∠GDB+∠ODB=90°,∠ADO+∠ODB=90°,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠GDB=∠GAD,∵∠G=∠G,∴△GDB∽△GAD,设BG=a.∴===,∴DG=2a,AG=4a,∴BG:GA=1:4.45.(2019•杭州)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.(1)求证:△BDE∽△CAD.(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.【分析】(1)想办法证明∠B=∠C,∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题;(2)利用面积法:•AD•BD=•AB•DE求解即可;【解答】解:(1)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∠B=∠C,∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC,∴△BDE∽△CAD.(2)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,在Rt△ADB中,AD===12,∵•AD•BD=•AB•DE,∴DE=.46.(2019•烟台)如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,BC上两点,点A,C,E在⊙D上,点B,D在⊙E上.F为上一点,连接FE并延长交AC的延长线于点N,交AB于点M.(1)若∠EBD为α,请将∠CAD用含α的代数式表示;(2)若EM=MB,请说明当∠CAD为多少度时,直线EF为⊙D的切线;(3)在(2)的条件下,若AD=,求的值.【分析】(1)根据同圆的半径相等和等边对等角得:∠EDB=∠EBD=α,∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,再根据三角形内角和定理可得结论;(2)设∠MBE=x,同理得:∠EMB=∠MBE=x,根据切线的性质知:∠DEF=90°,所以∠CED+∠MEB=90°,同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°;(3)由(2)得:∠CAD=45°;根据(1)的结论计算∠MBE=30°,证明△CDE是等边三角形,得CD=CE=DE=EF=AD=,求EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,根据三角形内角和及等腰三角形的判定得:EN=CE=,代入化简可得结论.【解答】解:(1)连接CD、DE,⊙E中,∵ED=EB,∴∠EDB=∠EBD=α,∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α,⊙D中,∵DC=DE=AD,∴∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,△ACB中,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,∴∠CAD==;(2)设∠MBE=x,∵EM=MB,∴∠EMB=∠MBE=x,当EF为⊙D的切线时,∠DEF=90°,∴∠CED+∠MEB=90°,∴∠CED=∠DCE=90°﹣x,△ACB中,同理得,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴,∴∠CAD=45°;(3)由(2)得:∠CAD=45°;由(1)得:∠CAD=;∴∠MBE=30°,∴∠CED=2∠MBE=60°,∵CD=DE,∴△CDE是等边三角形,∴CD=CE=DE=EF=AD=,Rt△DEM中,∠EDM=30°,DE=,∴EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,△ACB中,∠NCB=45°+30°=75°,△CNE中,∠CEN=∠BEF=30°,∴∠CNE=75°,∴∠CNE=∠NCB=75°,∴EN=CE=,∴===2+.47.(2019•陕西)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.【分析】由BC∥DE,可得=,构建方程即可解决问题.【解答】解:∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE,∴=,∴=,∴AB=17(m),经检验:AB=17是分式方程的解,答:河宽AB的长为17米.48.(2019•济宁)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论;(2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN 上一点,求△PDC周长的最小值.【分析】(1)结论:CF=2DG.只要证明△DEG∽△CDF即可;(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK;【解答】解:(1)结论:CF=2DG.理由:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°,∵DE=AE,∴AD=CD=2DE,∵EG⊥DF,∴∠DHG=90°,∴∠CDF+∠DGE=90°,∠DGE+∠DEG=90°,∴∠CDF=∠DEG,∴△DEG∽△CDF,∴==,∴CF=2DG.(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.由题意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG=,EG=,DH==,∴EH=2DH=2,∴HM==2,∴DM=CN=NK==1,在Rt△DCK中,DK===2,∴△PCD的周长的最小值为10+2.49.(2019•聊城)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF.(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.【分析】(1)根据ASA证明△ABE≌△BCF,可得结论;(2)根据(1)得:△ABE≌△BCF,则CF=BE=2,最后利用勾股定理可得AF的长.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,∵BH⊥AE,∴∠BHE=90°,∴∠AEB+∠EBH=90°,∴∠BAE=∠EBH,在△ABE和△BCF中,,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF;(2)解:∵AB=BC=5,由(1)得:△ABE≌△BCF,∴CF=BE=2,∴DF=5﹣2=3,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=5,∠ADF=90°,由勾股定理得:AF====.50.(2019•乌鲁木齐)如图,AG是∠HAF的平分线,点E在AF上,以AE为直径的⊙O交AG于点D,过点D作AH的垂线,垂足为点C,交AF于点B.(1)求证:直线BC是⊙O的切线;(2)若AC=2CD,设⊙O的半径为r,求BD的长度.【分析】(1)根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC,证明OD⊥CB,可得结论;(2)在Rt△ACD中,设CD=a,则AC=2a,AD=a,证明△ACD∽△ADE,表示a=,由平行线分线段成比例定理得:,代入可得结论.【解答】(1)证明:连接OD,∵AG是∠HAF的平分线,∴∠CAD=∠BAD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,∵∠ACD=90°,∴∠ODB=∠ACD=90°,即OD⊥CB,∵D在⊙O上,∴直线BC是⊙O的切线;(4分)(2)解:在Rt△ACD中,设CD=a,则AC=2a,AD=a,连接DE,∵AE是⊙O的直径,∴∠ADE=90°,由∠CAD=∠BAD,∠ACD=∠ADE=90°,∴△ACD∽△ADE,∴,即,∴a=,由(1)知:OD∥AC,∴,即,∵a=,解得BD=r.(10分)。

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